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1、4-4 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,纯弯曲,横力弯曲,Fa,.纯弯曲时梁横截面上的正应力,几何方面,表面变形情况纵线弯成弧线，靠近顶面的纵线缩短，而靠近底面的纵线则伸长；横线仍为直线，并与变形后的纵线保持正交，只是横线间相对转动。,平面假设 梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵对称轴的某一轴转动。,即中性轴,根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称为中性层。,中性层,中性轴,中性层与横截面的交线就是中性轴。,r 中性层的曲率半径,物理方面单轴应力状态下的胡克定律
2、,不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状态。当s sp，且拉、压弹性模量相同时，有,即直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。,静力学方面,即中性轴 z是形心轴。,对称弯曲时此条件将自动满足。,得,得,这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式。EIz称为梁的弯曲刚度。,弯曲正应力计算公式,中性轴 z 为横截面的对称轴时,称为弯曲截面系数,中性轴 z 不是横截面的对称轴时,简单截面的弯曲截面系数,矩形截面,圆形截面,空心圆截面,(4)型钢截面：参见型钢表,式中,.纯弯曲理论的推广,横力弯曲时：1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲；2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向
3、线之间无挤压的假设实际上都不再成立。,弹性力学的分析结果：对于细长梁（l/h 5），纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。,例 图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力smax 和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力sa。,解：1、作弯矩图如上，,2、查型钢表得,56号工字钢,3、所求正应力为,或根据正应力沿梁高的线性分布关系的,梁的正应力强度条件,由于smax处t=0或极小，并且不计由横向力引起的挤压应力，因此梁的正应力强度条件可按单向应力状态来建立：,材料的许用弯曲正应力,中性轴为横截面对称轴的等直梁,拉、压强度不相等的铸铁
4、等脆性材料制成的梁,为充分发挥材料的强度，最合理的设计为,例 图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。钢的许用弯曲正应力s=152 MPa。试选择工字钢的号码。,解：1、支反力为,作弯矩图如上。,单位：kNm,2、根据强度条件确定截面尺寸,与要求的Wz相差不到1%，可以选用。,查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值,例 跨长 l=2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力 st=30 MPa，许用压应力 sc=90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁横截面的尺寸d，并校核梁的强度。,解：,根据截面最为合理的要求,即,得,截面对中性轴的惯性矩为,梁上的最大弯矩,于是最大压应力
5、为,即梁满足强度要求。,例 图示槽形截面铸铁梁，已知：b=2m，截面对中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4，铸铁的许用拉应力 st=30 MPa，许用压应力 sc=90 MPa。试求梁的许可荷载F。,解：1、梁的支反力为,据此作出梁的弯矩图如下,发生在截面C,发生在截面B,2、计算最大拉、压正应力,注意到,因此压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条件则B、C截面都要考虑。,而,考虑截面B：,考虑截面C：,因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制,4-5 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,、梁横截面上的切应力,推导思路：近似方法不同于前面章节各种应力计算公式的分析过程,分离体的平衡,横
6、截面上切应力分布规律的假设,横截面上弯曲切应力的计算公式,一、矩形截面梁,横截面上纵向力不平衡意味着纵截面上有水平剪力，即有水平切应力分布。,面积AA1mm 对中性轴 z的静矩,而横截面上纵向力的大小为,纵截面上水平剪力值为,要确定与之对应的水平切应力t 还需要补充条件。,矩形截面梁对称弯曲时横截面上切应力的分布规律,(1)由于梁的侧面为t=0的自由表面，根据切应力互等定理，横截面两侧边处的切应力必与侧边平行；(2)对称轴y处的切应力必沿y轴方向，即平行于侧边；(3)横截面两侧边处的切应力值大小相等，对于狭长矩形截面则沿截面宽度其值变化不会大。,窄高矩形截面梁横截面上弯曲切应力分布的假设：,(
7、1)横截面上各点处的切应力均与侧边平行；,(2)横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等。,根据切应力互等定理,推得：(1)t 沿截面宽度方向均匀分布；(2)在dx微段长度内可以认为t 没有变化。,根据前面的分析,即,又,由两式得,其中：FS 横截面上的剪力；Iz 整个横截面对于中性轴的惯性矩；b 与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度；,矩形截面梁弯曲切应力计算公式,横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩,矩形横截面上弯曲切应力的变化规律,t沿截面高度按二次抛物线规律变化；(2)同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0)；(3)上下边缘处（y=h/2)，切应力为零。
8、,二.工字形截面梁,1、腹板上的切应力,腹板与翼缘交界处,中性轴处,2、翼缘上的切应力,a、因为翼缘的上、下表面无切应力，所以翼缘上、下边缘处平行于y 轴的切应力为零；b、计算表明，工字形截面梁的腹板承担的剪力,(1)平行于y 轴的切应力,可见翼缘上平行于y 轴的切应力很小，工程上一般不考虑。,(2)垂直于y 轴的切应力,即翼缘上垂直于y轴的切应力随按线性规律变化。,且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应力流”。,、梁的切应力强度条件,一般tmax发生在FS,max所在截面的中性轴处，该位置s=0。不计挤压，则tmax所在点处于纯剪切应力状态。,
9、梁的切应力强度条件为,材料在横力弯曲时的许用切应力,对等直梁，有,梁上smax所在点处于单轴应力状态，其正应力强度条件为,梁上任意点G 和H 平面应力状态，若这种应力状态的点需校核强度时不能分别按正应力和切应力进行，而必须考虑两者的共同作用（强度理论）。,横力弯曲梁的强度条件：,强度足够,确定截面尺寸,验证,设计截面时,例 图示为一槽形截面简支梁及其横截面的尺寸和形心C的位置。已知横截面对中性轴的惯性矩Iz=1152104mm4。试绘出D截面上的切应力分布图。,解 求出支反力,D截面的剪力,中性轴以下两块腹板对中性轴的面积矩,a点以下一块腹板对中性轴的面积矩,a点处的切应力为,d点处的水平剪应
10、力为,d点以右部分腹板对中性轴的面积矩,y,例 跨度为6m的简支钢梁，是由32a号工字钢在其中间区段焊上两块 10010 3000mm的钢板制成。材料均为Q235钢，其=170MPa，=100MPa。试校核该梁的强度。,解 计算反力得,最大弯矩为,E,C截面弯矩为,但未超过s的5%，还是允许的。,例 跨度 l=4m 的箱形截面简支梁，沿全长受均布荷载q作用，该梁是用四块木板胶合而成如图所示。已知材料为红松，其弯曲容许正应力，顺纹容许剪应力；胶合缝的容许剪应力。试求该梁的容许荷载集度q之值。,解：,4-6 梁的合理设计,一、合理配置梁的荷载和支座,控制强度条件：,MWz,二、合理选取截面形状,1、尽可能使横截面面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数与面积比值W/A增大。,2、对于由拉伸和压缩强度相等的材料 制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。,3、对于拉、压强度不等的材料制成的梁，应采用对中性轴不对称的截面，以尽量使梁的最大工作拉、压应力分别达到(或接近)材料的许用拉应力 st 和许用压应力 sc。,三、合理设计梁的外形,考虑各截面弯矩变化可将梁局部加强或设计为变截面梁。,若梁的各横截面上的最大正应力都达到材料的许用应力，则称为等强度梁（鱼腹梁）。,
