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1、2023/2/22,皖西学院 数理系,1,引言,数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它是在一般统计所进行的数据整理的基础上，用概率论的方法科学地加工、提炼、并做出判断的一门数学学科。其主要思想方法是用局部推断整体。数理统计的内容非常丰富，从本章开始，我们先介绍数理统计的一些基本概念，然后逐步介绍参数估计、假设检验、方差分析及回归分析的部分内容。,2023/2/22,皖西学院 数理系,2,第八章 统计与统计学,2023/2/22,皖西学院 数理系,3,第一节 统计的研究对象,2023/2/22,皖西学院 数理系,4,2023/2/22,皖西学院 数理系,5,统计的研究对象和特征,2023/2/
2、22,皖西学院 数理系,6,第二节 总体和样本,2023/2/22,皖西学院 数理系,7,我们今后所讨论的统计问题主要属于下面这种类型：从一个集合中选取一部分元素，对这些元素的某些数量指标进行测量，根据测量获得的数据来推断此集合中全部元素的这些数量指标的分布情况。,在统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为母体或总体。而把组成母体的每个元素称为个体。,例如在研究某批灯泡的寿命时，该批灯泡的全体就组成了母体，而其中每个灯泡就是个体。在研究太原市男大学生的身高和体重的分布情况时，太原市的全体男大学生组成了母体，太原市的每个男大学生都是个体。,2023/2/22,皖西学院 数理系,8,上述例子
3、中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重，就此数量指标而言，每个个体所取值是不同的。在试验中抽取了若干个个体，就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X就是一个随机变量（或向量）。而X的分布就完全描述了总体中我们所关心的那个数量指标的分布情况。因此我们以后就把母体和数量指标X可能取值的的全体组成的集合等同起来。所谓母体的分布也就是指数量指标X 的分布。,但是在数理统计中，由于我们关心的不是每个个体的所有具体特性，而仅仅是它的某一项或某几项的数量指标X（可以是向量）和该数量指标在母体中的分布情况。,补充说明,2023/2/22,皖西学院 数理系,9,引入随机变量的概念后，可以把总体看作
4、是一个分布，“从总体中抽样”和“从某分布中抽样”是一个含义。不同总体的区别可以从其分布或者分布的特征数进行比较。本书以无限总体作为主要研究对象，总体所含个体数目很大时，近似看作是无限总体。,2023/2/22,皖西学院 数理系,10,样本与简单随机样本,为了研究总体的性质，我们按一定的规则从总体中抽取若干个个体，这些个体称为样本（或子样）。样本中所包含的个体数目称为样本容量（或子样容量）。在重复抽样中，每一个个体也是一个随机变量，因此容量为n的样本可以看作是一个n维随机变量,即,为了使样本在尽可能大的程度上反映总体的特性，我们对样本有基本要求：首先抽取子样时要相互独立，互不影响；其次抽出来的个
5、体能充分反映总体的特性。一般地，有如下定义：,2023/2/22,皖西学院 数理系,11,定义 若n个随机变量X1,X2,Xn 相互独立，且具有相同的概率分布F(x)，则称(X1,X2,Xn)是来自总体的一个容量为n的简单随机样本，简称为样本。,容量为n的样本(X1,X2,Xn)是一个n维随机变量，记xi为Xi(i=1,2,n)的一次观察值，则称x1,x2,xn为样本的一次观察值。,样本(X1,X2,Xn)的所有可能取值的全体称为样本空间。,注意：有时，也用(x1,x2,xn)表示样本。到底是样本还是样本观察值，要根据题意和条件而确定。,2023/2/22,皖西学院 数理系,12,补充说明,注
6、意：有时，也用(x1,x2,xn)表示样本。到底是样本还是样本观察值，要根据题意和条件而确定。,样本在抽取前，不知道其数值，是随机变量；样本在抽取后，有确定的数值，是样本观测值。通常也称为样本的二重性。,简单随机样本简称样本的性质：随机性每一个个体可以等可能地被选入样本，每一样品Xi与总体同分布。独立性样本中的样品取值相互不影响，即x1,x2,xn相互独立。,2023/2/22,皖西学院 数理系,13,样本的分布函数,设总体X的分布函数为F(x),则容量为n的样本是一个n维随机变量，其联合分布函数为,注：无限总体的简单随机抽样很容易实现；而对有限总体来说，有放回抽样是简单随机抽样，无放回抽样则
7、不是简单随机抽样。,2023/2/22,皖西学院 数理系,14,2023/2/22,皖西学院 数理系,15,2023/2/22,皖西学院 数理系,16,第三节 什么是统计学,2023/2/22,皖西学院 数理系,17,2023/2/22,皖西学院 数理系,18,这种数据的收集和整理也称为描述性统计。,容量为1000的一个样本观测值的结果样本的平均值，并不表示所有65岁以上老人的均寿命总体的平均值。两者有怎样的联系呢？即是我们所说的统计推断问题。,统计学：使用有效的方法收集和整理数据、分析数据，并根据分析结果作出结论的一门学科。其主要内容包括：抽样调查、试验设计、点估计、区间估计和假设检验等。,
8、2023/2/22,皖西学院 数理系,19,第四节 统计方法的特点,1、依据数据，定量分析；2、从概率角度作判断，存在错误的可能性；3、研究和揭示现象之间的数量关系，不肯定是因果关系；,2023/2/22,皖西学院 数理系,20,第五节 统计思想,2023/2/22,皖西学院 数理系,21,统计学研究的是随机现象，揭示其一般规律。但随机现象存在其偶然性的一面，通过对某次样本数据的分析结果来确定总体的某项数量指标，必然存在差异性。但从大量的试验结果来看，又必然存在其规律性。如投硬币的试验，产品的质量抽检等。,1、概率与频率的关系是统计思想的一个重要体现。2、从样本与总体分布的关系可以确定，两者的差异是有一定的限度范围的，也可以说是所谓的小概率原理。,
