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1、2023年2月24日2时21分,Fluid Mechanics,流体力学,目录,流体力学的任务与研究对象流体力学的发展简史第1章 流体力学的基本概念第2章 流体静力学,流体力学的任务与研究对象,流体力学是研究流体运动规律及其应用的科学，是力学的一个重要分支。流体力学研究的对象液体和气体。,固体有一定的体积和一定的形状；液体有一定的体积而无一定的形状；气体既无一定的体积也无一定的形状。,固体、液体和气体的宏观表象差异：,流体力学的发展简史,流体力学发展简史,第一阶段（16世纪以前）：流体力学形成的萌芽阶段第二阶段（16世纪文艺复兴以后-18世纪中叶）流体力学成为一门独立学科的基础阶段第三阶段（1
2、8世纪中叶-19世纪末）流体力学沿着两个方向发展欧拉、伯努利第四阶段（19世纪末以来）流体力学飞跃发展,第一阶段（16世纪以前）：流体力学形成的萌芽阶段,公元前2286年公元前2278年大禹治水疏壅导滞（洪水归于河）（传说）公元前300年左右（秦帝国）郑国渠、都江堰、灵渠公元584年公元610年隋朝南北大运河、船闸应用；埃及、巴比伦、罗马、希腊、印度等地水利、造船、航海产业发展系统研究古希腊哲学家阿基米德论浮体（公元前250年）奠定了流体静力学的基础,都江堰位于四川省都江堰市城西，是中国古代建设并使用至今的大型水利工程，被誉为“世界水利文化的鼻祖”。通常认为，都江堰水利工程于公元前256年左右
3、修建的，是全世界迄今为止，年代最久、唯一使用至今、以无坝引水为特征的宏大水利工程。,秦帝国修建了三条渠：郑国渠、都江堰、灵渠,对于水利工程除了地质要求外，还有三个重要自然因数需要解决。,汛期的防洪；枯水期的正常使用；泥沙淤积问题。,都江堰,第二阶段（16世纪文艺复兴以后-18世纪中叶）流体力学成为一门独立学科的基础阶段,1586年斯蒂芬水静力学原理1612年伽利略物体沉浮的基本原理1650年帕斯卡“帕斯卡原理”1686年牛顿牛顿内摩擦定律1738年伯努利理想流体的运动方程即伯努利方程1775年欧拉理想流体的运动方程即欧拉运动微分方程,第三阶段（18世纪中叶-19世纪末）流体力学沿着两个方向发展
4、欧拉（理论）、伯努利（实验）,工程技术快速发展，提出很多经验公式1769年谢才谢才公式（计算流速、流量）1895年曼宁曼宁公式（计算谢才系数）1732年比托比托管（测流速）1797年文丘里文丘里管（测流量）理论1823年纳维，1845年斯托克斯分别提出粘性流体运动方程组（N-S方程）,第四阶段（19世纪末以来）流体力学飞跃发展,理论分析与试验研究相结合量纲分析和相似性原理起重要作用 1877-1878年 Lord Raleigh在其声理论中阐述了“因次方法”1883年雷诺雷诺实验（判断流态）1903年普朗特边界层概念（绕流运动）1911年，俄国人A.Federmann和Raibouchinsk
5、y分别发现了量纲分析的基本定理 1914年，美国人E.Buckingham引入了术语“-定理”1933-1934年尼古拉兹尼古拉兹实验（确定阻力系数）,流体力学与相关的邻近学科相互渗透，形成很多新分支和交叉学科,第1章 流体力学的基本概念,1.1 流体力学的研究方法,理论研究方法 力学模型物理基本定律求解数学方程分析和揭示本质和规律实验方法相似理论实验建模实验（现代实验方法）数值方法计算机数值方法是现代分析手段中发展最快的方法之一。（研究生学习阶段）,理论分析方法、实验方法、数值方法相互配合，互为补充,1.2 连续介质假设,刚体：有形状、有体积液体：无形状、有体积气体：既无形状、也无体积,1.
