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1、离散数学讲义1.1 集合论发展史,1 集合论发展史,集合论(Set Theory)是现代数学的基础它的起源可追溯到16世纪末，主要是对数集进行卓有成效的研究集合论实际发展是由 19世纪 70年代德国数学家康托尔(G Cantor)在无穷序列和分析的有关课题的理论研究中创立的Cantor对具有任意特性的无穷集合进行了深入的探讨，提出了关于基数、序数、超穷数和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础因此，Cantor被誉为集合论的创始人他创立的集合论是实数理论，以至整个微积分理论体系的基础。,集合论创始人 康托尔 德国数学家(Georg Cantor 18451918),1845年3月3日 出生于俄国
2、的一个丹麦犹太血统的家庭。1856年 与父母一起迁到德国的法兰克福。1863年 进入柏林大学，转到纯粹的数学。1866年 获得博士学位。1874年 在数学杂志上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。,2 Cantor生平,1879年 任哈雷大学教授。1891年 组建德国数学家联合会，被选为第一任主席。1904年 被伦敦皇家学会授予当时数学界最高荣誉西尔威斯特（Sylvester）奖章。,1884年春天起 患了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安，精神病时时发作，不得不经常住到精神病院的疗养所去。变得很自卑，甚至怀疑自己的工作是否可靠。他请求哈雷
3、大学当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位。1918年 在哈雷大学附属精神病院去世，享年73岁。,克罗内克（L.Kronecker 18231891）Cantor的老师，他用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、连续不断地攻击Cantor达十年之久。他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击Cantor。横加阻挠Cantor在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位。使得Cantor想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折。,3 对Cantor的不同评价,法国数学家庞加莱：庞加莱是一位博学家，在数学、数学物理、天体力学和哲学方面都有很深的造诣。他是第一个发现混沌确定系统的人，并为现代混沌理论打下了基础
4、，甚至在相对论研究上，他第一篇论文的发表也比爱因斯坦的论文早了一个多月。庞加莱猜想：在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间一定是一个圆球。集合论是一个有趣的“病理学”，并预测后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了。,德国数学家魏尔（C.H.HermannWeyl，18851955）:关于基数的等级观点是雾上之雾。菲利克斯.克莱因（F.Klein，18491925）:不赞成集合论的思想。数学家HA施瓦兹Cantor的好友 由于反对集合论而同Cantor断交。,3 Cantor的主要研究成果,通过一一对应关系建立了集合之间等势的概念，奠定了
5、无限集分类的基础。最著名的著作-超穷理论基础:数学理论必须肯定实无穷，因为很多最基本的数学性质，例如一切正整数，圆周上的一切点等，事实上都是实无穷性的概念。而且不能把能有穷所具有的性质强加于无穷。他的“一一对应”的原理突破了传统的“整体大于部分”的旧观念，例如全体正整数与（其部分）全体正偶数一一对应，正整数集与正偶数集等势。,引进了可数集的概念，证明了有理数全体及代数数（有理多项式的根）全体都是可数集合。运用对角线方法证明了实数集是不可数集，从而间接推导出超越数（非代数数的实数）比代数数多，同时也说明了无限集可按大小区分为不同的类。证明了n维空间与一维直线之间存在一一对应。系统研究了序数理论，
