《Z变换及Z传递函数..ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《Z变换及Z传递函数..ppt（72页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第2章 Z变换及Z传递函数,掌握Z变换的定义、性质和定理,掌握Z反变换及差分方程求解,掌握Z传递函数的定义和性质,线性连续时间控制系统,常系数线性微分方程,暂态特性和稳态控制精度,Lap-Tran,差分方程,闭环离散控制系统,Z-Tran,（采样Lap-Tran）,离散化（采样）,反Z-Tran,反Lap-Tran,Fourier-Tran是将连续的时间域信号转变到频率域；它可以说是Lap-Tran的特例，Lap-Tran是Fourier-Tran的推广，存在条件比Fourier-Tran要宽，是将连续的时间域信号变换到复频率域（整个复平面，而Fourier-Tran此时可看成仅在j轴）Z-T
2、ran是连续信号经过理想采样之后的离散信号的Lap-Tran，再令z=eTs 时的变换结果（T为采样周期），所对应的域为数字复频率域，此时数字频率=T,2.1 Z变换定义与常用Z变换,基本定义,已知连续信号f(t)经过采样周期为T的采样开关后，变成离散的脉冲序列函数f*(t)即采样信号,2.1 Z变换定义与常用Z变换,基本定义,对上式进行拉氏变换，则,根据广义脉冲函数的性质，可得：,2.1 Z变换定义与常用Z变换,基本定义,上式中，F*(s)是离散时间函数f*(t)的拉氏变换，因复变量s含在指数e-kTs中是超越函数不便于计算，故引一个新变量z=eTs，并将F*(s)记为F(z)则,F(z)就
3、称为离散函数f*(t)的Z变换,在Z变换的过程中，由于仅仅考虑的是f(t)在采样瞬间的状态，所以上式只能表征连续时间函数f(t)在采样时刻上的特性，而不能反映两个采样时刻之间的特性，从这个意义上来说，连续时间函数f(t)与相应的离散时间函数f*(t)具有相同的Z变换。即,2.1 Z变换定义与常用Z变换,基本定义,将离散时间函数写成展开式的形式 对上式取拉氏变换，得,2.1 Z变换定义与常用Z变换,Z变换求解,1级数求和法,已知f(t),例 f(t)=at/T 函数(a为常数)的Z变换 解：根据Z变换定义有,2.1 Z变换定义与常用Z变换,Z变换求解,1级数求和法,设连续时间函数f(t)的拉氏变
4、换F(s)为有理函数，将展开成部分分式的形式为 因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出,2.1 Z变换定义与常用Z变换,Z变换求解,2部分分式法,已知F(s),例 已知（a为常数），求F(z)解：将F(s)写成部分分式之和的形式,2.1 Z变换定义与常用Z变换,Z变换求解,2部分分式法,2.1 Z变换定义与常用Z变换,常见Z变换,1单位脉冲信号,2.1 Z变换定义与常用Z变换,常见Z变换,2单位阶跃信号,2.1 Z变换定义与常用Z变换,常见Z变换,3单位速度信号,2.1 Z变换定义与常用Z变换,常见Z变换,4指数信号,2.1 Z变换定义与常用Z变换,常见Z变换,5正弦信号,设a,a1,a2为
5、任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t)的Z变换分别为F(z),F1(z)及F2(z)，则有,2.2 Z变换的性质和定理,1线性定理,设连续时间函数在t0时，f(t)=0，且f(t)的Z变换为F(z)，则有证明：,2滞后定理,2.2 Z变换的性质和定理,设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有 证明：,3超前定理,2.2 Z变换的性质和定理,设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有 证明：所以,4初值定理,2.2 Z变换的性质和定理,设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有证明：,5终值定理,2.2 Z变换的性质和定理,设连续时间函数f(t)和g(t)的Z变换分
