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1、第二节 总体分布和总体特征数的估计,基础梳理,1.作频率分布直方图的步骤（1）求极差（即一组数据中 与 的差）;（2）决定 与;（3）将数据;（4）列;（5）画.2.频率分布折线图和总体分布的密度曲线（1）频率分布折线图：将频率分布直方图中各相邻的矩形的 顺次连接起来.,最大值,最小值,组距,组数,分组,频率分布表,频率分布直方图,上底边中点,足够小,足够大,（2）总体分布的密度曲线：如果将样本容量取得,分组的组距取得,那么相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，我们称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线.3.标准差和方差设一组样本数据，其平均数为，则有（1）标准差:s=.（2）方差：s2=.4.用茎
2、叶图刻画数据有两个优点：(1)所有的信息都可以从;,图中得到,（2）茎叶图便于，能够展示数据的分布情况.但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图的效果就不是很好了.,记录和表示,典例分析,题型一 图形信息题【例1】为了解九年级学生中女生的身高（单位：cm）情况，某中学对九年级女生身高进行了一次测量，所得数据整理后，列出了频率分布表如下：,（1）求出表中m,n,M,N所表示的数分别是多少;（2）画出频率分布直方图；（3）试问：全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5 cm以上的概率.,分析 每组距的频率是该组距中个体的个数与所研究对象的个数之比；所有组距的频率
3、之和为1;每一组距的频率是频率分布直方图中该组距所对应的矩形的面积.,解（1）M=50,m=50-(1+4+20+15+8)=2,N=1,（2）作出直角坐标系，组距为4,纵轴表示频率/组距，横轴表示身高,画出频率分布直方图如图.,（3）在153.5157.5 cm范围内最多，估计身高在161.5 cm以上的概率为P=0.2.,学后反思 一般用频率分布直方图反映样本的频率分布，从而对总体的频率分布作出估计，其具体步骤如下：（1）将数据分组，确定合适的组距，列出频率分布表;（2）明确纵、横轴的意义，纵轴表示,横轴表示样本数据，画出直方图；（3）直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率
4、，所有的小矩形的面积之和等于1,即频率之和为1.由此可以估计样本数据落在某个区间的频率或概率或者总体的数字特征.,举一反三1.下列数据为宝洁公司在某年每周销售出的香皂数（单位：百万块）：17.119.615.417.415.018.520.618.420.013.919.318.214.717.112.219.918.720.420.315.516.819.120.415.420.317.517.018.313.639.820.721.322.521.523.423.122.821.424.025.226.323.930.625.226.226.932.826.326.624.326.223.
5、8（1）把上述数据分组，列出频率分布表；(2)根据（1）的结果画频率分布直方图和频率分布折线图;(3)结合上面的描述，分析该年度香皂销售的分布情况.,解析：（1）频率分布表如下：,（2）频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.（3）该年度每周的香皂销售量主要在1 500万块到3 000万块之间.,题型二 用样本分布估计总体【例2】对某电灯泡进行寿命追踪调查，情况如下：,（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计电灯泡寿命在200 h500 h以内的频率；（4）估计电灯泡寿命在300 h以上的频率.,分析 从分组中看寿命在某一范围内的电灯泡的比例即寿命在该范围内的频率.,解（1）
6、样本频率分布表如下：（2）频率分布直方图如图：,（3）电灯泡寿命在200 h500 h以内的频数为150,则频率为=0.75.（4）寿命在300 h以上的电灯泡的频数为150，则频率为=0.75.,学后反思 利用样本的频率分布可近似地估计总体的分布.从本例可以看出，要比较准确地反映出总体分布的情况，必须准确地作出频率分布表或频率分布直方图，充分利用所给的数据正确地作出估计.解决总体分布估计问题一般程序为：当总体中所取不同数值较少时，常用条形图表示相应的样本的频率分布;否则常用频率分布直方图表示相应样本的频率分布.具体步骤为：(1)先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除以组距数）；(2)分别
7、计算各组的频数及频率（）；(3)画出频率分布直方图并作出相应估计.,2.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支.该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示.,举一反三,（1）将各组的频率填入表中;（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1 500小时的频率.,解析：(1),(2)由(1)可得0.048+0.121+0.208+0.223=0.6,所以灯管使用寿命不足1 500小时的频率为0.6.,题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征【例3】对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：,甲：27,38,30,37
