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1、“体积与容积”概念建立的教材对比与思考【内容摘要】“体积与容积”是小学数学图形与几何领域的重要基础性概念。新课标下的部分主流版本教材（人教版、北师大版、苏教版、浙教版）分别是如何选择学习素材？如何安排学生的概念建立过程？文章从属性抽取、原型提取、素材选择、概念表述、实验设计、练习安排等维度进行了对比分析。基于分析阐述了体积教学是基础、本质属性是核心、经验积累为追求的教学设计认识。【关键词】体积；容积；教材；概念 “体积与容积”是小学数学图形与几何领域的重要基础性概念。辞海中对两个概念的定义分别为，“体积”指物质或物体所占空间的大小，“容积”指容器所能容纳物体的体积。可以看出，两个概念的内涵核心
2、是“所占空间的大小”，建立“空间大小”观念是理解这两个概念的关键。体积是指物体占三维空间的大小，容积则是物体三维空间内部的局部空间大小。说明容积包含于体积内涵之中，体积概念是容积概念建立的基础。但，二者又有些许不同，容积是刻画容器所能容纳物体的空间大小，是用等量填充物体积表示容器内部空间大小。所以，体积概念建立重心在空间大小观念形成，容积概念建立重心在所容纳物体体积与容器内部空间大小的等量观形成。由此可见，这两个概念在教学意义是处于不同维度的。为此，教材编排中就形成了两种学习序列，一种序列是体积与容积同时学习，再学习体积（容积）单位及长方体体积计算，如北师大版、苏教版教材。另一种是体积概念先学
3、，在完成长方体体积计算，体积单位学习后再认识容积，如人教版、浙教版，北京版等。当然，两种学习序列存在说明大家对这两个概念建立过程有不同理解，自然也有其各自科学合理之处。但目标是一致，那就是怎样突显“空间大小”这个本质，帮助学生有效的建立概念？在这个核心问题上各版本教材分别是如何体现与落实的。个人以人教版、北师大版、苏教版、浙教版四个版本教材为例，进行了对比分析。一、属性抽取对比分析数学教育心理学告诉我们，概念形成是数学概念建立的主要方式之一。概念形成主要经历“辨别刺激模式、分化属性，概括共同属性，确认关键属性，形成概念，符号表述，归类整理”等过程。对学生来讲“体积”是一个全新概念，建立这个概念
4、主要是用概念形成方式。需要经历较复杂的过程，首先要让学生获得充分的典型事物刺激，再明确“占空间大小”这一关键属性，最后用“体积”这一文字符号表示。实现与其他有关“大小”概念的区分，改造已有的“位置大小”“范围大小”等概念，建立数学意义上的体积概念。四个版本教材在体积概念的属性抽取上，呈现了两种路径，一种路径是“实验活动中引出空间大小实例比较判断空间大小概括总结呈现体积概念内容”，人教版、苏教版、浙教版均是这种路径；另一种路径是“实践活动引出空间大小概括总结呈现体积概念内容”，北师大版是这种路径。两种路径相差“实例比较判断空间大小”这个板块。第一种路径的三个版本教材十分细致的设计了这块内容。（见
5、下图1、2、3） 图2：苏教版教材图1：浙教版教材图3：人教版教材在实验活动中引出“占空间大小”这个属性后，为了强化对“空间大小”这个属性的认识，这三个版本教材马上安排了判断，并且在题目问题中标明“占的空间大”这些文字符号，显然这是及时的强化，有利于学生快速接纳这个新观念，为归纳概念做铺垫。图4：北师大版教材但北师大版教材在实验中引出“占空间大小”后，就直接出示了体积概念，没有安排学生在具体情境对属性进行更充分的感知，显然这个过程显得仓促，学生对“占空间大小”这一属性的认识是肤浅的，不深刻的，不利于体积概念的真正形成。二、原型提取对比分析生活原型是数学概念建立的重要基础，也是学生理解概念意义的
