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1、5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图,5.2 梁的内力 剪力和弯矩,5.3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用,5.5 用区段叠加法作梁的弯矩图*,5 弯曲内力,5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图,5.1.1 梁的平面弯曲的概念,桥梁、楼板梁、火车轴、挡土墙、挡水墙,弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。,梁：以弯曲变形为主要变形的构件，通常称为梁。,1.工程实例及弯曲的概念,若梁上所有外力都作用在纵向对称平面内，梁变形后，轴线将在该对称平面内弯曲，成为一条曲线。这种梁的弯曲平面与外力作用面相重合的弯曲，称为平面弯曲。
2、,RB,RA,P,2.平面弯曲,常见具有对称轴的截面,1.梁本身的简化：,梁轴线代替梁。,2.梁的支座简化,(a)滑动铰支座(链杆支座),(b)固定铰支座,(c)固定端,3.荷载的简化:,(a)集中荷载,(b)分布荷载,5.1.2 梁的计算简图,4.梁的分类,(a)悬臂梁,(b)简支梁,(c)外伸梁,一、梁的内力剪力Q和弯矩M,（一）截面法求梁的内力,A,C,5.2 梁的内力 剪力和弯矩,剪力Q：使梁有左上右下错动趋势的剪力为正(左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正)；或绕截面内一点顺时旋转的剪力为正（反之为负）,弯矩M：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(使梁下侧受拉的弯矩为正
3、)。,M,M,M,M,弯矩为正,弯矩为负,Q,剪力为正,Q,内力正负号规定,Q,剪力为负,Q,(根据变形确定内力正负号),Q,待求的剪力Q和弯矩M 均设为正向。,M,M,Q,脱离体取左段时,脱离体取右段时,1.截:沿mm横截面假想地将杆截开成两部分，留下杆件的任意部分为研究对象；2.代:将弃去部分对留下部分的作用用内力代替，画受力图；3.平:对留下部分写平衡方程，求出内力。,截面法步骤：,【例】求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。,解：（1）求支反力,（2）计算1-1截面的内力,（3）计算2-2截面的内力,剪力不标注,弯矩注?侧受拉,尺规作图，上下对齐,由截面法得内力结论,梁任意截
4、面上的剪力等于截面一侧梁段上所有横向外力的代数和。左侧梁段向上的外力为正（右侧梁段向下的外力为正），反之为负。,梁任意截面上的弯矩等于截面一侧梁段上所有外力对截面形心取矩的代数和。左侧梁段顺时针旋转的力矩为正（右侧梁段逆时针旋转力矩为正），反之为负。,（二）直接法求内力,D,A,B,C,【例5-2】求图示梁B截面右侧11截面的剪力和E截面的弯矩。,【解】,E,1,1,(1)求支反力,(2)求内力,【练习】已知P=5kN，M=2kNm，q=1kN/m。试求悬臂梁11、22、33、4-4截面上的内力。,M,【解】,=2kNm,=1kN/m,=5kN,方法：求悬臂梁的内力时应取无支座一侧。,目录,5
5、.3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,（一）剪力方程和弯矩方程,剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。,（二）剪力图和弯矩图,【例】图示简支梁受均布荷载q的作用，作该梁的剪力图和弯矩图。,【解】（1）求支座反力,RB,RA,（2）列剪力方程和弯矩方程,（0 xl）,（0 xl）,q,（3）绘剪力图和弯矩图,尺规比例作图，上下对齐,【例5.4】作简支梁的内力图,【解】（1）求支座反力,（2）列剪力方程和弯矩方程,（0 x1a）,(0 x1a）,AC段：,尺规比例作图，上下对齐,端点无集中力，剪力方程闭区间。,端点无集中力偶，弯矩方程闭区间。,CB段：,（ax2
6、 l）,（ax2l）,（3）绘剪力图和弯矩图,在集中力作用点，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，突变方向沿集中力作用的方向；弯矩图发生转折。,【例5.5】在图示简支梁AB的C点处作用一集中力偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。,【解】（1）求支座反力,（2）列剪力方程和弯矩方程,AC段：,（0 x1a）,（0 x1a）,尺规作图，上下对齐,在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。,（3）绘剪力图和弯矩图,CB段：,（ax2 l）,(ax2l),【例5.3】作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。,【解】,【解】,（0 x l）,（0 x l）,（0 x l）,（0 x l）,方
7、程法画内力图步骤：（1）求必要反力；,（3）写各段的剪力方程和弯矩方程；,（4）画出各段的Q、M图并连接。,（2）分段：集中力、集中力偶、均布力始终点作为分段点；,C,C,C,C,梁上集中荷载及支座处内力有以下特点,（1）集中力作用处，剪力无定值，定突变，突变值就是该处集中力的数值。突变方向沿集中力作用的方向。弯矩图发生转折。,（2）集中力偶作用处，弯矩无定值，定突变，突变值就是该处集中力偶的数值。突变方向顺集中力偶转向。,（3）在两端的铰处或自由端，只要该处无集中力偶，则梁端内侧截面的M=0。若该处有集中力偶Me作用，则梁端内侧面或自由端内侧面M=Me,（4）最大弯矩可能发生在 a)集中力作