8、,35,31;乙：33,29,38,34,28,36.根据以上数据，试判断他们谁更优秀.,分析 要判断甲、乙两人谁更优秀，只需计算它们的平均数与方差即可.已知一组数据x1,x2,x3,xn,则平均数方差 标准差,解(27+38+30+37+35+31)=33,(33+29+38+34+28+36)=33,s2甲=(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2=94=,s2乙=(33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2=76=.,s2甲s2乙.由此可以说明，甲、乙二人的最大
9、速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀.,学后反思 平均数反映了数据取值的平均水平;标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.考查样本数据的水平及稳定情况时，应先比较其平均数，若平均数相同，再比较其方差（或标准差）.,举一反三3.某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔30 min抽取一包产品,称其重量,分别记录抽查数据如下:甲:102,101,99,98,103,98,99;乙:110,115,90,85,75,115,110.(1)这种抽样方法是哪一种?(2)将这两组
10、数据用茎叶图表示;(3)比较两组数据,说明哪个车间产品较稳定.,解析：(1)因为间隔时间相同,故是系统抽样.(2)茎叶图如下:,(3)甲车间:平均值:=(102+101+99+98+103+98+99)=100,方差:3.428 6.乙车间:平均值:(110+115+90+85+75+115+110)=100,方差:228.571 4.,甲车间产品稳定.,题型四 综合问题【例4】(14分)某种瓶装溶液，因为装瓶机的不稳定性，所以很可能每瓶装的容量都不是标准的容量.我们随机抽出了20瓶，测得它们的容量（单位：百毫升）如下:12.1 11.9 12.2 12.2 12.0 12.1 12.9 12
11、.1 12.3 12.5 11.7 12.4 12.3 11.8 11.3 12.1 11.4 11.6 11.2 12.2（1）根据数据列出频数分布表、画出频数分布图；（2）计算出这组数据的平均数和标准差（结果精确到0.01）;（3）结合（1）、（2）的结果,描述一下样本的分布情况，并根据实际意义写一个简短的报告（对总体情况作出估计）.,分析 现实中对一组数据，往往是从多角度、多层面进行分析.主要标准是平均数、方差的大小,频率分布直方图是否集中等.,解（1）频数分布表如下：频数分布图如图所示:,（2）平均数(12.1+11.9+12.2+12.2)=12.02.8标准差0.41.10,（3）
12、标准差相对于平均数来说比较小;从频数分布图中可以看出，每瓶的容量大致位于1 150毫升到1 250毫升之间.因此判断装瓶机工作稳定.14,学后反思 数据的图形分布情况和数字特征从不同方面对总体（或样本）的分布作出了刻画.在解决实际问题时，这两个方面应结合起来，发挥各自的长处，以便能更清晰的描绘总体（或样本）的分布.,举一反三,4.从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各组的频数如下：40,50),2;50,60),3;60,70),10;70,80),15;80,90),12;90,100,8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图;(3)估计成绩在60
13、,90)分的学生比例.,解析：（1）频率分布表如下：（2）频率分布直方图如图:,（3）成绩在60,90)分的学生比例即为学生成绩在60,90)分的频率，即（0.2+0.3+0.24）100%=74%.,考点演练,10.一个样本a,99,b,101,c中五个数恰成等差数列,求这个样本的标准差.,解析：a,99,b,101,c成等差数列,a=98,c=102,11.在育民中学举行的电脑知识竞赛中,将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组,绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频数
14、是40.(1)求第二小组的频率,并补全这个频率分布直方图;(2)求这两个班参赛的学生人数是多少;(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内?(不必说明理由),解析：(1)各小组的频率之和为1.00,第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频率为1.00-(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.40.落在59.5 69.5的第二小组的小长方形的高为 补全的直方图如图所示.(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x人.第二小组的频数为40人,频率为0.40,解得x=100(人).所以九年级两个班参赛的学生人数为100人.,(3)因为0.310
15、0=30,0.4100=40,0.15100=15,0.10100=10,0.05100=5,即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30,40,15,10,5，所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内.,12.观察下面表格:,(1)完成频率分布表;(2)根据表格,画出频率分布直方图;(3)估计数据落在10.95,11.35)范围内的概率约为多少?,解析：(1)频率依次为:0.03,0.09,0.13,0.16,0.26,0.20,0.07,0.04,0.02,1.00.(2)频率分布直方图如图所示:(3)数据落在10.95,11.35)范围的频率为0.13+0.16+0.
