微分几何曲面局部理论.ppt

《微分几何曲面局部理论.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分几何曲面局部理论.ppt（84页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、微 分 几 何,2011.04-06 讲师 沈玉萍,第二章 曲面：局部理论,第一节 参数曲面和第一基本形式第二节 Gauss映射和第二基本形式第三节 G-C方程和曲面基本定理第四节 协变微分，平行移动和测地线,第二章 曲面：局部理论,第二节 Gauss映射和第二基本形式定义 给定正则参数曲面，单位法向量对应的映射 称为曲面 的Gauss映射。,第二章 曲面：局部理论,曲面的很多几何性质体现在其Gauss映射中，例如平面的切平面不变，Gauss映射为常值函数；圆柱的切平面沿着母线不变，则Gauss映射将圆柱面映射到球面的一个圆周上；圆心在原点的球面，Gauss映射就是位置向量的单位化。,第二章

2、曲面：局部理论,思路：曲面 在点 的形状，可以由曲面 上经过点 的曲线的曲率来描述。,第二章 曲面：局部理论,定义 在点 由单位切方向 和单位法向量 决定的平面称为曲面在点 由此切方向 确定的法截面。法截面与曲面的交线称为曲面在点 的一条法截线。假设某条法截线由弧长参数表示则它在点 的主法向量 为，曲率,第二章 曲面：局部理论,命题 对任意切向量，的方向导数 仍然是切向量。由此定义的映射是一个对称的线性映射，即我们称 为曲面在点 的形状算子，或者Weingarten映射。,第二章 曲面：局部理论,证明 假设法截线有弧长参数表示考虑到 是单位向量，满足所以 成立。另外 关于向量 自然是线性的。,

3、第二章 曲面：局部理论,利用向量函数的混合偏导来证明当时 满足:对于，都可以写成 和 的线性组合，容易验证对称性成立。,第二章 曲面：局部理论,命题 如果曲面 任意一点 的形状算子 都是零，则 是平面（的一部分）。证明 由于那么对于 点附近的任意一个正则参数表示有由连通性可以得出 是常向量，即曲面是平面。,第二章 曲面：局部理论,例1 是半径为，中心在原点的的球面，则在局部参数表示下Gauss映射为它的形状算子满足所以它在每点切平面上都是的数量线性变换。,第二章 曲面：局部理论,对于一般的曲面，我们不容易直接写出形状算子在切平面的局部标架 下的矩阵形式。但是形状算子的关于内积的对称性诱导我们定

4、义曲面的第二基本形式特别的对于,第二章 曲面：局部理论,在 点邻域上的有正则参数表示，有自然的基底，我们定义曲面的第二类基本量,第二章 曲面：局部理论,曲面的第二基本形式局部参数表示下有对称矩阵形式类似第一基本形式，我们得到曲面的第二基本形式的二次微分形式,第二章 曲面：局部理论,如果 是单位正交标架，则矩阵 就是形状算子。但是一般情形下，有矩阵表示作为实对称矩阵，可以对角化，它有两个实特征值，记为 和。,第二章 曲面：局部理论,定义 曲面 在点 处的形状算子 的特征值称为曲面在此点的主曲率；对应的特征方向称为主方向。如果曲面上的曲线每一点的切方向都是主方向，那么这条曲线称为曲率线。曲面在任意

5、点 的两个主方向是正交的，于是我们可以选择了切平面 的一个正交基底恰好由主方向向量构成。,第二章 曲面：局部理论,定理（Euler公式）令 为曲面 在点 的单位主方向，分别对应主曲率 和。假设切向量，其中。则证明：略。,第二章 曲面：局部理论,注意到球面在任意一点的任意方向的法截线都有相同的（非零）曲率；下图马鞍面的有些法截线恰好是直线。,第二章 曲面：局部理论,定义 如果曲面 切向量 确定的法截线点 处的曲率为零，即 我们称 为 在点 的一个渐近方向。如果曲面上的曲线每一点的切方向都是渐近方向，那么这条曲线称为渐近线。如果曲面包含直线，则直线为渐近线。,第二章 曲面：局部理论,推论 曲面 在

