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1、精选优质文档-倾情为你奉上任意四边形、梯形与相似模型例题精讲板块一 任意四边形模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：或者蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，AOB面积为1平方千米，BOC面积为2平方千米，COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是692平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角
2、形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形的面积；？【例 2】 四边形的对角线与交于点(如图所示)如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，那么的长度是的长度的_倍 【例 3】 如图，平行四边形的对角线交于点，、的面积依次是2、4、4和6求：求的面积；求的面积【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？【例 5】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形的面积【例 6】 (2007年人大附
3、中考题)如图，边长为1的正方形中，求三角形的面积【例 7】 如图，长方形中，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积【例 8】 如图，已知正方形的边长为10厘米，为中点，为中点，为中点，求三角形的面积 【例 9】 如图，在中，已知、分别在边、上，与相交于,若、和的面积分别是3、2、1，则的面积是 【例 10】 (2009年迎春杯初赛六年级)正六边形的面积是2009平方厘米，分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：；的对应份数为梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用
4、结论，往往在题目中有事半功倍的效果(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例 11】 如图，求梯形的面积【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是_平方厘米 【例 12】 梯形的对角线与交于点，已知梯形上底为2，且三角形的面积等于三角形面积的，求三角形与三角形的面积之比 【例 13】 (第十届华杯赛)如下图，四边形中，对角线和交于点，已知，并且，那么的长是多少？【例 14】 梯形的下底是上底的倍，三角形的面积是，问三角形的面积是多少？【巩固】如图，梯形中，、的面积分别为和，求梯形的
5、面积【例 15】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形的面积是，三角形的面积是，求四边形的面积【巩固】(人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为_【例 16】 如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点求图中阴影部分的面积【巩固】在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是 平方厘米【例 17】 如图面积为平方厘米的正方形中，是边上的三等分点，求阴影部分的面积【例 18】 如图，在长方形中，厘米，厘米，求阴影部分的面积【例 19】 (2008年”奥数网杯”六
6、年级试题)已知是平行四边形，三角形的面积为6平方厘米则阴影部分的面积是 平方厘米【巩固】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米【例 20】 如图所示，、将长方形分成4块，的面积是5平方厘米，的面积是10平方厘米问：四边形的面积是多少平方厘米？【巩固】如图所示，、将长方形分成4块，的面积是4平方厘米，的面积是6平方厘米问：四边形的面积是多少平方厘米？【巩固】(98迎春杯初赛)如图，长方形中，阴影部分是直角三角形
7、且面积为，的长是， 的长是.那么四边形的面积是多少？【例 21】 (2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为_平方厘米【例 22】 (98迎春杯初赛)如图，长方形中，是直角三角形且面积为54，的长是16，的长是9那么四边形的面积是 【例 23】 如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点已知正方形的面积48，则的面积是多少？【例 24】 如图所示，是梯形，面积是，的面积是9，的面积是27那么阴影面积是多少？【例 25】 如图，正六边形面积为，那么阴影部分面积为多少？【例 26】 如图，已知是中点，是的中
8、点，是的中点三角形由这6部分组成，其中比多6平方厘米那么三角形的面积是多少平方厘米？【例 27】 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 【例 28】 如图，在正方形中，、分别在与上，且，连接、，相交于点，过作、得到两个正方形和，设正方形的面积为，正方形的面积为，则_ 【例 29】 如下图，在梯形中，与平行，且，点、分别是和的中点，已知阴影四边形的面积是54平方厘米，则梯形的面积是 平方厘米【例 30】 (2006年“迎春杯”高年级组决赛)下图中，四边形都是
9、边长为1的正方形，、分别是，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于 板块三 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ；所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现
10、最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形【例 31】 如图，已知在平行四边形中，那么的长度是多少？【例 32】 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为厘米，被分为等份如果小玻璃管口正好对着量具上等份处(平行)，那么小玻璃管口径是多大？ 【例 33】 如图，平行，若，那么_【例 34】 如图， 中，互相平行，则 【巩固】如图，平行，且，求的长【巩固】如图， 中，互相平行，则 【例 35】 已知中，平行，若，且比大，求【例 36】 如图：平行， ，求的长度【巩固】如图，已知平行，那么_【例 37】 如图，中，与平行，的面积是1平方厘米那么的面积是 平方厘米【例 38】 在图中的正方形中，分别是所
11、在边的中点，的面积是面积的几倍？【例 39】 如图，线段与垂直，已知，那么图中阴影部分面积是多少？【例 40】 (年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形和都是平行四边形，四边形的面积是，则四边形的面积_【例 41】 已知三角形的面积为，是的中点，且，交于，求阴影部分的面积 【例 42】 已知正方形，过的直线分别交、的延长线于点、，且，求正方形的边长【例 43】 如图，三角形是一块锐角三角形余料，边毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？ 【巩固】如图，在中，有长方形，、在上，、分别在、上，是 边的高，
12、交于，厘米，厘米，求长方形的长和宽【例 44】 图中是边长为的正方形，从到正方形顶点、连成一个三角形，已知这个三角形在上截得的长度为，那么三角形的面积是多少？【例 45】 如图，将一个边长为的正方形两边长分别延长和，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？【例 46】 (2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是 【例 47】 如图，是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为和，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？【例 48】 已知长方形的面积为厘米，是的中点，、是边上的三等分点，求阴影的面积是多少
13、厘米？【例 49】 是平行四边形，面积为72平方厘米，、分别为、的中点，则图中阴影部分的面积为 平方厘米 【例 50】 如图，三角形的面积是8平方厘米，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，是的中点，则三角形的面积是 平方厘米【例 51】 如图，长方形中，为的中点，与、分别交于、，垂直于，交于，已知，求【例 52】 右图中正方形的面积为1， 、分别为、的中点，求阴影部分的面积 【例 53】 梯形的面积为12，为的中点，的延长线与交于，四边形 的面积是 【例 54】 如图，三角形的面积为60平方厘米，、分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是 平方厘米【例 55】 如图,是直角梯形，那么梯形的面积是多少
14、?【例 56】 边长为厘米和厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？【例 57】 如右图，长方形中，求的长【例 58】 (第届迎春杯试题)如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求【例 59】 如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点， 交于，求的面积 【例 60】 (清华附中入学试题)正方形的面积是120平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是 平方厘米 【例 61】 如图，已知,点分别在上，且，则是多少？ 【例 62】 如图，长方形中，、分别为、边上的点，求【例 63】 如下图，、均为各边的三等分点，线段和把三角形分成四部分，如果四边形的面积是24平方厘米，求三角形的面积【例 64】 (年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛(队际赛)如图，为正方形，且，请问四边形的面积为多少？专心-专注-专业