6、提出了良序原理。证明了集的幂集比原集有更大的基数。提出了连续统假设。,集合论发展史（继续）,随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，1900年前后，出现了许多悖论，有力冲击了或者说动摇了集合论的发展数学史上的三次危机无理数的发现第一次数学危机无穷小是零吗？第二次数学危机 悖论的产生第三次数学危机,康托尔的朴素集合论,剖析康托尔集合论中的许多证明便知，几乎他所证明的一切定理均能从如下三个公理得出:外延公理任意两个集合相等，当且仅当它们中的各个元素都是相同的。抽象公理任给一个性质，都有一个满足该性质的对象所组成的集合。选择公理每个集合都有一个选择函数。Note:毛病出在抽象公理上.1
7、903年,Russel发现“由不为自身的成员这一性质的所有客体的集合”会导出矛盾来,这就是著名的罗素悖论.,是否存在集合A和B,使得AB 且A B？若存在，请举一例。设A=a，B=a,a,b,c，则有:AB 且A B 再例如：且,讨论：,设集合S=A|A是集合，且AA若SS，则S是集合S的元素，则根据S的定义，有S S，与假设矛盾；若SS，则S是不以自身为元素的集合，则根据S的定义，有SS，与假设矛盾。“一个理发师宣称，他不给自己刮脸的人刮脸，但给所有不自己刮脸的人刮脸。”人们问：“理发师先生，您自己的脸谁刮？”,罗素悖论,伯特兰罗素（1872-1970）英国著名哲学家、数学家、逻辑学家、散文
8、作家、社会活动家,1872年5月，生于英国曼摩兹郡的特雷克，幼年时父母双亡，是祖母将他抚育成人。1890年进剑桥大学三一学院学习1893年获数学荣誉学士学位一级。接着改学哲学1894年获道德哲学荣誉学士学位一级毕业后曾游学德国学经济，受马克思主义影响，回国后，在伦敦大学政治和经济学院任讲师。l903年发表数学原理一书，并以论文几何学基础获三一学院研究员职位。1908年当选为皇家学会会员。,3 罗素生平,1910年发表哲学文集;1917年发表哲学的问题。1914年加入工党。第一次世界大战期间，因参加和平主义者的活动，被处罚金，革职入狱。在狱中，撰写了数学哲学导论。1920年访问中国和苏联，著有布
9、尔什维主义的实践和理论。1920年到北大担任客座教授，一年后离开，隔年写成中国问题这本书。他看见：“中国文化正在发生急遽的变化”，提出建议：“假如中国人能自由地吸收我们文明中他们所需要的东西，而排斥那些他们觉得不好的东西，那么他们将能够在其自身传统中获得一种有机发展，并产生将我们的优点同他们自己的优点相结合起来的辉煌成就。”,1927年，罗素和夫人布拉克在英国彼得斯费尔德市附近创办一所私立学校，实验他的教育理论，是当时英国的进步主义学校之一。1935年离婚后，布拉克独自办到1939年。他一直主张“自由教育”和“爱的教育”。认为教育的基本目的是品格的发展，而“活力、勇气、敏感和智慧”是形成“理想
10、品格”的基础；并深信通过对儿童的身体、感情和智力上的“恰当的处理”，可以使这些品质得到普遍的培养。1931年他继承为第三世罗素勋爵。1949年获荣誉勋章。1950年由于他“多产而重要的哲学著作，并以此成为人道主义与自由思想的代言人”而获得了该年度的诺贝尔文学奖。,50年代因积极参加世界和平运动，反对核战争而获得世界和平奖。1955年2月，爱因斯坦收到了英国著名哲学家罗素的信，告诉他由于制造核武器的竞赛，人类的前途实在令人担心，希望以爱因斯坦为首团结几个著名的科学家发表宣言避免毁灭人类战争发生。爱因斯坦在收到信后马上回信表示：“你熟悉这些组织的工作。你是将军我是小兵。你只要发出命令，我就随后跟从
11、。”于是出现了著名的罗素爱因斯坦宣言除了爱因斯坦在临终前签字外，约里奥居里、汤川秀树和李诺鲍林等多位科学家都在宣言上签字。1961年，89岁高龄的罗素参与一个核裁军的游行后被拘禁了7天。他反对越南战争，和萨特一起于1967年5月成立了一个“罗素法庭”，揭露美国的战争罪行。,1959年，罗素发表了西方智慧后，开始了罗素自传的创作，并在1967年95岁高龄之际完成了一生最优秀的著作之一罗素自传。1970年2月2日去世，一生曾四次结婚，三次离婚。,罗素自传序言“我为什么而活着”:对爱情的渴望，对知识的追求，对人类苦难不可遏制的同情心，这三种纯洁但无比强烈的激情支配着我的一生。这三种激情就像飓风一样，
12、在深深的苦海上，肆意地把我吹来吹大，吹到濒临绝望的边缘。我寻求爱情，首先因为爱情给我带来狂喜，它如此强烈以致我经常愿意为了几小时的欢愉而牺牲生命中的其它一切。我寻求爱情，其次是因为爱情解除孤寂那是一颗震颤的心，在世界的边缘，俯瞰那冰冷死寂、深不可测的深渊。我寻求爱情，最后是因为在爱情的结合中，我看到圣徒和诗人们所想象的天堂景象的神秘缩影。这就是我所寻求的，虽然它对人生似乎过于美好，然而最终我还是得到了它。,我以同样的热情寻求知识，我希望了解人的心灵。我希望知道星星为什么闪闪发光，我试图理解毕达哥拉斯的思想威力，即数字支配着万物流转。这方面我获得一些成就，然而并不多。爱情和知识，尽其可能地把我引