8、用处 b)集中力偶作用处 c)Q=0处 d)固定端,5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用,5.4.1 q(x)、Q(x)、M(x)之间的微分关系,【解】,（0 x l）,（0 x l）,例 验证q(x)、Q(x)、M(x)之间的微分关系,【解】,（0 x l）,（0 x l）,x轴正向右，q(x)、Q(x)、M(x)之间的微分关系才成立。,微分关系的几何意义：,剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载。,弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。,弯矩图上某点处的切线斜率的变化率等于该点荷载集度的大小。,目录,5.4.2 几种常用荷载下剪力图与弯矩图的特征,2.利用微分关系和内力图特征绘制剪
9、力图和弯矩图,(2)判断线型，计算分段点及特征点Q、M值；,(3)画出分段点之间的Q、M图。,(1)分段：集中力、集中力偶、分布力始终点作为分段点；,简易法,1.利用微分关系和内力图特征校核剪力图和弯矩图,6,【例5.6】作梁的Q图和M图。,【解】(1)求支反力,4,1,(3)分段、直接法定弯矩值、绘出梁的弯矩图,(2)据荷载分布情况逐段绘出梁的剪力图,7,6,4,E,170,【例】作梁的Q图和M图。,【解】(1)求支反力,70,90,(3)分段、直接法定弯矩值、绘出梁的弯矩图,(2)据荷载分布情况逐段绘出梁的剪力图,260,230,RG,RA,F,70,170,G,300,E,D,【例】作外
10、伸梁内力图。,【解】(1)求支反力,5,10,10,(2)据荷载分布情况逐段绘出梁的剪力图,(3)分段、直接法定弯矩值、绘出弯矩图,10,10,【例】外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q图和M图。,【解】(1)求支反力,3.8,E,4.2,3,(2)据荷载分布情况逐段绘出梁的剪力图,(3)分段、直接法定弯矩值、绘出弯矩图,RA,RB,3.8,3,2.2,【例】作图示梁的剪力图和弯矩图。,15,20,25,20,20,31.25,【解】(1)求支反力,(2)据荷载分布情况逐段绘出梁的剪力图,(3)分段、直接法定弯矩值、绘出弯矩图,D,a,a,【例】利用剪力、弯矩与荷载集度的关系作图示梁的内力图
11、。,【解】,Q,C,A,B,1、检查下列剪力弯矩图是否正确,练习,1.33,2.67,0.27,0.36,2、作图示梁的剪力弯矩图,(kN),(kNm),5.5 用区段叠加法作梁的弯矩图,叠加原理：由几个外力所引起的某一参数值（内力、应力、位移等），等于每个外力单独作用时所引起的该参数值之总和。,注意：叠加原理只有在参数与外力成线性关系时才能成立。,【例】如图简支梁，受分布荷载q和MA、MB作用，用叠加法绘出其弯矩图。,注意：这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合。,+,1.分荷载叠加法作弯矩图,【例】叠加法绘制梁的弯矩图。,l/2,B,l/2,A,P,l/2,2.区段叠加法作弯
12、矩图,对梁分段，在每一个区段上利用叠加原理进行弯矩图的叠加，这种方法通常称为区段叠加法。,+,【例】叠加法作图示梁的弯矩图,【解】（1）求支反力,（2）分段、定控制面弯矩值、绘出梁的弯矩图,8,（4）,10,12,4,2,（3）叠加法作AD段弯矩图,小 结,一、平面弯曲概念及产生条件。,二、梁的内力正负号规定及求法：截面法、直接法。,三、梁的内力图规定及画法：方程法、简易法、叠加法。,四、梁的内力图特征及常用基本内力图。,课外作业 P132 P133第一次 5.1（b）、（e）、(f)第二次 5.2（d）、（f）第三次 5.3（f）、（j）、（k）,课外作业要求：1、书写班级、学号、姓名2、尺
13、规作图，字迹端正、清晰，排列整齐，不乱涂改3、用作业纸，抄写题目4、第二次第一节课后交5、作业要订正、整理，期末装订上交评分,【习题5.1】求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。,【解】,（b）,（1）计算1-1截面的内力,（2）计算2-2截面的内力,方法：求悬臂梁的内力时应取无支座一侧。,剪力不标注,弯矩注?侧受拉,【解】,(1)求支反力,(2)计算1-1截面内力,(3)计算2-2截面的内力,（e）,(f),B,【解】,(1)求支反力,(2)计算内力,【习题5.2】写出图示各梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。,（d）,A,1m,15kN/m,3m,30kN,B,C,【解】,(1)写
14、剪力方程和弯矩方程,(2)作剪力图和弯矩图,AC段,CB段,30,45,127.5,37.5,16.9,（f）,【解】,(1)求支反力,(2)写剪力方程和弯矩方程,5,20,（f）,【习题5.3】用简易法作图示各梁的剪力图和弯矩图。,A,【解】,(1)求支反力,(2)作剪力图,a,(3)作弯矩图,A,B,C,【解】(1)求支反力,(2)据荷载分布情况逐段绘出梁的剪力图,(3)分段、直接法定弯矩值、绘出弯矩图,习题 作梁的Q图和M图。,【解】(1)求支反力,20,60,(3)分段、直接法定弯矩值、绘出梁的弯矩图,(2)据荷载分布情况逐段绘出梁的剪力图,60,100,A,B,C,RE,RA,E,80,140,D,80,F,本章结束,