6、主要承载体。体积所表示物体占空间大小这一本质，支撑的生活经验主要是“苹果大一些”“这个西瓜大一些”“太挤了”“位置不够了”等，这些夹杂着重量、面积、长度等属性特征的“大小”感，其中依托视觉感官，形成的对物体外形大小直观感知经验是体积概念建立的关键经验，每个孩子头脑中的具像到一个物体的外形大小印象，是体积概念的生活原型。所以，教材需要直接刺激学生，让学生主动提取生活原型。当然，这里最难的是让学生明确的感知到“空间”的存在及物体对空间有不同占有度（占空间大小）。解决这个难题最好的办法还是要靠视觉感官。为此，四个版本教材也出现了两种思路，一种是组织观察实验，借助水位变化让学生感知空间存在及大小度，人
7、教版、苏教版、浙教版是这个思路；另一种是物体大小比较中，明确空间大小，北师大版教材是这个思路。如下图。（苏教版教材）（浙教版教材）（北师大版教材）（人教版教材）第一种思路三个版本教材都设置了一个完全类似的实验活动一个物体放入有水的玻璃杯中，观察水平上升变化情况。玻璃杯中水的空间被石块（桃子）占领，水位就上升了。这个动态直观实验完全激活了学生对物体占一定空间的经验，并且在简短的互动中主动的用“空间”这个属性描述取代生活中“位置”“地方”等描述。同时，强烈的视觉冲击让原本空洞的“空间”形象化了。这个情境内容很好的解决了“占空间”这个核心观念改造。相比下，第二种思路也就是北师大版的两个活动“说生活中
8、物体的大小关系”“实验观察，比较两个物体的大小关系”，把重心落在了“大小”这个核心点，强化了物体占空间有大小这个属性。但，两个比较活动情境决定学生关注点是大小对比上，孩子对物体“占空间”这个观念的建立是缺乏引导力的。“占空间的大小”这个本质属性是空间观与大小度的二合一，四个版本教材都选择了观察实验，借助视觉冲击唤醒学生的经验。但学生的生活原型首先要服务于空间观的建立。所以，选择单个物体进行实验，更有利于学生集中注意力，感受物体占空间的属性。三、素材选择对比分析概念建立需要丰富的表象支撑，表象的丰富性取决于学习素材的代表性与丰富性。四个版本教材除了在原型提取上所设置的活动内容有差别外，直接提供学
9、生积累的形象化素材数量与价值定位也存在一些差异。 教材体积容积图片数量/张具体内容图片数量/张具体内容人教版5乌鸦喝水图片、石头实验图、电视机、影碟机、手机图3饮料瓶浙教版8石头实验图片组、立方体搭长方体、手提电脑、电脑主机、纸箱10纸箱、油筒、水桶、纯净水桶、汽车、饮料盒、药瓶北师大版2土豆、红薯图（练习中出现小立方体拼成长方体）1烧杯苏教版6桃子、荔枝、小西红柿、实验图片4书盒、水杯、石头、水杯、盒子从表中可以直观看出，北师大版教材提供的素材最简单，其他三个版本相对来讲比较丰富些，这符合文章第一点分析中谈到的属性抽取的两种路径设计思路。所以，人教版与浙教版教材，在体积认识时除实验图片外，还
10、专门提供了电脑、纸箱、手机等生活实物图片，素材比较丰富，主要是为了给学生充分的感知与抽象时空。但，另外两个维度上所体现出的素材安排差别值得关注。第一，单纯从容积这个点看，四个版本的素材又呈现两种新的模式，一种是只有半封闭容器（烧杯），北师大版教材是这样的；另一种是封闭或半封闭式容器都有，其它三个版本是这样的。这个安排，显然其它三个版本更适宜些，因为容器包括封闭与半封闭两种类别，从教学角度讲需要提供给学生比较全面的素材。特别是箱子、盒子这类装固体的容器需要及时帮助学生突破定势，完善认识。第二，小立方体拼成的立体图形呈现情况有所不同。浙教版在概念揭示前安排了立方体拼成立体图形体积判断。北师大版在练