6、2 连续介质假设contd.,假设流体是由一个接一个、连续充满空间的具有确定质量的流体微团（或流体质点）组成的。微团之间无孔洞，在运动过程中相邻微团之间不能超越也不能落后，微团变形过程中相邻微团永远连接在一起。（连续性）,其目的是在流体力学研究中，利用连续函数的概念和场论的方法。,流体力学的模型,连续介质,流体微元具有流体宏观特性的最小体积的流体团,理想流体,不考虑粘性的流体,不可压缩性,=c,1.3 作用在流体上的力 应力场,根据作用方式的不同，可将力分为质量力和表面力。,1.3.1质量力：,如：重力、惯性力、电磁,单位质量力,单位质量力具有加速度量纲,力作用在所研究的流体质量中心，与质量成
7、正比,式中：流体微元体的质量；：作用在该微元体上的质量力；,单位质量流体所受的质量力称为单位质量力，记作,重力,单位质量重力,x,图1-1 作用在流体表面的质量力与表面力,P表面力,惯性力,单位质量惯性力,1.3.2.表面力：,应力,切线方向：切向应力剪切力,内法线方向：法向应力压强,剪切力：流体相对运动时，因粘性而产生的内摩擦力,表面力具有传递性,外界对所研究流体表面的作用力。与所作用的表面积大小成正比,图1-1 作用在流体表面的质量力与表面力,小结：流体表面所受的力有两类：质量力；表面力。,1.3.3.应力场：,图1-2 一点处的应力,图1-3 一点处的应力关系（四面体）,（b）,（a）,
8、对于图1-2，在外法线为n的面上的点M的的应力为：,该应力可分解为如图1-3所示的分力：,正面：,负面：,指外法线为n的面上,见下页，过点M的法向应力和切向应力均为作用面法向单位向量n的函数。这是表面应力的一个重要特征。,根据牛顿第三定律：,x、y、z方向上的面积投影关系：,（1-7）,则最终作用在四面体四个微元面积上的总外表面力分别为：,作用在四面体上的外力还有质量力（包括惯性力）,根据达朗伯原理：,其中,四面体ABC面的高,（1-9）,当四面体趋向于点M时，,，则（1-9）式可变为,（1-11）,应力在三个方向上的投影形式为,（1-12）,应力所在平面法线法向,应力的方向,将（1-12）改
9、为矩阵形式,（1-13）,（1-14）,切向应力,静止和理想流体中的应力场,由（1-14）,（1-15）,静止流体不显示粘性，理想流体模型无粘性。,根据静止流体和理想流体的性质可知，,流体静力学中的压强,1.4 流体的性质及其模型的分类,1.4.1易流动性,任何微小的剪切力都可以使流体连续变形的性质称为流体的易流动性。,静止流体不能抵抗剪切力，即不显示粘性。,与固体相比，流体微团的易流动性，使其不能用位移和变形量本身来量度，而必须用速度和变形速度来量度。,1.4.2 惯性,图1-4 一点处密度的定义,点密度,对于均质流体,1.4.3重力特征,均质流体的重度，又称均质流体容重,非均质流体任意一点
10、的重度,（1-23）,图1-5 Planar Couette（库爱特粘度计）,1.4.4 粘性 Viscosity 理想流体模型,This ratio is used to define the shear viscosity,（eit）.The shear viscosity may depend on temperature,pressure,and shear rate.,velocity gradient or shear rate,1687年，Isaac Newton 首先提出了流体粘度的模型。尽管Newton 定义的粘度是理想的。但对于诸如低分子液体、稀薄的气体，在许多条件下仍然适
11、用；然而对于诸如聚合物、溶液、熔液、血液、油墨和胶体悬浮液不能用Newton定律进行描述。这样的流体被称为 non-Newtonian.,1.4.5 粘性系数,对于二维平面 Couette流,Newton 定义的粘度可以由下式给出,（1-27）,Eq.(1-27),where is the shear stress,and,a function of temperature and pressure,is the coefficient of viscosity or simply the viscosity.,absolute viscosity,因此对于Newtonian fluid=。注
12、意：是 Newtonian-model 参数,其与温度和压力有关；而是一个更一般的材料特性，可以随剪切率做非线性变化。,h与m概念不相同,1.4.6 速度梯度的物理意义,角变形速度（剪切变形速度）,流体与固体在摩擦规律上完全不同,固体：与正压力成正比，与速度无关,流体：与,成正比,图1-7 牛顿流体与非牛顿流体,The absolute viscosity of a fluid divided by its density.Also known as coefficient of kinematic viscosity（运动粘度，相对粘度）.,1.4.7 kinematic viscosity
13、 运动粘度,（1-32）,与温度有关单位,与温度和压力有关；单位,Relative Viscosity（相对粘度）It is calculated experimentally by measuring the time that it takes for the pure solvent to pass through a certain tube,in certain conditions,and comparing it with the time it takes for the solution to pass through the same tube,in the same co
