小学六级数学求阴影面积与周长（含详细的解析）.doc

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1、求阴影面积的常用方法 计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形或平移旋转或割补。现介绍几种常用的方法。 一、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。 例1. 如图1，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC、AD和围成的阴影部分图形的面积为_。 分析：连结CD、OC、OD，如图2。易证AB/CD，则

2、的面积相等，所以图中阴影部分的面积就等于扇形OCD的面积。易得，故。 二、和差法 有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。 例2. 如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，为圆，求阴影部分面积。 分析：经观察图3可以分解出以下规则图形：矩形ABCD、扇形ADE、。所以，。 三、重叠法 就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。 例3. 如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作

3、半圆，求所围成阴影部分图形的面积。 解：因为4个半圆覆盖了正方形，而且阴影部分重叠了两次，所以阴影部分的面积等于4个半圆的面积和与正方形面积的差。故。 四、补形法 将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。 例4. 如图5，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，求四边形ABCD所在阴影部分的面积。 解：延长BC、AD，交于点E，因为，所以，又，易求得，所以。 五、拼接法 例5. 如图6，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。 解：（1）将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；（2）将左侧的草地向

4、右平移c个单位；（3）得到一个新的矩形（如图7）。由于新矩形的纵向宽仍然为b，水平方向的长变成了，所以草地的面积为。 六、特殊位置法 例6. 如图8，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_。 分析：在大半圆中，任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，所以可将小半圆移动至两个半圆同圆心位置（如图9）。 解：移动小半圆至两半圆同圆心位置，如图9。设切点为H，连结OH、OB，由垂径定理，知。又AB切小半圆于点H，故，故 七、代数法 将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。 例7. 如图10，正方

5、形的边长为a，分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画弧，求图中阴影部分的面积。 解：设阴影部分的面积为x，剩下的两块形状、大小相同的每块面积为y，则图中正方形的面积是，而是以半径为a的圆面积的。故有，。解得。即阴影部分的面积是。 需要说明的是，在求阴影部分图形的面积问题时，要具体问题具体分析，从而选取一种合理、简捷的方法。 思考吧 如图11，正方形的边长为1，以CD为直径在正方形内画半圆，再以点C为圆心、1为半径画弧BD，则图中阴影部分的面积为_。求阴影部分的面积21.计算图19-1中阴影部分面积是多少平方厘米？（圆的半径r=10厘米，取3.14） 分析：要计算图19-1中阴影部分的面积，关键

6、在于处理图中空白部分的面积。利用割补进行转化，把空白部分转移到圆的边缘。如图19-2所示，这样阴影部分面积就可以转化为圆面积加上两个正方形的面积来计算。解 102+1022=25+200=78.5+200=278.52.图19-3大小两圆相交部分面积是大圆面积的，是小圆面积的，量得小圆的半径是5厘米，问大圆的半径是多少厘米？分析：因为已知阴影部分与大圆，小圆的面积比，所以可以先求出两圆面积的比，继而求出它们的半径比。解 设阴影部分的面积为1.则小圆面积是，小圆面积是。于是：大圆面积：小圆面积=：=（）2 5=7.5厘米3.如图19-4，正方形面积是8平方厘米。求阴影部分的面积是多少平方厘米？分

7、析：这道题按常规思路是：要求阴影部分的面积，用正方形的面积减去一个四分之一圆的面积。因此，只要知道圆的半径，问题就得到解决了。但是，从题中的已知条件知道，圆的半径是不可能求出的，问题难以得解。这时，就必须改变解题思路，重新审题和分析图形，从图中不难看到，正方形的边长等于圆的半径，进而可以推出aa=rr=8平方厘米。所以，在求四分之一圆的面积时，就不必按常规的方法，去求解圆的半径，而直接用8平方厘米代替rr的面积，四分之一圆的面积是3.148=6.28平方厘米，则阴影部分的面积就是8-3.148=1.72平方厘米。4.如图19-7，求空白部分的面积是正方形面积的几分之几？分析：因为圆和正方形它们

8、的对称性，可以先画出两条辅助线帮助分析，即将正方形分成4个全等的小正方形。先看上面的两个小正方形，从圆中可知，A=B，C=D。故有A+D=B+C。这样，可以得到阴影部分的面积与空白部分的面积是正方形面积的二分之一。5.求图19-8中阴影部分的面积。分析：阴影部分的面积是以边长为20的正方形与半径为20的圆面积差减去边长为10的正方形与半径为10的圆面积差的2倍。S阴影=2020-3.14202-1010-3.141022=（86-21.5）2=1296.如图19-9，A，B是两个圆的圆心，那么两个阴影部分的面积差是多少？分析：两个阴影部分面积都难以直接求得，要计算它们面积的差需要转化。甲- 乙