6、别为F(z)及G(z)，若定义则,6卷积和定理,2.2 Z变换的性质和定理,证明：由于当i k时,6卷积和定理,2.2 Z变换的性质和定理,设连续时间函数f(t)和g(t)的Z变换分别为F(z)及G(z)，若有则,7求和定理,2.2 Z变换的性质和定理,证明：,7求和定理,2.2 Z变换的性质和定理,设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有 证明：,8位移定理,2.2 Z变换的性质和定理,设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有 证明：,9微分定理,2.2 Z变换的性质和定理,所谓Z反变换，是已知Z变换表达式F(z)，求相应离散序列f(kT)或f*(t)的过程，表示为
7、,2.3 Z反变换,基本定义,F(s),f(t),Lap-Tran,一一对应,f*(t),F(z),z-Tran,一一对应,f(kT),无对应,2.3 Z反变换,基本定义,设 用长除法展开得：由Z变换定义得：比较两式得：则：,2.3 Z反变换,计算方法,1 长除法,设已知的Z变换函数F(z)无重极点，先求出F(z)的极点，再将F(z)展开成如下分式之和 然后逐项查Z变换表，得到 则：,2.3 Z反变换,计算方法,2 部分分式法(查表法),根据柯西留数定理，上式可以表示为 n表示极点个数，pi表示第i个极点。即f(kT)等于F(z)zk-1的全部极点的留数之和。,2.3 Z反变换,计算方法,3
8、留数法,2.3 Z反变换,计算方法,长除法,2.3 Z反变换,计算方法,查表法,2.3 Z反变换,计算方法,留数法,实例-试求下列函数的Z反变换,2.3 Z反变换,计算方法,对于单输入、单输出的计算机控制系统，设在某一采样时刻的输出为y(kT)，输入为u(kT)，为了书写方便，用y(k)表示y(kT)，用u(k)表示u(kT)。在某一采样时刻的输出值y(k)不但与该时刻的输入u(k)及该时刻以前的输入值u(k-1)，u(k-2)，u(k-m)有关，且与该时刻以前的输出值y(k-1)，y(k-2)，y(k-n)有关，即：或,2.5 线性定常离散系统的差分方程及其解,上式称为n阶线性定常离散系统的
9、差分方程，其中ai、bi由系统结构参数决定，它是描述计算机控制系统的数学模型的一般表达式，对于实际的应用系统，根据物理可实现条件，应有k0。当k0时，y(k)=u(k)=0。用Z变换解常系数线性差分方程和用拉氏变换解微分方程是类似的。先将差分方程变换为以z为变量的代数方程，最后用查表法或其它方法，求出Z反变换。,2.5 线性定常离散系统的差分方程及其解,若当k0时，f(k)=0，设f(k)的Z变换为F(z)，则根据滞后定理关系可推导出,2.5 线性定常离散系统的差分方程及其解,例 若某二阶离散系统的差分方程为：设输入为单位阶跃序列。解：,2.5 线性定常离散系统的差分方程及其解,实例-试用Z反
10、变换法求下列差分方程,（1）,设输入u(t)=1(t)（单位阶跃函数）以及k0当时y(k)=0,（2）,设输入u(t)=(t)（单位脉冲函数）以及k0当时y(k)=0,2.5 线性定常离散系统的差分方程及其解,脉冲传递函数,传递函数,线性连续控制系统,线性离散控制系统,Z传递函数,2.6 Z传递函数,设n阶定常离散系统的差分方程为：在零初始条件下，取Z变换 则G(z)就称为线性定常离散系统的Z传递函数。在零初始条件下离散系统的输出与输入序列的Z变换之比。,2.6 Z传递函数,基本定义,如果已知U(z)和G(z)，则在零初始条件下离散系统的输出采样信号为因此，求解y*(t)的问题就转换为求系统的
11、Z传递函数，这就表明Z传递函数G(z)可以表征线性离散系统的性能。,2.6 Z传递函数,基本定义,设G(s)的输入为理想的脉冲信号,脉冲响应函数,则输出,系统响应的卷积积分公式,对于任意输入,则输出,2.6 Z传递函数,与脉冲响应函数的关系,设G(s)的输入为任意脉冲序列，有,则输出响应为,上式描述了一个脉冲序列作用于连续系统时，连续系统输出的表达式,2.6 Z传递函数,与脉冲响应函数的关系,用y(kT)来描述y(t)的特征，有,对于物理可实现系统,根据Z变换的卷积定理,2.6 Z传递函数,与脉冲响应函数的关系,Z传递函数的含义：,系统Z传递函数G(z)就是系统单位脉冲响应g(t)的采样值g*
