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1、第八章 应力状态理论 和强度理论,81 应力状态的概念,82 二向应力状态分析的解析法,83 二向应力状态分析的图解法,84 三向应力状态,85 广义虎克定律 体积应变,86 三向应力状态的弹性变形比能,87 强度理论,一、基本概念,81 应力状态的概念,（见97）,过构件一点各个不同方位截面上的应力情况的集合称为该点的应力状态。,x,y,z,xy,xz,x,y,z,yx,yz,zx,zy,围绕构件内一点截取的一无限小正六面体称为单元体。,研究一点的应力状态 应力分析,若单元体各个面上的应力均已知，则该单元体称为原始单元体。,若所取单元体各面上只有正应力，而无剪应力，此单元体称为主单元体。,1
2、,2,3,只有正应力，而无剪应力的截面称为主平面。,主平面上的正应力称为主应力。,主应力用1、2、3 表示(1 2 3)。,P,P,1.单向应力状态,二、主应力及应力状态的分类,根据主应力不等于零的数目，应力状态分为三类：,只有一个主应力不为零的应力状态，如轴向拉压时：,2.二向应力状态（平面应力状态）,两个主应力不为零的应力状态，如圆轴扭转时：,3.三向应力状态（空间应力状态）,三个主应力均不为零的应力状态，如齿轮啮合接触点。,单向应力状态也称为简单应力状态。,二向应力状态和三向应力状态统称为复杂应力状态。,三、实例,1.二向应力状态实例,忽略内、外表面应力，则,，为二向应力状态。,2.三向
3、应力状态的实例,滚珠轴承,xy的角标规定：,第一个角标表示应力所在面的法线和x轴一致，第二个角标表示此应力方向和y轴平行。,一、斜截面上的应力,82 二向应力状态分析的解析法,xy 正负号规定：,使单元体顺时针方向转动为正；反之为负。,由x转至外法线n，逆时针为正;反之为负。,n,sa,ta,txy,tyx,sy,sx,n,整理得：,二、最大正应力和最小正应力,令：,由上式可以确定出两个相互垂直的截面0 和 0+90，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。,若约定sxsy，则两个0中绝对值较小的一个确定smax所在的平面。,可以看出：当=0 时，恰好有,smax、smin就是主应力，0和0+9
4、0截面就是主平面。,最大和最小正应力分别为：,三、最大剪应力和最小剪应力,令：,由上式也可定出两个值1 和 1+90，分别对应最大剪应力和最小剪应力所在平面。,比较 0 和 1 的公式可得：,即：max、min所在截面与主平面的夹角为45。,例8-2-1 求图示单元体的主应力、最大剪应力和最小剪应力,并在单元体上标出方位。,解：由图知,（1）主应力,故,1,1,3,3,（2）最大、最小剪应力,5MPa,5MPa,例8-2-2 已知:A点应力=-70MPa,=50MPa。求：A点主应力和主平面，并讨论同一横截面其它点的应力状态。,解：,取x轴向上为正,或,实线 主拉应力迹线,虚线 主压应力迹线,
5、83 二向应力状态分析的图解法,一、应力圆及其作法,上两式平方后相加，得,圆心坐标,半径,这是以、为变量的圆的方程。,R,x,xy,y,yx,D,x,xy,y,yx,D,应力圆的画法步骤:,建立 O直角坐标系；,确定 D点 D(sx,txy)；,确定 D点 D(sy,tyx)；,连接D D交横轴于C 点；,以C为圆心，C D为半径作圆，此圆即为应力圆。,证明:,x,xy,y,yx,D,x,xy,y,yx,D,B,A,故此圆即为应力圆。,D点代表以x轴为法线的面上的应力，D逆时针沿圆周转2角至E点，即E点坐标代表截面上的应力。,二、应力圆的应用,1.确定任意斜截面上的应力,E,F,E,证明：,F
6、,E,证毕。,2.确定主应力大小及主平面方位,F,E,与解析法所得结果相同。,A1,B1,A1(1,0),B1(2,0),F,E,A1,B1,因D点代表法线为x轴的面上的应力，D沿圆周顺时针转20至A1，故x轴顺时针转0，即为1所在主平面的法线。,x,xy,y,yx,y,x,与解析法所得结果相同。,A1(1,0),B1(2,0),3.确定最大、最小剪应力及所在平面,F,E,A1,B1,也可写为,G1,G2,A1(1,0),B1(2,0),F,E,A1,B1,G1,G2,此时,A1到G1圆心角为90，故主平面法线与max所在平面夹角为45。,A1(1,0),B1(2,0),或,例8-3-1 试用
7、图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。,解：,选取x轴，,D(80,-60),D(-40,60),则,1,1,3,3,0=22.5,A1,B1,A1(1,0),B1(3,0),量出,20,例8-3-2已知一点处两个截面上的应力如图所示，试用图解法求该点的主应力及其作用方位。,o,C,D(60,20),E(25,26),20,解：,D(60,20)，,E(25,26),思考：=？,1,2,量出,84 三向应力状态,o,o,o,单向拉、压,85 广义虎克定律 体积应变,一、广义虎克定律,纯剪切,一般情况,在各向同性、线弹性小变形前提下，依叠加原理,得:,六个独立分量
