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1、8.3 定积分的性质,定积分存在的条件可以用来判断函数的可积性.定积分还具有一些重要的性质对于解决定积分的计算问题是非常有用的.本节将介绍定积分的一些重要性质.,一、基本性质,二、积分中值定理,定积分的性质,规定,规定当 a=b 时,规定当 a b 时,函数f(x)在区间a,b的定积分的定义要求ab且ab,定积分没有意义，为了运算的需要，,说明:在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,定理1：若,有,（常数），则,在,可积，且,证明：函数,，在,的积分和,即,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,定理2,证,定理3,推论：若,个函数,在区间,都可积，则它们的线性组
2、合：,在,也可积，且,定理4：若函数,与,在区间,可积，,则乘积函数,在区间,也可积.,证明：由可积的必要条件，函数,与,在,有界，即,分别是函数,，,与函数,在,的振幅,P393，习题8.2,第5题，,，有,则,于是，,有：,在,可积.,注意：,思考题,思考题解答,例,证明：已知,在区间,可积，根据可积准则，即,有,在分法,的基础上添加两个分点,与,，得到,新的分法,，,显然,，有：,定理6：若函数,在区间,与,可积，,则函数,在,也可积，,（定积分对于积分区间具有可加性）,定理6 及公式称为关于积分区间的可加性.当f(x)0 时,等式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性.如图所示,曲边梯形A
3、 abB 的面积等于曲边梯形A acC的面积与CcbB 的面积之和.,推论1：若函数,在区间,可积，,且,则,推论2：若函数,在区间,都可积，,则,在,也可积，,且,即：不论 的相对位置如何,上式总成立.,例 若,则,定理7：若函数,在区间,可积，且,有,又由,在,可积与极限保号性，,有,推论：若函数,与,在,都可积，且,有,则,根据定理3的推论，函数,在,可积，再根据定理7有：,或,即,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,推论,注意 这个性质的逆命题一般不成立,，有,（常数），则,证明：根据定理8,函数,在,可积，有：,定理9(积分第一中值定理),在区间,连续，,在区间,可积，且不变号，则在,上至少存在一点,使得,二、定积分中值定理,若函数,推论,在区间,连续，,则在,上至少存在一点,使得,若函数,特殊g(x)=1时,推论的几何意义：,引理(分部求和公式，也称阿贝尔(abel)变换),证明：,推论(阿贝尔引理)若,证明：,定理10(积分第二中值定理),（此性质可用于估计积分值的大致范围）,解,
