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1、高三教学摘记前言：一进入高三，许多教师与学生都想尽早结束新课，进入高考第一轮复习，所以常用的策略是一味地加快进度，一味地压缩新课。这样做的恶果是高三教材中许多重要内容（如极限、导数等）没有得到足够的重视，支离破碎地成为一道道模拟试题，师生揣度高考可能不考的内容甚至不进行教学，形成知识与能力上的重大缺漏。其实，进入高三年级的学生通过两年学习与会考已有较扎实的数学双基，并有较高的思维能力，学习高三教材并不困难。我们认为在高三教学中要一如既往地重视双基，培养探索能力与创新意识，这对造就创新型人才有利，对学生进入高校进一步学习数学有利，对高考复习也有利。高三教学摘记体现了我们的探索与尝试，敬请同行指正
2、。1、一堂数列极限的综合课 食堂用膳问题分析 在高三2.2数列极限的数学中，“食堂用膳问题”引起了学生的兴趣。原题是：学校150名寄宿生到甲、乙两食堂用膳，开始时每食堂去75人。据统计，每次到甲用膳的人中有10%下次到乙，而每次到乙用膳的人中有20%下次到甲，设第n次到甲、乙用膳人数分别为，.求：（1）通项，;(2), . 教师先请学生猜测何值?有人说:甲食堂办得好，每次出的人少，进的人多，这样，数列递增，将是150，但这种分析大多数人持异议。又有人说，=100，他的理由是进出人数之比是2：1，将150人按2：1分配得到100，但这种分析大多数人也并不赞同。教师便在这种有兴趣又有悬念的氛围中分
3、析解题。解： 设特征根。转化为等比数列。教师请学生重看解题过程，学生发现就是特征根值；教师再发问，150按比例分配得到100与50是偶然巧合还是必然结论？提出变题：若每次到甲用膳的人中有20%下次到乙，而每次到乙用膳的人中有30%下次到甲，则=？学生回答： 。可见是特征根值也是150按比例3:2分配得到的数。教师再请学生上升到一般问题：学校A名学生到甲、乙两食堂用膳，开始时每食堂去人。据统计，每次到甲用膳的人中有下次到乙，而每次到乙用膳的人中有下次到甲 ，则并请学生证明结论的正确性。（假定题中出现的人数都是整数）解： 。整堂课的教学过程学生兴趣盎然，情绪高涨，既加深了对数列极限概念的理解，又培
4、养了分析问题的能力；既强调了问题转化的思想方法，又注重了观察、归纳、证明的完整过程的探究，学生所得颇丰，教师也受益匪浅（因为我们原先并不知道可由比例分配得到，甚至在学生提出猜测后仍持怀疑态度）。 2、三次曲线过其上一点的切线条数（一）从一道作业题谈起。在“导数”这一章的教学中，曾就导数的几何意义布置过一道作业题：曲线C：求过点的切线方程。学生解答如下：点在C上， 切线学生直觉的理解是过曲线上点P的切线有且只有一条，因此解答正确无误；其实这种认识局限于平面解析几何中圆锥曲线的范畴，而现在的曲线C是三次曲线，因此解答犯了片面性的错误。我们在讲评时强调应该用“设切点法”全面求解。 正解：，设切点切线
5、，点在上，即。（1） 切点M1(1,2) (即点P)，K切=2 切线l1: 2x-y=0;（2） 切点M2，K切= 切线l2: 即.可见曲线C过点的切线有两条。其中l1 以点P为切点；l2 过点P，但P不是切点（如图）。另外切线l2与C有2个公共点，这也有助于学生对切线概念的正确理解（切线并不是与曲线只有一个公共点的直线）。 这样产生的问题是：三次曲线过其上一点的切线有几条？是一条还是两条？会不会甚至还有第三条？作业题反映过C上点P的切线有两条是偶然巧合还是必然结论，值得探究。（二）三次曲线过其上点P的切线条数。问题的一般形式如下：设C：点在C上。求过点P的切线条数。解：设切点 K切=切线，点
6、在l上（*）是的三次方程，它是否有三个不同实根？在（*）中，提取因式后，得（*）是的二次方程，其判别式或（*）最多有两个不同实根，得到切点 (即点P)或C过其上点P的切线有两条，其中l1 以点P为切点；l2 过点P，但P不是切点。特殊情况：当即时，（*）只有一个实根，故C过其上点P的切线有且只有一条。于是得到如下定理：三次曲线C：点在C上。当时，过点的切线有两条，其中l1 以点P为切点；l2 过点P，但P不是切点；当时，C过点P的切线有且只有一条，即切线以点为切点。由定理知，点是三次曲线上的奇异点，过该点的切线有且只有一条。紧接着的问题是：奇异点有什么几何特性？由微积分学，我们知道C：当时，曲线下凹；当时，曲线上凸；而使曲线改变凹、凸形状的点叫曲线的拐点，在该点处，。三次曲线C：令得奇异点恰是三次曲线的拐点。于是得到：推论：三次曲线C：若上点P是C的拐点，则C过点的切线有且只有一条；若C上点P不是拐点，则C过点的切线必有两条。例如：立方抛物线C的拐点即原点，C过点的切线有且只有一条（即x轴)；而作业题中，C：, 令得x=0，C的拐点是Q(0,2)，C过点Q的切线有且只有一条，其方程为（见图）。（2006-08）