11、习中安排了类似练习。立方体拼成的立体图形所占空间大小判断，是直接计算法判断体积的策略体现，同时这也是后面学习体积单位的积极渗透。这块内容对拓展学生比较两个立体图形体积的方法有十分重要的意义，特别是对实验法定势的突破作用更大。四、概念表述对比分析体积与容积概念的表述方式上，体积概念表述四个版本教材完全一致，为“物体所占空间的大小叫做物体的体积”，只是北师大版教材“叫做”用了“叫作”这个词。容积概念表述呈现两种方式：一种方式是“容器所能容纳物体的体积，叫做（作）容器的容积”，北师大版、苏教版教材这样表述；另一种方式是“箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积”，人教版、浙教版是这样
12、表述的。可以看出两种方式对容积概念的核心把握是完全一致的“所能容纳物体的体积”，差别是对“容器”这个概念使用，人教版、浙教版回避了这个术语，直接用一些容器实物箱子、油桶、仓库等来代表。个人感觉用例举表达的方式比较切合小学生年龄特征，特别是日常生活中形成了脸盆、水桶等这类装液体、半封闭容器为主的定势下，例举了“”箱子、仓库等这类装固体、全封闭容器，有利于学生主动调整对容器概念的认识。五、实验设计对比分析（浙教版教材）观察实验是体积概念建立过程必不可少的活动。因为借助透明玻璃杯和水位变化，可以在一定程度上将抽象的空间形象化，能帮助学生提升对“物体占空间大小”的感悟。四个版本教材在实验活动安排上都有
13、充分的体现，但实验活动设计却有明显的差异。（见下图）（北师大版教材）（人教版教材）（苏教版教材）1.实验目标定位不同人教版、浙教版、苏教版三个版本都设计了一个物体放入玻璃杯中观察水平变化的实验。这个实验的目的是引导学生充分感知空间的存在及物体占一定空间，也就是首先帮助学生建立“空间观”。特别是人教版，观察实验前先安排了乌鸦喝水实验的回忆，这个内容看似激趣，实则是让学生初步建立“物体占空间”这一观念，再加之后续的直接观察实验，能强化空间观形成。北师大版教材没有安排单个物体实验活动，直接设计了比较两个物体大小实验。这个实验显然重心在体验物体占空间大小，也就是建立空间大小观。2. 对用实验法比较物体
14、大小的认识完全不同对用实验法比较两个物体体积这个实验，四个版本呈现了完全不同的两种认识：人教版、浙教版没有安排这个实验，北师大版、苏教版专门设计了这个实验。这个实验的核心价值是一种转化策略体验，把原本直接比较空间大小有困难的问题，转化为比较水所占空间大小。同时，实验中水位的高低变化对比，让学生有一个直观的大小判断标准，能加强学生对空间大小的认识。所以，个人认为这个实验是一个很有价值的活动，在一个物体的实验中积累了有关物体占空间的观念后，两个物体占空间大小比较实验让学生明确感受到了物体占空间的大小，突破了体积概念中“大小”这个难点，也收获了一种比较方法。六、练习安排对比分析人教版、浙教版在体积概
15、念出示后没有安排针对概念建立的练习，而是结合体积单位知识安排了说长方体的体积。北师大版、苏教版因为在体积与容积概念学习后，没安排体积单位学习，所以有专门的概念练习。（见下图）（人教版教材）（浙教版教材）（北师大版教材）（苏教版教材）待添加的隐藏文字内容2苏教版练习第一题延续教材新知探索阶段实验设计思想，不仅让学生直观判断两个物体体积情况，还想象思考溢出的水量情况。这个设计又一次让学生加深了比较策略的认识，同时在转化中发展空间观念。第二题让学生直接依据杯子个数判断容积，强化了学生的容积概念理解。北师大版教材练习第1、2题主要渗透等积变形的思想，让学生深刻的体会到组成物体的物质及标准数量不变，体积