6、点 处有渐近方向当且仅当 证明 首先 当且仅当 是渐近方向。然后不妨设。如果，那么 反过来，由，我们很容易构造渐近方向。,第二章 曲面：局部理论,例2 如图所示圆柱螺面是 一个直纹面，它所有的 直母线明显都是渐近线。另外，不太明显的，其上的一族圆柱螺线 也都是渐近线。,第二章 曲面：局部理论,事实上，如右图所示，在点处的沿圆柱螺线单位切向量的法截线在点 为拐点。因此，圆柱螺线是圆柱螺面上的渐近线。具体计算为作业。,第二章 曲面：局部理论,假设 为曲面 上一条弧长参数曲线，满足那么由之前的计算得到它给出了曲线 的曲率向量 在曲面 的单位向量上的投影，我们称它为 在点 处的法曲率，记为。,第二章

7、曲面：局部理论,（Meusnier公式）假设 为曲面 上在点 的单位切向量为 的一条曲线，则 其中 为曲线主法向量 和曲面单位法向量 的夹角。曲面上曲线在某一点的法曲率只取决于此点的切向量。渐近线的法曲率处处为零。,第二章 曲面：局部理论,主曲率是法曲率的最大值和最小值。不妨假设，则由Euler公式得法曲率的最大值和最小值出现在互相正交的方向上。,第二章 曲面：局部理论,下面我们介绍曲面理论中极其重要的一些概念。定义 曲面 在点 处的两个主曲率的乘积 称为 在点 的 Gauss曲率；主曲率的平均值称为 在点 的中曲率（平均曲率）。,第二章 曲面：局部理论,定义 曲面 在点 处的主曲率满足则称为

8、点 为曲面 的脐点。特别的，称 为平点。如果，且 不是平点，则称 为抛物点；如果，则称 为椭圆点；如果，则称 为双曲点。,第二章 曲面：局部理论,例3 环面的外侧均为椭圆点，上下圆周为抛物点，内侧均为双曲点。,第二章 曲面：局部理论,例4 伪球面有参数表示 其中 如图它是由曳物线得到的旋转面。,第二章 曲面：局部理论,经线是曲率线，并且在经线确定的平面上，主法向量 和曲面的法向量 一致。计算经线的曲率以初始 曲线为例：,第二章 曲面：局部理论,所以曲面的一个主曲率为,第二章 曲面：局部理论,圆纬线是曲率线，曲率为，但这不是法曲率。由于 和 的夹角，利用Meusnier公式得到,第二章 曲面：局

9、部理论,中曲率为零 的曲面称为极小曲面，如悬链面。它的两个主曲率为相反数，因此它只有平点或者双曲点，没有椭圆点。,第二章 曲面：局部理论,中曲率 为非零常数的例子：球面，圆柱面等。Gauss曲率 为零的例子：平面，圆柱面，圆锥面等。Gauss曲率 为非零常数的例子：球面，伪球面等。,第二章 曲面：局部理论,第三节 Gauss-Codazzi方程和曲面基本定理 给定正则参数曲面，它的局部正则参数表示 给出了 的一组基底。之前的第二类基本形式基本量 恰好是二阶微分向量 在单位法向量 上的投影。,第二章 曲面：局部理论,现在我们考虑上述二阶微分向量在基底 下的线性表示：函数 被称为Christoff

10、el记号，满足对称性,第二章 曲面：局部理论,例1 单位球面 给定一个参数表示计算它的Christoffel记号。解：首先局部基底是,第二章 曲面：局部理论,继续求导计算,第二章 曲面：局部理论,容易得到又由推出所以,第二章 曲面：局部理论,对于一般的曲面，我们考虑内积,第二章 曲面：局部理论,观察得到,第二章 曲面：局部理论,写成矩阵形式,第二章 曲面：局部理论,同理,第二章 曲面：局部理论,利用(eq-2)验证例1的结果,第二章 曲面：局部理论,形状算子 在基底 下有矩阵表示这里涉及的是向量 的一阶微分,第二章 曲面：局部理论,这保证我们能继续对等式(eq-1）继续求偏微分,第二章 曲面：