14、ndition.The term Apparent Viscosity（表观粘度）is used when you calculate the viscosity of a non-Newtonian fluid by applying equations that are derived（派生、起源）for the viscosity of a Newtonian fluid.So it is not the actual viscosity.,kinematic viscosity contd.,Engler degree（恩氏度）0E 中国、德国前苏联等用Saybolt Furol Se
15、cond（赛氏秒)SSU 美国用Redwood（雷氏秒）R 英国用巴氏度 0B 法国用,恩氏粘度与运动粘度之间的换算关系=（7.310E-6.31/0E）10-6,In China,a scale used as a measure of kinematic viscosity.Symbol,E or E.Unlike the Saybolt and Redwood scales,the Engler scale is based on comparing a flow of the substance being tested to the flow of another substance
16、,namely water.Viscosity in Engler degrees is the ratio of the time of flow of 200 cubic（立方）centimeters of the oil whose viscosity is being measured to the time of flow of 200 cubic centimeters of water at the same temperature(usually 20C but sometimes 50C or 100C)in a standardized Engler viscosity m
17、eter.The Engler degree is named for Carl Oswald Viktor Engler，Germany，(1842-1925).,Engler degree,kinematic viscosity contd.,恩氏粘度用恩氏粘度计测定，即将200 ml被测液体装入恩氏粘度计中，在某一温度下，测出液体经容器底部直径为2.8小孔流尽所需的时间t1，与同体积的蒸馏水在20时流过同一小孔所需的时间t2（通常t2=52s）的比值，便是被测液体在这一温度时的恩氏粘度。,Symbols SSU,SUS.USA A scheme（体系）for measuring visc
18、osity,being the seconds required for 60 mL of fluid to pass through a specified orifice（节流孔）.The Saybolt Furol Second is a variant used for heavier oils,being about ten times the SUS.The usual conversion from SUS to kinematic viscosity in centistokes is,for reading S,Saybolt Furol Second,kinematic v
19、iscosity contd.,Symbol Red,specifically Red I and Red II.UK A scheme for measuring viscosity,being the seconds required for a defined volume of fluid to pass through a specified orifice,there being scales I and II;for lighter oils 1 sec Red I=4 to 7 centipoises;for heavier oils 1 sec Red II is about
20、 ten times the former.,Redwood,Properties of hydraulic fluids contd.,Viscosity:well-known,Temperature dependence,Ubbelohde(厄布洛德)-Walther(沃尔顿):c,m,Kv are constants,T is in K,log-log scale,Vogel-Cameron:A,B,C are constants,t is in C,Properties of hydraulic fluids(contd.),Pressure dependence of viscosi