13、上天堂，但是同情心总把我带回尘世。痛苦的呼号的回声在我心中回荡，饥饿的儿童，被压迫者折磨的受害者，被儿女视为可厌负担的无助的老人以及充满孤寂、贫穷和痛苦的整个世界，都是对人类应有生活的嘲讽。我渴望减轻这些不幸，但是我无能为力，而且我自己也深受其害。这就是我的一生，我觉得它值得活。如果有机会的话，我还乐意再活次。,罗素谚语,许多人宁愿死，也不愿思考，事实上他们也确实至死都没有思考。我的人生正是：使事业成为喜悦，使喜悦成为事业。一部分儿童有思考的习惯，而教育的目的在于铲除他们的这种习惯。乞丐并不会妒忌百万富翁，但是他肯定会妒忌收入更高的乞丐。即使真相并不令人愉快，也一定要做到诚实，因为掩盖真相往往
14、要费更大力气。不要为自己持独特看法而感到害怕，因为我们现在所接受的常识都曾是独特看法。不用盲目地崇拜任何权威，因为你总能找到相反的权威。凡事不要抱绝对肯定的态度。,由于Cantor所创立的朴素集合论产生了悖论，促进了集合论公理化的工作。具有代表性的工作有两个：由德国数学家策梅洛(E.Zermelo)于1908年首先建立，后来由以色列数学家弗兰克尔(A.A.Fraenkel)，挪威数学家斯科伦(T.Skolem)与冯诺依曼(von Neumann)等人于20世纪20年代加以改进的ZF公理集合论系统，加入选择公理的系统成为ZFC。von Neumann-Bernays-Gdel公理系统，简称NBG
15、系统。教材主要介绍Cantor的朴素集合论的工作。,集合论发展史（继续）,设A，B是两个集合，所有有序对(x,y)做成的集合(其中xA，yB)，称为A，B的直乘积(笛卡儿积)，记以AB。AB=(x，y)xA且yB。,4 笛卡儿积(Cartesian product),笛卡儿(RenDescartes，15961650)在数学史上，笛卡儿因与费马共同创立解析几何而闻名于世。与此同时，笛卡儿还是一位 哲学家、物理学家、生物学家，尤其在哲学上的杰出贡献使他成为当之无愧的一代哲学大师。,笛卡儿是法国人，出生于一个贵族 家庭，由于体弱多病，养成了在床上读 书的习惯，这使得他有更多的时间独自静静地思考各种
16、关于自然、科学与人的问题。1628年，笛卡儿移居荷兰，潜心从事哲学、数学、天文学、物理学、化学和生理学等领域的研究。他的主要著作都是在荷兰完成的，其中1637年出版的方法论 一书成为哲学经典。这本书中的3个著名附录几何、折光和气象更奠定了笛卡儿在数学、物理和天文学中的地位。,在几何中，笛卡儿分析了几何学与 代数学的优缺点，指出：希腊人的几何过多的依赖于图形，总是要寻求一些奇妙的想法。代数却完全受法则和公式的控制，以致于阻碍了自由的思想和创造。他同时看到了几何的直观与推理的优势和代数机械化运算的力量。于是笛卡儿着手解决这个问题，并由此创立了解析几何。1650年2月，笛卡儿在瑞典病逝。,结论1 设
17、A1，A2是有限集，且不相交，则|A1 A2|=|A1|+|A2|。结论2 设A1，A2是任意有限集，则|A1 A2|=|A1|+|A2|-|A1 A2|。结论3 设A1，A2，A3是任意有限集，则|A1A2A3|=|A1|+|A2|+|A3|-|A1A2|-|A1A3|-|A2A3|+|A1A2A3|,5 容斥原理(principle of inclusion-exclusion),等幂律：AA=A，AA=A。交换律：AB=BA，AB=BA。结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)。分配律：A(BC)=(AB)(AC)，A(BC)=(AB)(AC)。5.吸收律：A(AB)=A，
18、A(AB)=A。,6 集合的运算定律,互补律：De Morgan律：同一律：EA=A，A=A。零一律：A=，EA=E。双重否定律：,证明：A(BC)=(AB)(AC),证明：先证A(BC)（AB）（AC）。任取 aA(BC)，则aA 并且 a BC。由a BC知，aB或a C。若aB，则aAB；若aC，则aAC。因此，aAB或aAC,即 a(AB)(AC)。再证(AB)(AC)A(BC)。任取 a(AB)(AC),则aAB或aAC。若aAB，则aA且a B；若aAC，则aA且a C。总之，aA，且aB或aC，即aA且 a BC，亦即 aA(BC)。综上：(AB)(AC)=A(BC)。,证明：任取，即aAB，亦即aA且aB，于是 且，故，所以任取，即 且，亦即aA且aB，于是aAB，故，所以综上，得证。,证明：,