9、=（甲+丙+丁）-（乙+丙+丁），甲丙丁的面积之和是大圆面积的四分之一，3.1444；乙丙丁的面积，乙加丙是一个长方形，24，丁的面积可以直接求，3.1422。这样两个阴影部分的面积差可以求得。3.1444-（42+3.1422）=1.427.求图19-10阴影部分的面积。 分析：这道题的阴影部分可以从半径为6的圆面积中减去其中的空白部分的面积。3.1466-（64-3.1444）=28.26-11.44=16.828.如图19-12，ABCG和CDEF都是正方形，DC等于12厘米，CB等于10厘米。求阴影的面积。分析： 要运用求积公式直接求出阴影部分的面积是行不通的，因为阴影部分的面积是不规

10、则图形。可以运用转化的方法，先求出直角梯形ABCF的面积和圆心角为FCD的扇形面积，所得的差就是阴影部分的面积。直角梯形的面积为：（10+12）102=110平方厘米。圆的面积：3.141224=3.141444=113.04 直角三角形的面积为：10（10+12）2=225=110 阴影部分的面积为110+113.04-110=113.04平方厘米。9.求图19-15中的阴影部分的面积。（OB=4厘米）分析： 如图19-16，首先可以用虚线连接AC、BC、OC，并标出S1、S2、S3、S4，则阴影部分S1与空白部分S3面积相等。阴影部分S2与空白部分S4面积相等，所以阴影部分的面积等于圆面积

11、减去1个直角三角形的面积。3.1442-44=3.144-8=4.56平方厘米10.如图19-17，以小正方形4角的顶点为圆心，边长的一半为半径，作4个圆，在4个圆外作一正方形，每边都与其中两个圆各有一个接触点，求阴影部分的面积S。单位厘米。分析：仔细分析观察后，便可看出阴影部分的面积S等于大正方形面积S减去小正方形的面积和4个小圆面积的和。解：S=4040-（402）23.14（4022）24=1600-400+942=1600-1432=258平方厘米 求阴影部分面积3例1.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：这是最基本的方法： 圆面积减去等腰直角三角形的面积， -21=1.14（平方厘米

12、）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去 圆的面积。设圆的半径为 r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以 =7，所以阴影部分的面积为：7-=7-7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。(单位:厘米)解：最基本的方法之一。用四个 圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：22-0.86平方厘米。例4.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-()=16-4 =3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴

13、影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，()2-16=8-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）-()=100.48平方厘米 （注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：正方形面积可用(对角线长对角线长2，求)正方形面积为：552=12.5所以阴影面积为：4-12.5=7.125平方厘米 (注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 例

14、8.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，所以阴影部分面积为：()=3.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：把右面的正方形平移至左边的正方形部分，则阴影部分合成一个长方形，所以阴影部分面积为：23=6平方厘米例10.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：同上，平移左右两部分至中间部分，则合成一个长方形，所以阴影部分面积为21=2平方厘米(注: 8、9、10三题是简单割、补或平移)例11.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：这种图形称为环形，可以用两个同心圆的面积差或差的一部分来求。（ -）=3.14=3

15、.66平方厘米例12.每个扇形半径为3，求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：三个部分拼成一个半圆面积()14.13平方厘米例13.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解: 连对角线后将叶形剪开移到右上面的空白部分,凑成正方形的一半.所以阴影部分面积为：882=32平方厘米例14.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：梯形面积减去圆面积，(4+10)4-=28-4=15.44平方厘米 . 例15.已知直角三角形面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。分析: 此题比上面的题有一定难度,这是叶形的一个半.解: 设三角形的直角边长为r，则=12，=6圆面积为：2=3。圆内三角形的面积为122=6，阴影部分面

16、积为：(3-6)=5.13平方厘米例16.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解： =(116-36)=40=125.6平方厘米例17.图中圆的半径为5厘米,求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：上面的阴影部分以AB为轴翻转后，整个阴影部分成为梯形减去直角三角形，或两个小直角三角形AED、BCD面积和。所以阴影部分面积为：552+5102=37.5平方厘米例18.如图，在边长为6厘米的等边三角形中挖去三个同样的扇形,求阴影部分的周长。解：阴影部分的周长为三个扇形弧，拼在一起为一个半圆弧，所以圆弧周长为：23.1432=9.42厘米例19.正方形边长为2厘米，求阴影部分的面积。解：右半部分上面部分逆

17、时针，下面部分顺时针旋转到左半部分，组成一个矩形。所以面积为：12=2平方厘米 例20.如图，正方形ABCD的面积是36平方厘米，求阴影部分的面积。解：设小圆半径为r，4=36, r=3，大圆半径为R，=2=18,将阴影部分通过转动移在一起构成半个圆环,所以面积为:(-)2=4.5=14.13平方厘米例21.图中四个圆的半径都是1厘米，求阴影部分的面积。解：把中间部分分成四等分，分别放在上面圆的四个角上，补成一个正方形，边长为2厘米，所以面积为：22=4平方厘米例22. 如图，正方形边长为8厘米，求阴影部分的面积。解法一: 将左边上面一块移至右边上面,补上空白,则左边为一三角形,右边一个半圆.