11、局部理论,由于，比较线性表示的系数得到,第二章 曲面：局部理论,同理由，比较系数得到,第二章 曲面：局部理论,由上述两组等式(eq-4)和(eq-5)中法向量的系数得到的是曲面的 Codazzi方程,第二章 曲面：局部理论,利用，(eq-3)，(eq-4)和(eq-5)得到的是曲面的 Gauss方程,第二章 曲面：局部理论,当 时，由Gauss方程我们得到（习题）定理(Gausss Theorema Egregium）曲面的Gauss曲率由曲面的第一基本形式决定，即它在曲面的局部等距对应下保持不变。,第二章 曲面：局部理论,Gauss曲率的定义利用了曲面在空间的位置，但实际上却并不依赖于位置而

12、只依赖于曲面的度量结构（第一基本形式）；专门研究曲面上由第一基本形式决定的几何学称为内蕴几何学，它在高维的推广就是Riemann 几何学。,第二章 曲面：局部理论,GaussCodazzi方程被称为曲面论的相容性方程。通过逐次微分或任何别的手段，我们不能在曲面的第一基本形式和第二基本形式基本量 及其导数之间得到更多的关系式。事实上，第一基本形式和第二基本形式局部上决定了曲面。,第二章 曲面：局部理论,曲面论基本定理唯一性：两个正则参数曲面 只相差一个刚体运动，即存在 使得 当且仅当它们有相同的第一基本形式 和第二基本形式。,第二章 曲面：局部理论,存在性：给定区域 上函数 满足 和GaussC

13、odazzi方程，则每一点 局部上存在邻域 和正则参数曲面 满足,第二章 曲面：局部理论,曲面论基本定理的存在性部分要用到到偏微分方程组的解的存在定理，其中GaussCodazzi方程保证了对应的偏微分方程组的可积性。曲面论基本定理的唯一性部分和曲线论基本定理类似。要注意的区别是曲面的局部自然标架不是单位正交的。,第二章 曲面：局部理论,第四节 协变微分，平行移动和测地线曲面的内蕴几何概念之一：“平行移动”。如何比较曲面上任意两点的切向量?怎么判断它们是否平行？,第二章 曲面：局部理论,定义：给定正则参数曲面，向量函数 称为 上一个（切）向量场，如果它满足（1）（2）对于曲面任意的正则参数表示

14、 函数 都是连续可微的。,第二章 曲面：局部理论,于是我们可以考虑对曲面上的切向量场 求关于切向量 的方向导数：选取曲面上的一条参数曲线 满足 则注意:曲面上“居民”只看得到上述向量在曲面切平面的投影！,第二章 曲面：局部理论,定义 曲面 上的可微切向量场 关于切向量 的协变导数为给定 上曲线，如果则称向量场 沿参数曲线 平行。,第二章 曲面：局部理论,例1 单位球面 上任意一个大圆 的切向量场 是单位切向量场，恰好是指向球心，所以球面上大圆的切向量场沿着大圆平行。另外常向量场 沿着球面的赤道平行。,第二章 曲面：局部理论,例2 曲面 上参数曲线上对应的切向量场的协变导数恰好可以由Christ

15、offel记号表示。在给定局部参数表示 下,第二章 曲面：局部理论,命题 设 是曲面 上一条参数曲线，且，切向量。则沿着 存在唯一的平行向量场 使得。证明：不妨设曲线 包含在某个参数表示中，有。进一步假设,第二章 曲面：局部理论,由于，我们计算,第二章 曲面：局部理论,是沿着 的平行向量场当且仅当是下列方程组的解：由微分方程解的存在唯一性定理，只要取定了，使得，我们就得到唯一的平行向量场 满足。,第二章 曲面：局部理论,定义 设 是曲面 上一条参数曲线，且起始点为。是沿 的平行向量场，则向量 称为 沿 到点 的平行移动。之前的命题的存在唯一性结论保证了平行移动定义的合理性。如果曲线 是正则的，