16、不会因形状而变化。第3题主要强化容积因容器不同而不同的认识。从中可看出苏教版与北师大版练习设计各有特色，北师大版重在等积变化与标准化数量比较方法渗透，苏教版重在容积概念的巩固。个人感觉标准化测量与等积变形是提升学生对体积与容积理解的必需内容，北师大版的练习更适宜些。综合四个版本教材在体积与容积内容设计上的优势与不足，个人感觉体积与容积教学不论是哪种学习序列，都应该关注如下几个方面。1. 以体积概念建立为基础，安排适宜学习序列从分析中可以看出，容积是体积的下位概念，容积概念建立主要是概念同化的过程。学生在真正理解体积概念后，学习容积概念只要明白所描述的是与容器内部空间大小相等的物体体积就行。所以
17、，“先体积后容积”是不可打破的学习序列。几个版本的教材都遵循了这个序，只是有的安排在同一课时中，这就对课时中体积概念建立的效果提出了很高要求，要确保体积概念在短时间内让学生有充分的理解，才能保证容积概念顺利建构。为此，同课时学习体积与容积，教学设计时要尽可能拉长体积与容积概念的学习间隔时间，以让学生有充足的时间内化体积概念。教材安排上，苏教版在揭示体积概念后，就及时安排了巩固体积概念的环节。（见右图）这让学生有一定的缓冲时间。北师大版教材缺少这个环节，为此建议在体积概念揭示后补充相关练习。如安排下面练习：（1）哪个长方体体积大？它们体积分别是多少？（2）两块橡皮泥，A块搓成小圆球可搓10个，B
18、块可以搓8个同样的小圆球，哪块橡皮泥体积大？（3）将两团泥巴分装在相同的小正方体杯子中，第一团泥巴共装了23杯，第二团泥巴装了30杯。哪团泥巴体积大？（4）篮球（比较一个充满气和放掉气的篮球，前后两种状态下什么变化，什么没有变化？），一块橡皮泥（比较同一块橡皮泥压扁与搓成团，什么变化？什么没变化？）通过这组练习的过度，学生对体积概念有了一段消化与再整理的过程，知识结构的稳定性得到了保障。再以此为基础学习容积，学生能将注意力集中到容器的特征把握上，而较快的建立容积概念。2. 以概念本质属性为核心，设计有效数学活动数学课标明确提出“数学教学是数学活动的教学”，体积与容积的概念建立过程就是一系列数学
19、活动的过程，是围绕“占空间大小”这个本质属性的有效数学活动过程。（1） 建立“空间观”的活动空间观是体积概念的基础。根据学生的生活经历及年龄特点，学生头脑中对空间都有自己认识，如位置、地方、大小等。教学中需要帮助学生基于这些认识，进行积极的整合。这个过程最好的活动就是观察、交流。所以，借助玻璃杯与水的实验应该是最好的活动。因为在空气中谈物体空间状态，由于空气不可观察，很难在感官上形成一个有力的冲击，而水在容器中水位变化可观察，可以在观察者视觉上产生强烈冲击。借助这个冲击能将原本抽象的空间观形象化，让学生找到一个关于空间的实际意义载体，促进空间观形成。为此，人教版、苏教版、浙教版的第一个实验活动
20、值得借鉴。（2） 建立“大小观”的活动“大小观”建立是体积概念最终形成的核心，当然这里的大小是指空间大小。学生经验中大小观念是十分强烈的，已建立了“面积大小”“数据大小”“地位大小”“角度大小”等一系列大小观，这些大小观念有数学意义上，也有社会意义上的。空间大小显然是一种新的大小观，是对已有大小观念的补充。所以，教学要关注学生已有大小观的影响，尽可能减少非空间大小观的干扰。最好的方法是主动区别。主要的方式是言语表达，厘清界线。所以，教学中需要设计说一说、辨一辨等活动。如“观察周围物体，说一说谁占的空间大，谁占的空间小”。当然，从心理学上讲，大小是观察者在对多个同属对象的对比中产生的心理感觉。所
21、以，对比是产生大小认识最好的方式。为此，教学中需要充分利用好两个相似物体大小比较的实验活动。北师大版、苏教版教材中已设计这个活动。教学中需要充分安排这次活动。最好让学生经历“认知冲突方法假设观察实践”的过程。在活动中发展空间大小观外，感受转化的思想方法。案例：体积与容积观察实验片断。情境创设：（直接观察法不能解决问题，学生产生了认知冲突。）师：你有什么办法解决，比较出它们占的空间哪个大？生：称一称重量。生：不行，这是两种不同的东西。绵花与铁能称重量能比占空间大小吗？生：在一个杯子里装上水，把土豆与红薯分别放进去，看水高出多少？生：取两个杯子，装满水，分别放进去，看满出来的水是多少？师：那我们就