21、ty,0,0 viscosity at atmospheric pressure,Effect of Viscosity upon the Volumetric and Mechanical Efficiency of Hydraulic Pumps,例1-1：汽缸直径D=120mm，活塞直径d=119.6mm，活塞长度L=140mm，活塞往复运动的速度为1m/s，工作时的润滑油的=0.1Pas。求：作用在活塞上的粘性力。,解：,因属于牛顿流体,注意面积、速度梯度的取法,消耗功率,例1-2：旋转圆筒粘度计，外筒固定，内筒转速n=10r/min。内外筒间充入实验液体。内筒r1=19.3mm，外筒
22、 r2=20mm，内筒高h=70mm，间隙d=0.2mm，转轴上扭距M=0.0045Nm。求该实验液体的粘度。,解：,因属于牛顿流体,1）对于外圆表面,粘度计,孔轴旋转,2）对于端面（圆盘旋转）,圆盘缝隙中的回转运动,总力矩,计算得,1.4.8压缩（膨胀）性 不可压缩流体模型,压缩系数,在一定温度下，密度的变化率与压强的变化成正比,流体的压缩性和热胀性,因质量守恒,Hookes law,体积弹性模量,E 的单位,当压强一定，温度发生变化时,热膨胀系数,1.4.9 理想气体状态方程,R气体常数空气R=8.31/0.029=287J/kgK,等温过程：压缩系数,等压过程：膨胀系数,绝热过程：压缩系
23、数,低速（标准状态，v 68m/s）气流可按不可压缩流体处理,Sucking air（吸入的空气）with the pump happens，but is by proper installation（装置）avoidable.The oil is quickly into solution during the increasing pressure.Air bubbles（气泡）come to oil mostly so that with decreasing pressure the air“goes out of solution”.-dissolving（溶解）coefficien
24、t at normal pressureAt normal pressure Va=Vf.At high pressure,the volume of the dissolved air is much more than the volume of the liquid.,1.4.10 Air content in oil is harmful.,Properties of fluids(contd.),Hydraulic Fluids,Sudden,jerky movements（停停动动）,oscillation,noiseLate switchingReduced heat condu
25、ction（降低了热传导）Accelerated aging（老化）of the liquid,disintegration（分解）of oil moleculesCavitation erosion（气蚀）,Problems with air content:,Kl:liquid compressibilityVf:volume of liquidVa0:volume of gas in normal statep0:normal pressurep:under investigation（研究）,1.5 流体运动的数学描述,运动要素：表征流体运动状态的物理量,场的概念：如果在全部空间或部分
26、空间的每一点、都对应某个物理量的一个确定的值，就说在这个空间里确定了该物理量的一个场，如果这个物理是数量，就称这个场为数量场。若是矢量，就称这个场为矢量场。,场的描述方法：Lagrange法和Euler法,场又可分为：稳定场 时变场（不稳定场）,1.5.1 Lagrange法（随体法或跟踪法）,基本思想：跟踪每个流体微团的运动全过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化规律。,基本参数：时刻，微团坐标为（a，b，c）；则t 时刻位移流体质点的位置坐标变为：,独立变量：（a,b,c,t）区分流体质点的标志,物理概念清晰，但处理问题十分困难,（1-53）,几点说明：,对于某个确定的流体质点，（a
27、，b，c）为常数，t为变量轨迹,t为常数，（a，b，c）为变量某一时刻不同流体质点的位置分布,a，b，c为Lagrange变量，不是空间坐标函数，是流体质点的标号,身份号,1.流体质点的位置坐标：,2.速度：,3.流体质点的加速度：,微团物理量：,流体质点的运动方程,1.5.2 Euler法（欧拉法）,Euler 描述法：在流体所占据的空间中，对每一个固定点，研究流体质点经过该点时其力学量的变化情况，整个流体的运动可认为是空间各点流动参量变化情况的综合。,用空间点位置坐标(x,y,z)来表示某一确定点，称(x,y,z)为 Euler 坐标或空间坐标。通常称f(x,y,z,t)为Euler 变量
28、。若以f 表示流体的某一个物理量，其Euler 描述的数学表达式是：,（1-56）,在任意 t 时刻，空间任意一点(x,y,z)的V、p、T、将是（x,y,z,t）的函数，即,（1-57）,若x、y、z为常量，上式表示在空间某一特定点上，V、p、T、随时间 的变化情况；,若 t 恒定，则上式表示空间各个点在某一个特定时刻有关力学量的 数值分布。,V,p,等有关力学量都是空间点x、y、z 坐标的函数,速度场、压力场、密度场等,流体运动的问题转化为研究有关矢量场和数量场问题,按场内函数空间位置 x、y、z是否变化，分为 均匀场和非均匀场。按场内函数与 t 的关系，分为定常场（稳定场）和非定常场（不
