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1、第六章剪切和扭转,6.1.1剪切与挤压的概念及工程实例,当杆件受到大小相等、方向相反、作用线与轴线垂直且相距很近的横向力作用下，杆件的横截面将沿外力方向发生相对错动，产生剪切变形。,F,F,剪切面,切应变，横截面与纵向线形成的直角的改变量。,工程实例连接构件中的剪切变形,6.1.2 剪切的实用计算,连接件的三种破坏形式,1）连接件被剪坏,2）连接处局部挤压引起连接松动,3）被连接件被拉断,F,F,1.剪切面的剪力和切应力实用计算,F,F,F,FS,Fs 剪切面上的剪力A 剪切面面积,F,F,F,F,一个剪切面上的平均剪力,一个剪切面上的平均剪力,F,F/2,F/2,F,F,2.剪切强度条件,钢
2、材的许用切应力,F,切应力,切应力强度条件,6.1.3 挤压的实用计算,挤压面积,名义挤压应力,挤压强度条件,挤压面积,材料的许用挤压应力,钢材的许用挤压应力,材料的许用压应力,例6-1 两块钢板用3个直径相同的铆钉连接，如图所示。已知钢板宽度b=100mm，厚度=10mm，铆钉直径d=20mm，铆钉许用切应力=100MPa,铆钉许用挤压应力bs=300MPa，钢板许用拉应力=160MPa。试求许用荷载F。,解：,由此可得许用剪力,即,（1）按剪切强度条件求F,每个铆钉所受剪力为,据切应力强度条件,（2）按挤压强度条件求F,每个铆钉承受的挤压力为,据挤压强度条件,由此可得许用挤压力,即,（3）
3、按连接板拉伸强度条件求F。,如图，1-1为危险截面。有,由此可得,式中，,故应选取最小的荷载值作为此连接结构的许用荷载，取 F=94.2kN,即,例-2 如图所示为一普通螺栓连接接头，受拉力F作用。已知：F=100kN。钢板厚=8mm，宽b=100mm，螺栓直径d=16mm。螺栓许用应力=145MPa,bs=340MPa,钢板许用拉应力=170MPa。试校核该接头的强度。,解：（1）螺栓的剪切强度校核。,沿螺杆的剪切面切开，受力分析,假定每个螺栓所受的力相同，则剪力为,由于,所以满足强度要求。,得,（2）螺杆同板之间的挤压强度校核。,由,式中每个螺杆所收到的挤压力,所以,因此，安全。,根据轴向
4、拉伸强度的校核公式,得,也满足强度要求。,第2排有两个孔，截面被削弱得较多，需校核。,(3）板的拉伸强度校核。,板的圆孔对板的截面面积的削弱，故对板需进行拉断校核。沿第1排孔的中心线偏右将板截开，取右部为脱离体，假定拉应力均匀分部，有平衡条件,第3排孔的截面积受到的内力比第2排孔小，而截面积大，所以更安全。,所以，安全。,于是有平衡条件,如图截面2-2，取脱离体如图示,所以,而,小结,剪切变形是杆件的基本变形之一。剪切时的内力的方向总是作用与横截面内。与剪切对应的切应力 作用在横截面内。以两个作用力间的横截面为分界面，构件两部分沿该面（剪切面）发生相对错动。了解铆接和螺栓联接构件的实用计算。（
5、1）铆钉的剪切强度条件：（2）铆钉或连接板钉孔壁的挤压强度条件：（3）连接板的拉伸强度条件：在求解此类问题的过程中，关键在于确定剪切面和挤压面。,6.2 扭转扭转受力：作用面垂直于杆件轴线、等值、反向的两个力偶 作用，杆件发生扭转变形。变形特点：横截面绕轴线发生转动。,门过梁,相对扭转角：两个截面的相对转角。,工程实例,.3 扭矩的应力和强度.3.1 外力偶矩的计算,外力偶矩：使杆件产生扭转变形的力偶矩。记为Me,一般情况下，已知传动轴的功率P（kW),传动轴的转数 n(r/min)。,由此得外力偶矩 Me=9549P/n(Nm),则由功率计算每分钟做功：W=P100060,外力偶矩每分钟所做
6、的功 W=Me=Me 2n,扭矩及扭矩图,1.扭矩：由截面法计算横截面上的扭矩,T=Me,由平衡方程 Mx=0,得,正负号：右手螺旋法则，使四指沿扭矩的转向握住圆杆，若拇指的指向离开截面向外为正，反之为负。,2.扭矩图：横坐标平行于轴线，纵坐标代表扭矩的大小。正扭矩位于轴线上方，负扭矩位于轴线下方。,例6-3 试作出图示圆轴的扭矩图。,解：（1）截面法,在1-1处切开，取左段分离体，,根据平衡方程,得,在2-2处切开，取左段分离体。,得,在3-3处切开，取右段为分离体。,（2）根据各段扭矩值绘图,由,得,由,例6-4 如图所示传动轴，A轮为主动轮，输入功率 从动轮B、C的输出功率为，从动轮D的