12、(t)的Z变换。,因此，Z传递函数又称为脉冲传递函数,2.6 Z传递函数,与脉冲响应函数的关系,1用拉氏反变换求脉冲过渡函数2将g(t)按采样周期T离散化，得 g(kT)3应用定义求出Z传递函数，即 G(z)不能由G(s)简单地令s=z代换得到。G(s)是g(t)的拉氏变换，G(z)是g(t)的Z变换。G(s)只与连续环节本身有关，G(z)除与连续环节本身有关外，还要包括采样开关的作用。为了讨论方便，将上述过程简记为,2.6 Z传递函数,求解方法,F(s),f(t),Lap-Tran,一一对应,f*(t),F(z),z-Tran,一一对应,f(kT),无对应,2.3 Z反变换,基本定义,2.6
13、 Z传递函数,求解方法,例 已知 解：式中e-Ts相当于将采样延迟了T时间。根据Z变换的线性定理和滞后定理，再通过查表，可得对应的脉冲传递函数为,2.6 Z传递函数,求解方法,两个串联环节之间没有采样开关存在，即串联环节之间的信号是连续时间信号,2.6 Z传递函数,开环,1串联环节的Z传递函数,输出Y(z)与输入U(z)之间总的Z传递函数并不等于两个环节Z传递函数之积。因为两个环节之间的信号传递是一个连续时间函数，即上式对应的Z传递函数为 上式中符号 是 的缩写，表示先将串联环节传递函数G1(s)与G2(s)相乘后，再求Z变换的过程。,2.6 Z传递函数,开环,1串联环节的Z传递函数,两个环节
14、之间有同步采样开关存在,2.6 Z传递函数,开环,1串联环节的Z传递函数,两个串联环节之间有采样开关，可由Z传递函数约定义直接求出串联环节总的Z传递函数为两个串联环节之间有同步采样开关隔开的Z传递函数，等于每个环节Z传递函数的乘积。,2.6 Z传递函数,开环,1串联环节的Z传递函数,在一般情况下，很容易证明：在进行计算时，应引起注意。,2.6 Z传递函数,开环,1串联环节的Z传递函数,结论：n个环节串联构成的系统，若各串联环节之间有同步采样开关，总的Z传递函数等于各个串联环节Z传递函数之积如果在串联环节之间没有采样开关，需要将这些串联环节看成一个整体，求出其传递函数然后再根据G(s)求G(z)
15、。一般表示成,2.6 Z传递函数,开环,1串联环节的Z传递函数,对于两个环节并联的离散系统，输入采样开关设在总的输入端，其效果相当于在每一个环节的输入端分别设置一个采样开关,2.6 Z传递函数,开环,2并联环节的Z传递函数,总的Z传递函数等于两个环节Z传递函数之和，即 上述关系可以推广到n个环节并联时、在总的输出端与输入端分别设有采样开关时的情况。总的Z传递函数等于各环节Z传递函数之和，即,2.6 Z传递函数,开环,2并联环节的Z传递函数,例：已知 分别求出串联环节两种情况的Z传递函数G(z),2.6 Z传递函数,开环,设闭环系统输出信号的Z变换为Y(z)，输入信号的Z变换为R(z)，误差信号
16、的Z变换为E(z)，则有如下定义：闭环Z传递函数：闭环误差Z传递函数：,2.6 Z传递函数,闭环,例 求离散系统的闭环误差Z传递函数及闭环Z传递函数,2.6 Z传递函数,闭环,解：G(s)与H(s)为串联环节且之间没有采样开关，则有 闭环误差Z传递函数：又闭环Z传递函数：,2.6 Z传递函数,闭环,Y(z),E(z),R(z),y(t),e*(t),r(t),e(t),T,H(s),G1(s),U(z),u*(t),T,G2(s),2.6 Z传递函数,闭环,Y(z),E(z),R(z),y(t),e*(t),r(t),T,k0,k,T,E1(z),e1*(t),2.6 Z传递函数,闭环,从物理
17、概念上说就是系统的输出只能产生于输入信号作用于系统之后。这就是通常所说的“因果”关系。设G(z)的一般表达式为：不失一般性，假定其中的系统m0，n0，其余系数为任意给定值，则其对应的差分方程为由上式知，k时刻的输出y(k)不依赖于k时刻之后的输入，只取决于k时刻及k时刻之前的输入和k时刻之前的输出。故G(z)是物理可实现的。,2.6 Z传递函数,物理可实现性,若设G(z)的一般表达式为 不失一般性，假定其中的系统m0，n0，其余系数为任意给定值，则 如果G(z)是物理可实现的，则要求nm。否则，k时刻的输出y(k)就要依赖于k时刻之后的输入，这是物理不可实现的。,2.6 Z传递函数,物理可实现性,线性离散系统除了参考输入外，通常还存在扰动作用根据线性系统的迭加原理，系统的输出响应y(t)应为参考输入r(t)和扰动作用f(t)分别单独作用所引起响应的迭加,2.6 Z传递函数,扰动作用,1当系统不存在扰动时的输出响应为 2当系统只存在扰动时，与之等效的方框图,2.6 Z传递函数,扰动作用,根据线性系统的迭加原理，系统只存在扰动时的输出响应为 取Z变换得：又 则,2.6 Z传递函数,扰动作用,3在扰动作用下系统的输出响应为,2.6 Z传递函数,扰动作用,