18、阴影部分为一个三角形和一个半圆面积之和. ()2+44=8+16=41.12平方厘米解法二: 补上两个空白为一个完整的圆. 所以阴影部分面积为一个圆减去一个叶形,叶形面积为:()2-44=8-16所以阴影部分的面积为:()-8+16=41.12平方厘米例23.图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心，如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的面积是多少？解：面积为个圆减去个叶形，叶形面积为：-11=-1所以阴影部分的面积为:4-8(-1)=8平方厘米例24.如图，有8个半径为1厘米的小圆，用他们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心。如果圆周率取3.

19、1416，那么花瓣图形的的面积是多少平方厘米？分析：连接角上四个小圆的圆心构成一个正方形，各个小圆被切去个圆，这四个部分正好合成个整圆，而正方形中的空白部分合成两个小圆解：阴影部分为大正方形面积与一个小圆面积之和为：44+=19.1416平方厘米例25.如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。(单位:厘米)分析：四个空白部分可以拼成一个以为半径的圆所以阴影部分的面积为梯形面积减去圆的面积，4(4+7)2-=22-4=9.44平方厘米 例26.如图，等腰直角三角形ABC和四分之一圆DEB，AB=5厘米，BE=2厘米，求图中阴影部分的面积。解: 将三角形CEB以B为圆心，逆时针转动90度，到三

20、角形ABD位置,阴影部分成为三角形ACB面积减去个小圆面积,为: 552-4=12.25-3.14=9.36平方厘米例27.如图，正方形ABCD的对角线AC=2厘米，扇形ACB是以AC为直径的半圆，扇形DAC是以D为圆心，AD为半径的圆的一部分，求阴影部分的面积。解: 因为2=4，所以=2 以AC为直径的圆面积减去三角形ABC面积加上弓形AC面积， -224+4-2 =-1+(-1) =-2=1.14平方厘米例28.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解法一：设AC中点为B,阴影面积为三角形ABD面积加弓形BD的面积, 三角形ABD的面积为:552=12.5弓形面积为:2-552=7.125所以阴

21、影面积为:12.5+7.125=19.625平方厘米解法二：右上面空白部分为小正方形面积减去小圆面积，其值为：55-=25-阴影面积为三角形ADC减去空白部分面积，为：1052-（25-）=19.625平方厘米例29.图中直角三角形ABC的直角三角形的直角边AB=4厘米，BC=6厘米，扇形BCD所在圆是以B为圆心，半径为BC的圆，CBD=，问：阴影部分甲比乙面积小多少？解: 甲、乙两个部分同补上空白部分的三角形后合成一个扇形BCD，一个成为三角形ABC，此两部分差即为：465-12=3.7平方厘米例30.如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙面积大28平方厘米，AB=40厘米。

22、求BC的长度。解：两部分同补上空白部分后为直角三角形ABC，一个为半圆，设BC长为X，则40X2-2=28 所以40X-400=56 则X=32.8厘米 例31.如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，求阴影部分的面积。解：连PD、PC转换为两个三角形和两个弓形，两三角形面积为：APD面积+QPC面积=（510+55）=37.5两弓形PC、PD面积为：-55所以阴影部分的面积为：37.5+-25=51.75平方厘米 例32.如图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。求阴影部分的面积。解：三角形DCE的面积为:410=20平方厘米梯形ABCD

23、的面积为:(4+6)4=20平方厘米 从而知道它们面积相等,则三角形ADF面积等于三角形EBF面积，阴影部分可补成圆ABE的面积，其面积为：4=9=28.26平方厘米例33.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解:用大圆的面积减去长方形面积再加上一个以2为半径的圆ABE面积，为 (+)-6=13-6=4.205平方厘米例34.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：两个弓形面积为：-342=-6阴影部分为两个半圆面积减去两个弓形面积，结果为+-（-6）=（4+-）+6=6平方厘米 例35.如图，三角形OAB是等腰三角形，OBC是扇形，OB=5厘米，求阴影部分的面积。解：将两个同样的图形拼在一起成为圆减

24、等腰直角三角形4-552=（-）2=3.5625平方厘米求阴影部分面积或周长习题教学整理1.如图三角形ABC是直角三角形， AD15厘米， BF8厘米，正方形CDEF的面积是多少？ AG158BCFEDS=?E分析： 以直角三角形的两直角边补成正方形，如图，则图中两个阴影面积相等阴影面积=158（）2.如图ABCD与CEFG都是正方形，求阴影面积.解一：阴影面积=ABCD+CEFG-ABG-ADE-EFG=1010+66-10（10+6）2-10（10-6）2-662=100+36-80-20-18（cm）=18解二：因为ABG=（10+6）102，而梯形ABCE=(10+6)102，所以，AEH=CGH阴影面积=AEH+EHG=CGH+EHG=EFG=662=18(cm)结论：阴影面积与大正方形边长无关。3如图：阴影S4的面积：（提示：S4=s2*s3/s1）S1=15S2=18S3=10S4=?梯形蝴蝶定理 如图，在梯形中，存在以下关系： (1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a2b2；(2)S1S2S3S4= a2b2abab；(3)S3=S4；（三角形的同底b等高）(4)S1S2=S3S4(由S1/S3=S4/S2推导出) (5) AO：BO=(S1+S3)：(S2+S4)S2=48S3=12S4=20S1=?ABabO