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1、 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第十七讲 高阶导数,主讲:岑利群,第三节 高阶导数,一.高阶导数的概念,二 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数,一.高阶导数的概念,推而广之:,按照一阶导数的极限形式,有,和,一个函数的导函数不一定再可导,也不一定连续.如果函数 f(x)在区间 I 上有直到 n 阶的导数 f(n)(x),且 f(n)(x)仍是连续的(此时低于 n 阶的导数均连续),则称 f(x)在区间 I 上 n 阶连续可导,记为,如果 f(x)在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存在且连续,则称函数 f(x)是无穷次连续可导的,记为,解,注意,当 k=n 时,综上所述：,解,多项式,
2、的高阶导数.,解,对多项式而言,每求一次导数,多项式的次数降低一次;n 次多项式的 n 阶导数为一常数;大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0.,求 y=ex 的各阶导数.,解,y=ex 的任何阶导数仍为 ex,求 y=ax 的各阶导数.,解,运用数学归纳法可得,求 y=lnx 的各阶导数.,解,设,类似地,有,则,故由数学归纳法得,解,注意这里的方法,即,类似地,有,解,看出结论没有？,运用数学归纳法可以证得,类似地,可求得,解,解,二阶导数经常遇到,一定要掌握.,解,由复合函数及反函数的求导法则,得,（可以看成参数方程求导）,原则是:按照高阶导数的定义,运用隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求导.,二、隐函数及参数方程,对方程两边关于 x 求导:,解,想想如何求二阶导数？,对方程两边关于 x 求导,得:,对()方程两边关于 x 求导:,解,从而,(,),一般思路就是现对方程两边关于,求导，得,（）,式，求得,，然后直接对（）式再用,隐函数求导法，再对,求导，得到,。,方程两边对 x 求导,解,（）,再对（）,式两边对,求导，得,解,注意,仍是一个参数方程,也是参数方程,解,解,解,