7、输出功率，传动轮的转速为n=300r/min。试画出此轴的扭矩图。,解：（1）计算外力偶矩,（2）计算各段扭矩,BC段,CA段：,AD段：,（3）画扭矩图可以看出,6.5.1 薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力,线弹性、小变形范围内，薄壁圆筒受扭变形：平面假设：各圆周线形状、大小不变，变形前为平面的横截面，变形后仍为平面；圆周只绕轴线转动一个角度，圆筒没有横向和纵向线应变。各纵向线倾斜相同角度，横截面上有切应力，薄壁构件切应力沿壁厚均匀分布。,横截面上的切应力：,切应力互等定理和剪切胡克定律1 切应力互等定理,从薄壁圆筒中取一单元体，由单元体平衡方程得：,即,切应力互等定律 在两个互相垂直的截面上
8、的切应力必然成对存在，而且大小相等，其方向或共同指向两平面的交线，或共同背离两截面的交线。,2 剪切胡克定律,纯剪切应力状态：单元体侧面上只有切应力而无正应力的应力状态。,剪切胡克定律：在线弹性范围内，切应力与切应变成正比。,G材料的切变模量,在弹性范围内，切变模量，弹性模量和泊松比之间的关系为：,6.3.2 扭转时的应力,1.试验现象的观察与分析,平截面假定：各圆周线绕轴线转 动，且大小，形状不变。纵向线倾斜相同角度。由几何关系和物理关系可知横 截面切应力的分布规律。,2.圆轴扭转时横截面内的切应力,圆轴扭转时横截面上的切应力公式,切应力在横截面上的分布如图所示。即切应力沿半径方向按直线规律
9、变化，在与圆心等距离的各点处，切应力均相等。,实心圆轴,称为极惯性矩。,空心圆轴,6.3.3 强度条件,塑性材料受扭：试件在最大切应力处产生屈服破坏。即沿横截面产生剪断破坏。,脆性材料受扭：沿最大拉应力作用的斜截面发生拉断破坏。,塑性材料极限应力：屈服应力脆性材料的极限应力：抗剪强度,许用切应力,n 安全系数,在常温下，材料的许用切应力和拉伸许用应力的关系为,塑性材料：脆性材料：,圆轴扭转的强度条件,抗扭截面系数,实心圆轴,空心圆轴,6.4 扭转变形、刚度条件6.4.1 等直圆杆的扭转变形计算,计算扭转角的公式,扭转刚度,截面扭转角（单位：rad),例6-5 如图所示空心圆轴，外径D=40mm
10、，内径d=20mm，杆长l=1m，外力偶，材料的切变模量G=80GPa。试求：（1）=15mm的K点处的切应力。（2）横截面上的最大和最小切应力。（3）A截面相对B截面的扭转角。,（3）计算 为,（1）计算极惯性矩,（2）用截面法求出梁上的扭矩，分别计算 各点切应力为,解：,6.4.2 圆轴扭转时的刚度条件,圆轴扭转时的刚度条件:最大单位长度扭转角不超过许用范围,扭转刚度,截面扭转角（单位：rad),单位长度的许用扭转角（单位：rad/m),例6-6 一钢轴的转速n=250r/min。传递功率P=60kW，许用切应力=40MPa，单位长度的许用扭转角=0.014rad/m,材料的切变模量G=8
11、0GPa，试设计轴径。,解：（1）计算轴的扭矩,（2）根据圆轴扭转时的强度条件，求轴径。,由,得,（3）根据圆轴扭转时的刚度条件，求轴径。,得,所以，应按刚度条件设计轴径，取 d=68mm。,6.4.3 扭转超静定问题,扭转超静定的解法：,几何方面：杆的扭转变形满足变形协调条件和边界条件。,物理方面：线弹性范围，力与变形成正比。,静力学方面：列平衡方程。,例6-7 图受扭圆截面轴，已知，抗扭刚度为，试求支座A、B的反力偶矩。,约束力偶 与图方向相反。,解：,受力分析如图，本题为一次超静定。,几何条件补充方程,解得,由平衡方程,解得,例8-6 有一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，如图所示。两杆在
12、同一横截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一个角。在杆B上施加外力偶使杆B扭转，以使两孔对准，并穿孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆B上的外力偶。试问两杆内的扭矩分别为多少？已知杆A和杆B的极惯矩分别为 和；两杆材料相同，切变模量为G。,上面三式联立，解得,解：套管A和圆杆安装后在连接处有一相互作用力偶矩T，在此力偶矩作 用下，A管转过一个角度，B杆转过的角度为，由A、B杆连接 处的几何协调条件得,由物理关系知,A、B杆的扭矩相同，大小相等。,小结,扭转变形是杆件的基本变形之一。本章研究薄壁圆筒和圆轴扭转时的应力和变形计算及强度和刚度计算，介绍了切应力互等定理和剪切胡克定律。扭转时内力是扭矩T；应力是切应力；变形用扭转角 度量。切应力计算公式、强度条件、扭转角计算公式、强度条件。任一横截面上任一点的切应力：强度条件：某一截面相对另一截面的扭转角：刚度条件：,常用的实心圆截面和空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数的计算公式分别是：实心圆截面：空心圆轴：求解扭转超静定问题必须综合变形协调条件和边界条件、物理方程、静力平衡方程三个方面，求解约束反力，进而求解内力和进行强度、刚度计算。,