8、：,xy,x,y,z,yz,zx,同理可得y、z,广义虎克定律,对主单元体,1、2、3 称为主应变。,显然，1 2 3,平面情况的简化,或,二、体积应变,变形前体积,变形后体积,略去高阶微量,体积应变,将广义胡克定律,代入上式得,令,体积弹性模量,体积虎克定律,平均主应力,则,一、弹性变形比能,单向拉压时的比能,86 三向应力状态的弹性变形比能,三向应力状态的比能,只取决于外力的最终值，而与加力次序无关,二、体积改变比能与形状改变比能,1,2,3,m,m,1-m,m,2-m,3-m,=,+,u,=,ut,+,ux,体积改变比能ut：体积改变，形状不变,状态2的体积应变：,形状改变比能ux：形状
9、改变，体积不变,1,2,3,m,m,1-m,m,2-m,3-m,=,+,u,=,ut,+,ux,1,2,3,m,m,1-m,m,2-m,3-m,=,+,u,=,ut,+,ux,例8-6-1证明弹性模量E、泊桑比、剪切弹性模量G之间的关系为。,3,1,证明：,纯剪应力状态比能为,用主应力计算比能,强度理论研究材料失效的判据，从而建立强度条件。,不同材料在相同的加载情况下，破坏(失效)的形式 不同。,塑性材料：,屈服失效。,脆性材料：,断裂失效。,87 强度理论,相同材料在不同的加载情况下，破坏(失效)的形式 不同。,塑性材料：,当有深切槽时，发生断裂。应力集中导致根部出现三向应力状态。,脆性材料
10、：,铸铁受压后形成鼓形，具有明显的塑性变形,圆柱形大理石试件在轴向压力和围压作用下发生塑性变形,塑性材料屈服破坏,脆性材料断裂破坏,单向应力状态可通过试验很容易地建立强度条件。,复杂应力状态（二向应力状态或三向应力状态），材料的破坏与三个主应力的大小、正负的排列，及主应力间的比例有关。各种组合很多，无法通过试验一一对应地建立破坏准则。,复杂应力状态无法通过实验建立强度条件。,于是，人们比着单向应力状态提出一些材料发生破坏的假说，这些假说通常称为强度理论，并根据这些理论建立相应的强度条件。,强度理论意图：利用简单应力状态下的实验结果，建立复杂应力状态下的强度条件。,强度理论分为两类：,1.最大拉
11、应力理论(第一强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要最大拉应力达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。,失效准则,适用于断裂失效情况,适用于屈服失效情况,单向拉伸时,复杂应力状态时,适用对象,脆性材料受拉，塑性材料受三向拉伸且 s1、s2、s3 相近。,缺点,没有考虑 s2 和 s3 的影响，且无法应用于没有拉应力的情况。,2.最大伸长线应变理论(第二强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要最大伸长线应变达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。,强度条件,适用对象,脆性材料受压。,失效准则,强度条件,缺点,对脆性材料受拉与试验符合不好。,单向拉伸时,复杂应力状态时,3.最大剪应力理论(第
12、三强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要最大切应力达到材料的某一极限，就发生塑性屈服。,失效准则,单向拉伸时,复杂应力状态时,强度条件,适用对象,塑性材料的一般受力状态。,缺点,偏于安全；没有考虑 s2 的影响。,4.形状改变比能理论(第四强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要形状改变比能达到材料的某一极限，就发生塑性屈服。,失效准则,单向拉伸失效时,代入上式得,复杂应力状态时,令上式在复杂应力状态时成立，得,强度条件,适用对象,塑性材料的一般受力状态。,缺点,计算相当应力较麻烦。,强度条件可统一写为,第一强度理论和第二强度理论适用于脆性材料。,脆性材料受拉,第三强度理论和第四
13、强度理论适用于塑性材料。,脆性材料受压,例8-7-1钢制圆筒形薄壁容器，内径D=200mm，壁厚t=10mm，内压p=3MPa，轴向压力P=200kN，=120MPa，试用强度理论校核容器的强度。,P,P,D,p,t,解：,满足强度条件。,按第三强度理论,按第四强度理论,例8-7-2试为图示梁选择工字钢型号，并校核强度。已知P=32KN，a=1m，=160MPa，=100MPa。,解：,(1)作Q、M图；,由正应力强度条件：,初选22a工字钢，,因max接近，补充校核E、C截面F点的相当应力强度：,E截面稍左截面上的F点：,按第三强度理论,按第四强度理论,C截面稍左截面上的F点：,强度满足。,第8章作业,1（c）、（d）；2（a）、（c）；3（a）；4（a）、（c）；5（a）；6；11；12；14；15（a）、（b）；16；17；20；22；23,