29、稳定场）。,1.5.3 Lagrange法与Euler法的关系,设表达式 f=（a、b、c、t）表示流体质点在 t 时刻的物理量。如果设想流体质点（a、b、c）恰好在 t 时刻运动到空间点（x,y,z）上，则应有,设Euler表达式：,及,常微分方程的解为：,当,时，,将此式代入 f=F(x，y，z，t)，即得到 Lagrange 描述。,1.5.4 加速度场,图1-16 Lagrange法与Euler法,图1-17 流场内空间点,速度场中某点M位置,以u为中心，将u 按Taylor级数展开,由上，则有,a在直角坐标上的投影：,加速度的矢量表达方式,：W.R.Hamilton Operator
30、。运算中其具有矢量和微分的双重性质。其运算规则是：,数量场,补充：,数性微分算子,它既可以作用在数性函数u（），也可以作用在矢性函数（）上。如：,与上述完全不同,当地加速度；时变导数,质点加速度：,迁移加速度；位变导数,第一部分：是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的变化而产生的，称为当地加速度,第二部分：是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化而产生的，称为迁移加速度,定常流动、稳态流动,均匀流,压力场,密度场,同样可以写出：,例1-3：已知速度场,解：,试问（1）点（1，1，2）的加速度是多少；（2）流动是几元流?（3）流动是恒定流还是非恒定流?（4）是均匀流还是非均匀流动。,代入点
31、（1，1，2）得,三元流；不随时间变化，稳定流（恒定流）；随空间变化，非均匀流。,例1-4：流场的速度分布为：,求流体在点（2，1，4）和和时间t=3 时的速度、加速度。,解：代入点（2，1，4）和时间t=3，得速度值为,因,代入点（2、1、4）与t=3的值，得加速度的值,例1-3 已知Lagrange描述：,，求速度与加速度的Euler描述。,解：速度与加速度的Lagrange描述为：,由已知条件,，可得,并，将此式代入上式，得Euler描述,例1-5 已知Euler描述：,，初始条件为，,，求速度与加速度的Lagrange 描述。,解：,1.6 迹线和流线,1.6.1迹线：,迹线：流体质点
32、在不同时刻的运动位置的联线。迹线的概念直接与 Lagrange 描述联系。,对于 Euler描述求迹线较为复杂。,1.6.2 流线：,流线：描述流场中各点流动方向的曲线，线上任一点的切线方向与 该点在该时刻的速度矢量方向一致。,流线的性质：（1）过一点只能有一条流线；（2）流线不能转折。,注意：1.流线是指某一时刻的，而迹线是某一流体质点的；2.定常流（稳定流）中流线与迹线完全重合；非定常流（非稳定流，随时间变化）中一般不重合。,注意啊！,The line traced by a liquid or gas as it moves.Streamlines are most commonly u
33、sed in describing the flow of a liquid or gas around a solid object.,streamline流线,(a)In the steady flow of a liquid,a colored dye reveals（显示）the streamlines.(b)A smoke streamer reveals a streamline pattern for the air flowing around this pursuit cyclist,as he tests his bike for wind resistance in a
34、wind tunnel.,Wind Tunnel,Curve Ball,Wind Tunnel,1.6.3 流面、流管与流束,对于场中的任意一条曲线C（非矢量线），在其上的每一个点处，也皆有且仅有一条矢量线通过，这些矢量线的全体，就构成一张通过曲线C的曲面，称之为矢量面。当C为一封闭曲线时，通过C的矢量面，就构成了一个管形曲面，称之为矢量管。对于流体分别称之为流面和流管。,流面,流管,流束：流管内的流线组成一束。,流体朝一个方向流动即流道的轴线方向流动，这样可以 把空间近似看成一个流管。在数学上变成一微问题，用断面上平均 物理量来代替断面上的物理量的实际分布。,流管的两个重要特性：,（1）流体
35、不能穿越流管；,（2）当封闭曲线的面积A很小时，流管断面可认为物理量均匀分布。,管状流动：,流道上与流线族成正交的面。其面积用 A 来表示，则断面上的平均速度定义为,过流断面：,其中，,流量,端面上一点的速度,平均速度,例1-6 已知：,，,，,。,求t=0时，经,过点M（-1，-1）的流线和迹线。,解：流线微分方程为：,当t=0时，x=-1，y=-1,经过点M（-1，-1）的流线为,求迹线,，,当t=0 时，x=-1，y=-1,消去t,例1-7已知流体质点运动轨迹是 x=at+1,y=bt1，求流线族。,解：,a、b 表达式，为,流体质点的运动速度,将a、b代入上式,由流线方程,流线族,1.