22、来实验一下。（演示两个相同杯子中装上相同的水，分别放入物体看水面变化。）这个活动让学生在问题驱动下积极主动参与观察与思考。在第一个实验活动中形成的空间观的基础上，集中注意力关注着水位高度差异，直观体验到物体所占空间有大小差异。3. 以学习经验积累为追求，选择合理学习素材让学生获得“基本数学思想”“基本活动经验”是数学课标修订稿提出的重要目标。组建结构有效的学习素材，是帮助学生获得基本思想与经验的保证。体积与容积概念建立需要大量的生活化与数学化素材，需要教学设计中进行合理安排与利用。 （1） 物体种类要有代表性，数量要充足概念形成是对同类对象共同属性的抽取过程，所以对象要具有代表性。北师大版教材
23、选择的对象是教室内物体，其他版本教材选择电视机、电脑等。这些物体学生熟悉，有代表性。但，容积方面北师大版只提供了烧杯，就不如人教版、浙教版考虑细致。所以，建议容积教学时要补充系列封闭型容器及装固体物的容器，如车厢、纸箱、热水瓶、茶杯等。（2） 素材内容要有多样性，内涵要清晰实验素材是体积概念建立的关键性素材，这组素材主要功能是帮助学生建立空间大小观，获得物体体积比较的方法经验。但，比较体积还有其他方法，如标准体积物测量法、计算法等。所以学习材料需要充实，力求材料结构上丰富些。北师大版教材、浙教版教材选择了正方体拼立体图形的体积判断材料，这个材料是标准体积物测量比较的方法体现，指向体积单位的学习
24、，内涵就比较清晰。但，标准物比较思想源自比较需求，标准物是多样的，所以可以选择一些非数学体积单位意义上的正方体标准物，如小物体。（见下图）“说一说哪团橡皮泥占的空间大一些”通过多样化的标准物比较，能让学生顺利迁移长度、面积比较方法，快速形成体积应该用标准体积物测量比较的新思想。同时，体会构成物体的物质数量不变所占空间大小将恒定，不会因为物体形状变化而变化，这是对体积内涵的深度理解。所以，需要选择相应的结构化素材供学生认识。北师大版教材特意选择了3组学习材料，分别是“10个1元硬币堆成的不同形状立体物体体积比较”“12个相同的小正方体拼接不同长方体的活动”“一块橡皮泥摄成不同形状后的体积比较”。
25、三个材料结构清晰，指向体积的意义深度建构。总之，教材基于课标精神所设置的系列学习素材，只是教学的重要依据。如何有效组织学生学习，需要老师们主动设计。体积与容积概念建立不是概念符号的记忆过程，也不是单纯的直观形象积累过程，而是概念意义的形成过程。这个过程需要基于学生生活经验和有效的数学活动，以突出概念本质，促进学生真正理解概念。所以更需要我们老师充分吸收各版本教材所长，基于本质，整合素材，创造方式，以提升教学实效。参考文献：1教育部.数学课程标准（实验稿）M.北京:北京师范大学出版社,2001,7.2曹才翰、章建跃. 数学教育心理学 M. 北京:北京师范大学出版社，2006,6. 3陈时见课堂学习论M桂林：广西师范大学出版社，2001，14裴云姣.几何概念课教学中常见问题剖析以“体积与容积”教学为例J.教学月刊，2011,3.5龚丹丹.用有效学具构筑高效课堂特级教师郎建胜体积与容积教学赏析J.小学教学设计（数学）,2011,5.6九年义务教育小学实验教科书数学,五年级下册M杭州:浙江教育出版社,2010,10.7义务教育课程标准实验教科书数学,五年级下册M北京:人民教育出版社,2008,11.8义务教育课程标准实验教科书数学,六年级上册M南京:江苏教育出版社,2011,4.9义务教育课程标准实验教科书数学,五年级下册M北京:北京师范大学出版社,2011,10.