16、26+0.20=0.75.,第一节 导数的概念及运算,基础梳理,数量化,视觉化,1.函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率(1)函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为,(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“”.2.函数f(x)在x=x0处的导数（1）定义设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作.,(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点.处的.相应地，切线方程为.,3.函数
17、f(x)的导函数若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的 而，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作.,切线的斜率,变化,变化,f(x).,4.基本初等函数的导数公式,f(x)=.,f(x)=.,k,0,1,2x,cos x,sinx,5.导数运算法则(1)f(x)g(x)=;(2)Cf(x)=(C为常数);(3)f(x)g(x)=;,f(x)g(x),Cf(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),典例分析,题型一 利用导数的定义求导数【例1】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值.分析 利用导数的定义,按求导数的步骤求解.解当x无
18、限趋近于0时，趋近于2,y|x=1=2.学后反思 利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对yx进行灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f(x).,举一反三1.已知，利用定义求y,y|x=1.,题型二 利用求导公式求导数【例2】求下列函数的导数.,解析,分析 直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.,学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.,解(1)y=()sin x+(sin x)=2xsin x+x2cos x.(2),举一反三2.求函数 的导数.,题型三 导数的物理意义及在物理上的应用【例3】一质点运动的方程
19、为s=8-3t2.(1)求质点在1,1+t这段时间内的平均速度；(2)求质点在t=1的瞬时速度.,解析,分析 第（1）问可利用公式 求解；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.,解(1)质点在1,1+t这段时间内的平均速度为(2)方法一（定义法）：质点在t=1时的瞬时速度v=,方法二（求导法）：质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时，v=-6.,学后反思 导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函
20、数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题,举一反三3.以初速度 作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为,求物体在时刻 时的瞬时速度.,解析：物体在 时刻的瞬时速度为.,题型四 导数的几何意义及在几何上的应用【例4】(14分)已知曲线(1)求曲线在点P（2，4）处的切线方程；(2)求曲线过点P（2，4）的切线方程.,分析(1)点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率k=f(2).(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.,解（1)y=x2,2在点P（2，4）处的切线
21、的斜率k=y|x=2=4,3曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.4,(2)设曲线 与过点P（2，4）的切线相切于点,则切线的斜率k=y|x=x0=x20.6,切线方程为即点P（2，4）在切线上，即x30-3x20+4=0,x30+x20-4x20+4=0,x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,.12故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14,学后反思（1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标
22、(x0,y0),得出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线方程.,举一反三4.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.,解析：设曲线上过点 的切线平行于直线2x-y+3=0,即斜率是2，则.解得,即点P(1,0),点P到直线2x-y+3=0的距离为,曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.,题型五 复合函数的导数【例5】求下列函数的导数.,分析 先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的求导法则求导.也可直接用复合函数求导法则运算.,解,学后反思 求复合函数的导数，关键是理解复合过
23、程，选定中间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是:(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；（2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）.即：分解（复合关系）求导（导数相乘）,举一反三5.求下列函数的导数。,解析：,易错警示,【例】已知曲线 上的点P（0,0）,求过点P(0,0)的切线方程.错解 在点x=0处不可导，因此过P点的切线不存在.错解分析 本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点P处的切线是指曲线在点P附近取点Q，当点Q趋近于点P时，割线PQ的极限位置的直线就是过点P的切线，因此过点P的切线存在，为y轴（如下图所示）.,
24、正解 如右图，按切线的定义，当x0时割线PQ的极限位置为y轴（此时斜率不存在），因此，过点P的切线方程为x=0.,考点演练,10.已知函数 的图象都过点P(2,0),且在点P处有相同的切线.求实数a,b,c的值.,解析：f(x)过点（2,0）,解得a=-8,同理，g(2)=4b+c=0.f(x)=6x2-8,在点P处切线斜率.又g(x)=2bx,2b2=16,b=4,c=-4b=-16.综上，a=-8,b=4,c=-16.,11.设函数f(x)满足，a,b,c为常数，|a|b|，求f(x),解析:将 中的x换成，可得将其代入已知条件中得,12.(2008宁夏)设函数(a,bZ),曲线y=f(x
25、)在点(2,f(2)处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式；（2）证明函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形面积为定值，并求出此定值.,解析:(1)f(x)=.于是,解得,(2)证明:已知函数 都是奇函数，函数 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形.由 可知f(x)的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位，再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的.故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.,（3）证明：在曲线上任取一点,由 知，过此点的切线方程为.令x=1,得,切线与直线x=1的交点为.令y=x,得,切线与直线y=x的交点为.直线x=1与y=x交点为(1,1).从而所围三角形面积为所以所围三角形的面积为定值2.,