36、7 速度分解定理,刚体运动：,平移运动,旋转运动,流体微团：,平移运动,旋转运动,变形运动,角变形运动,线变形运动,Stress and Strain,平移,旋转,变形（线性变形与转角变形）,剪切流动：,图1-28 方形流体微团,流体微团的平移运动,平移运动速度,流体微团的线变形运动,A、C点之间在x方向上的速度差：,线变形速度:,单位体积膨胀率：,表示无源或不可压缩流体,表示被压缩，或有泄漏、蓄能器蓄能等,表示被拉伸、膨胀；流体有补充，即有泵、蓄能器释放能量等,流体微团的旋转运动,B、C点,B、C点相对于M点的旋转角速度：,规定：逆时针旋转为正,B点,C点,MF 相对于 M点的旋转角速度为B
37、M和CM 这两条边旋转角速度的平均值,同理可推至空间坐标,或,右手定则,若,有势无旋,涡线方程：,涡量（即旋度）：等于2倍的。其值越大，涡旋强度越大。,流体微团的角变形运动,角变形速度：直角边 MC 与对角线 MF 的夹角的变形速度。,推广到三元,Helmholtz 速度分解定理,为小量时，邻点M 速度为,t 时刻，流场中取一点,邻域中任一点,的速度分量为,由泰勒级数展开，当,的速度分量为,平移运动,旋转运动,线变形运动,角变形运动,Helmholtz 速度分解定理,圆柱坐标的表达形式,旋转角速度：,线变形速度：,角变形速度：,例1-9 已知二维流场为，,求：流体在点（3，2）的线变形速度和角
38、变形速度。,解：求在点（3，2）的线变形速度,求角变形速度,例1-10 已知二维流场速度分布为，,求：流体在点（x=3，y=4）处的旋转角速度。,解：点（x=3，y=4），则圆柱坐标下为,因是二维流动,1.8 流体运动的分类,1.8.1 按运动形式分类,无旋流场,无旋流场,例1-11 试判断如下剪切流动和点涡的运动形式是有旋，还是无旋？,b）点涡的运动,a）剪切流动,速度场,剪切流动：,有旋流场,点涡运动：,除原点以外，处处无旋,点涡运动中，流体微团没有自转。,1.8.2 按流场与时间的关系分类,不稳定场，不定常流场,稳定场，定常流场,1）在水位恒定情况下：,AA，时变、位变加速度均为0。BB
39、，时变0、存在位变加速度。,2）在水位变化情况下：,AA，存在时变加速度；但不存在位变加速度。BB，时变、位变加速度均存在。,1.8.3按流场与空间坐标的关系分,一维（元）、二维（元）、三维（元）,第2章 流体静力学,流体的平衡状态，有二种：,流体相对于地球静止。（绝对平衡状态）,流体相对于容器静止，容器相对地球有运动。（相对平衡状态）,根据Isaac Newton流体粘度的模型,可知：由于由于流体静止，流体层与层之间没有相对运动，所以流体不显示粘性，即，剪切力为0。因此，平衡流体的表面力只有法向力。,图21平衡流体中的分离体,2-1 流体静压强及其特性,2.1.1流体静压强,（21）,M点的
40、静压强：,压强国际单位：,Pascal,大小与方向均与受压面有关,2.1.2 流体静压强的两个重要特征,静压强方向永远沿着作用面内法线方向,为了区别双侧曲面的两侧，常常取定其中的一侧为曲面的正侧，另一侧为负侧；对于封闭曲面习惯取外侧为正侧。这种取定了正侧的曲面，叫做有向曲面；且其n向 和t 向恒指向我们研究问题的一侧。参见图2-1与图2-2,标量,表示受压方向,流体静压力P的大小和方向均与受压面有关。,静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，与作用面方位无关。即平衡流体内部任何一点的流体静压强在各个方向上均相等。它的大小由质点所在的坐标位置确定。,图22平衡流体中的微元四面体,O,证明：
41、在平衡流体中围绕某点O取一微元四面体OABC，且坐标原点与O点重合。如图2-2所示。,流体处于平衡状态，因此，简化后有：,微元流体上的质量力为：,当 趋于零时，四面体缩到O点，其上任何一点的压强 就变成O点上各个方向的流体静压强，于是得到,不同空间点的流体静压强，一般来说是各不相同的，即流体静压强是空间坐标的连续函数。,（2-6）,2.2 流体平衡微分方程及等压面,2.2.1 流体平衡微分方程式（Eulers equilibrium equation）,如图2-3，在平衡流体中任取边长为 的一个微元六面体ABCDEFG，其中心为P。设A点的密度为，压强为。,表面力,分析：对于x轴方向的M、P、
42、N，有,M点的静压强：,N点的静压强：,因为平衡流体，所以,方程两边同除微元体的质量,，得,即,流体平衡微分方程式,Eulers equilibrium equation,HYDROSTATICS,FORCEF1,AREA A1,AREA A2,已知：F1=1.2 kNA1=100 mm2,P=F1=1.2 kN A1 100 mm2=12 MPa,(Same Pressure P),A2=1000 mm2F2=P x A2=12MPa x 1000mm2=12 kN,HYDROSTATICS,FORCE F2,2.2.1.1 Principle of a hydraulic drive 液压