16、则平行移动不依赖于 的参数表示。,第二章 曲面：局部理论,例3 单位球面上纬线圆，考虑向量 从点 出发沿着纬线逆时针的平行移动。,第二章 曲面：局部理论,解：将单位球面Christoffel记号的计算结果带入方程(eq-1)中得到加上初始值条件，解得观察到。平行移动保持切向量的长度不变？,第二章 曲面：局部理论,命题 假设 和 是沿 的两个平行向量场，则内积 为常数。推论 平行移动保持向量的长度和夹角。证明：向量场 沿 平行，则 与平行，则同理,第二章 曲面：局部理论,平面中“直线”在曲面的推广“测地线”。曲面上两点之间的最短连线是什么？定义 曲面 上一条非常值参数曲线 称为测地线（geode

17、sic），如果切向量场 沿 平行，即测地线满足，参数曲线正则，可以引进弧长参数。,第二章 曲面：局部理论,曲面上以弧长为参数的测地线 的曲率向量 在曲面的切平面上投影为零，即测地线在每点的主法向量与曲面的法向量平行。这里曲线的曲率向量在曲面法向量上的投影恰好是曲线的法曲率。,第二章 曲面：局部理论,曲面 上一条弧长参数曲线 在考虑法曲率时，我们实际上引入了有别于Frenet标架的另一个标架（Darboux标架）。,第二章 曲面：局部理论,此时，曲率向量可以分解为其中法曲率 是曲率的法分量，而 是曲率的切分量，称为曲面上曲线的测地曲率（geodesic curvature)。曲线是曲面测地线当且

18、仅当它的测地曲率为零。例1证明球面上的大圆是测地线。,第二章 曲面：局部理论,定理（Liouville公式）假设 是曲面 上的正交参数表示，是 上的一条曲线，其中 是弧长参数。假定曲线 与 曲线的夹角为，则曲线 的测地曲率为,第二章 曲面：局部理论,证明：曲线和 曲线的单位切向量为 曲线 的切向量夹角 满足Darboux标架中,第二章 曲面：局部理论,曲率向量 计算测地曲率得到其中,第二章 曲面：局部理论,于是定理成立。特别的，曲线和 曲线的测地曲率分别为 因此Liouville公式可以改写成,第二章 曲面：局部理论,一般情况，利用(eq-1)，其中我们得出测地线 满足方程由常微分方程组解的存

19、在唯一性得到以下推论,第二章 曲面：局部理论,命题 在曲面 上给定点 和非零切向量 存在 和唯一的测地线 满足由上面命题中的唯一性可推出球面上测地线只能是大圆；平面上的测地线只能是直线。,第二章 曲面：局部理论,定理 测地线在局部上使得弧长极小。证明思路：曲面 上取定任意一点 和过点 的测地线。假设 是 上过点 并且与 正交的曲线。我们可以构造曲面局部参数表示 满足,并且 曲线都是与 正交的测地线；曲线与 曲线正交。,第二章 曲面：局部理论,第二章 曲面：局部理论,对于曲线 上任意一点，考察曲面 上 和 的连线，不妨设其有参数表示曲面的第一基本量在此构造下满足（习题2）,第二章 曲面：局部理论,则 的弧长满足其中 是连接 和 的测地线弧长。平面上两点之间的连线以直线段最短。（整体）,第二章 曲面：局部理论,例5 如图所示，连接球面上的任意两点 和 的测地线可以是两个弧长不等的大圆弧（共同组成一个大圆）。曲面上连接两点的测地线的弧长不一定是最小。,