43、传动原理,Pascals law is the basis of hydraulic drive systems.As the pressure in the system is the same,the force that the fluid gives to the surroundings is therefore equal to pressure x area.In such a way,a small piston feels a small force and a large piston feels a large force.,不考虑重力的情况下！,Hydraulic Sy
44、stems contd.,Pascals law,Pressure is determined by Load!,载荷确定系统压力,HYDROSTATICS,FORCEF1,AREA A1,AREA A2,已知：F1=1.2 kNA1=100 mm2,p=F1=1.2 kN A1 100 mm2=12 MPa,(Same Pressure p),A2=1000 mm2F2=p x A2=12MPa x 1000mm2=12 kN,HYDROSTATICS,FORCE F2,力放大了A2/A1=10倍,1 Cm,LAW OF CONSERVATION OF ENERGY,1Cm2,10 Cm2,
45、100 kg,10 kg,10 Cm,Energy can neither be created nor destroyed!What is gained by force is sacrificed（牺牲）in the distance moved!,WORK DONE=FORCE x DISTANCE MOVED W=F x d,W=F x d=10 kg x 10 cm=100 kg-cm,W=F x d=100 kg x 1 cm=100 kg-cm,MOVING THE SMALL PISTON10 cm DISPLACES 1 cm2 x 10 cm=10 cm3 OF LIQUI
46、D,10 Cm OF LIQUID WILLMOVE LARGER PISTONONLY 1Cm.10 cm2 x 1 Cm=10 Cm3,Q=A x h,2.2.2 质量力势函数与有势质量力,数学定义：设有矢量场A（M），若存在单值函数u（M）满足,则称此矢量场为有势场；命v=-u，并称v为这个场的势函数。,A与势函数v之间的关系：,C为任意常数,若 均为A的势函数，则有,于是有：,现在分析在质量力的作用下，平衡流体的内部压强 p（x，y，z）的分布规律,对 求全微分,因此，质量分力为有势场。,欧拉平衡方程式的综合式（压强微分公式）,根据势函数的定义，与上式,令,质量力势函数,是其全微分,有
47、势质量力,只有在有势质量力的作用下流体才能平衡。,例2-1 试确定重力场中平衡流体的质量力势函数，并解释其物理意义。,解：如图2-4所示,z,图2-4,令,质量力势函数,若以z=0，W=0为基准。则,2.2.3 等压面及其性质,等压面：平衡流体中压强相等的各点组成的面（平面或曲面）。,等压面微分方程,（2-12）,等压面的性质：,等压面也是等势面；,质量力势函数等于常数,等压面与质量力矢量正交；,因此，等压面与单位质量力矢量垂直。,等压面上的任意曲线,例如，当质量力仅仅为重力时，平衡流体的等压面为水平面。,C为常数。是一族水平面,两种互不混合的流体处于平衡状态时，其相互接触的分界面是等压面；（
48、请自行证明）,2.3 重力场中流体静压强基本方程,对于连续、均匀、不可压缩的流体而言，g=常数，则上式可改写为,在静止流体中任取1点和2点,上面二式，为不可压缩、均质流体静压强基本方程,对于任意一点：,不可压缩、均质流体静压强计算公式,Zero reference（零基准）Although pressure is an absolute quantity,everyday pressure measurements,such as for tire pressure,are usually made relative to ambient air pressure（环境气压）.In other
49、 cases measurements are made relative to a vacuum（真空）or to some other ad hoc（特别）reference.When distinguishing（区别）between these zero references,the following terms are used:Absolute pressure（绝对压力）is zero referenced against a perfect vacuum,so it is equal to gauge pressure（表压）plus atmospheric pressure
50、（大气压）.Gauge pressure（表压）is zero referenced against ambient air pressure,so it is equal to absolute pressure minus atmospheric pressure.Negative signs are usually omitted.Differential pressure（压差）is the difference in pressure between two points.,测压两基准,绝对压力以绝对零压为基准所测相对压力以大气压力为基准所测,The pressure above t
