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1、将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT(Transpose)或D.即如果,2.1 行列式的性质,第2节 行列式的性质与计算,显然，(DT)T=D.,下页,行列式的转置,性质3 用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以此行列式.,性质1 行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.,推论1 如果行列式的某一行(列)的元素全为零，则D0.,性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号.,推论 如果行列式D中有两行(列)的元素相同，则D=0.,推论2 如果D中有两行(列)对应元素成比例，则D=0.,下页,性质4 若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列式可以
2、写成两个行列式之和.即,性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式的值不变.即,下页,行列式的计算,要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算.,下页,为表述方便，引入下列记号(行用r，列用c)：,以数k0乘以行列式的第i行，用kri表示；,以数k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.,（换法变换）,（倍法变换）,（消法变换）,思考：这三种变换的结果分别是什么？,例1.计算行列式,解：,=-85.,下页,例2.计算行列式,解:,下页,例3.计算行列式,解：将各行都加到第一行，从第一行提取 x+(n-1)a 得,下页,解：,例4.
3、计算行列式,下页,一、余子式与代数余子式 定义5 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后,余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.,例如，求4阶行列式中a32的代数余子式,M32,A32(-1)3+2M32,=-M32,令Aij(1)ijMij，,Aij称为元素aij的代数余子式.,2.2 行列式按行(列)展开,下页,一、余子式与代数余子式 定义5 在n行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后,余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.,令Aij(1)ijMij，,Aij称为元素aij的代数余
4、子式.,再如，求4阶行列式中a13的代数余子式,M13,A13(-1)1+3M13,=M13,下页,2.2 行列式按行(列)展开,定理4 n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即,定理5 n阶行列式D=|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积的和等于零.即,Dai1Ai1,ai2Ai2,ainAin,(i=1,2,n)，,Da1jA1j,a2jA2j,anj Anj,(j=1,2,n).,ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0(i j)，,a1iA1ja2iA2j ani Anj 0(i j).,二、展开定理,下
5、页,例1分别按第一行与第二列展开行列式,解：按第一行展开,a11A11,a12A12,a13A13,D,=1,(-1)1+1,+0,(-1)1+2,(-1)1+3,+(-2),=1(-8)+0+(-2)5,=-18.,三、利用展开定理计算行列式,下页,按第二列展开,=0+1(-3)+3(-1)5,=-3-15,=-18.,例1分别按第一行与第二列展开行列式,解：按第一行展开,a11A11,a12A12,a1nA1n,D,=1(-8)+0+(-2)5,=-18.,(-1)3+2,+3,(-1)2+2,+1,(-1)1+2,=0,a12A12,a22A22,a32A32,D,下页,解：,将某行(列
6、)化为一个非零元后展开,例2计算行列式,=(-1)(-1)3+2,6 0 2,9 0-1,1 1 2,=1(-1)2+2,=-6-18,=-24.,7 0 1 4,7 0-2-5,3-1-1 0,1 0 1 2,下页,例3.计算行列式,解：,下页,(D2=5),解：,例4.计算行列式,下页,证明：从最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得,例5.证明范得蒙（Vandermonde）行列式,下页,下页,下页,由此推得，,即,下页,例如 n=4 时,D4=,下页,范得蒙（Vandermonde）行列式,下页,注意：,j=1,2,n,有且仅有一个解,第3节 克莱姆法则,定理6 含有n个未知量n个
7、方程的线性方程组,当其系数行列式,时,其中，Dj是把系数行列式D的第j列换为方程组的常数列 b1,b2,bn所得到的n阶行列式（j=1,2,n）.,下页,例1.解线性方程组,下页,解:方程组的系数行列式,故方程组有唯一解.,适用条件,未知数的个数=方程的个数；系数行列式D0.,解:方程组的系数行列式,故方程组有唯一解.,而,故方程组的解为,下页,推论（定理6之逆否命题）含有n个未知量n个方程的线性方程组,如果无解或非唯一解,则系数行列式D=0.,例2.解线性方程组,下页,显然，此方程组无解.,其系数行列式为,定理7（齐次线性方程组）含有n个未知量n个方程的线性方程组,当其系数行列式,时,方程组
8、只有零解,而没有非零解.,下页,推论 若齐次线性方程有非零解，则必有系数行列式.,例3.取何值时，下列方程组只有零解?,解：因为,所以，当D0，即 5，2 且 8 时，方程组只有零解.,下页,由对角线记忆法得,=(l+2),=(l+2)2(l-4),作业：21页 4(3)(4)22页 5(4)6(2)(4)23页 9,10(1),结束,ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn,例2.计算行列式,解：,下页,第2章 向量与矩阵,2 矩阵的概念与运算,下页,1 向量的概念与运算,3 逆矩阵,4 分块矩阵,5 矩阵的初等变换与初等矩阵,6 矩阵的秩,7 向量组的线性相关性,8 向量组的正交化,第1节
9、 向量的概念与运算,定义1 n个数a1，a2，an组成的有序数组(a1,a2,an)，称为n维向量，记为a，其中a i(i=1,2,n)叫做向量的第i个分量.,a=(a1,a2,an)，,写成列的形式，称为列向量，记为,n维向量写成行的形式，称为行向量，记为,下页,1.1 向量的概念,下页,(-a1,-a2,-an)T，,为向量a的负向量，记作-a.,称向量,(0,0,0)T,为零向量，记作O.,称向量,如果向量a=(a1,a2,an)T,与向量b=(b1,b2,bn)T都是,n维向量，且对应的分量都相等，则称它们相等，记作ab.,本教材约定向量的形式为列向量，即,或记做 a=(a1,a2,a
10、n)T,向量满足以下8条运算规律(设a、b、g都是n维向量，k、l为实数):,(1)a+b=b+a(2)a+(b+g)=(a+b)+g(3)a+O=a(4)a+(-a)=O,(5)(k+l)a=ka+la(6)k(a+b)=ka+kb(7)(kl)a=k(la)(8)1a=a,1.2 向量的运算,定义2 设,则,（1）,下页,向量的加法,向量的数乘,下页,向量的减法,设a、b都是n维向量，,利用负向量可定义向量的减法为:,a-b,即对应分量相减.,=a+(-b),例1设,解：,解：,a+2g+(-a)=b+(-a)；两边加a 的负向量,a+(-a)+2g=b+(-a)；交换律,O+2g=b-a
11、；性质4,a+(-a)+2g=b-a；约定（减法）,2g=b-a；性质3,*2g=*(b-a)；数乘运算,1g=*(b-a)；恒等变换,g=*(b-a)；性质8,下页,例2设,说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别.,(计算结果，略.),定义3 设a=(a1,a2,an)T与b=(b1,b2,bn)T是两个n维向量，则实数,称为向量a和b的内积，记为(a,b)，或aT b.,向量的内积,例如，设a=(-1,1,0,2)T，b=(2,0,-1,3)T,则a与b 的内积为,(a,b),=(-1)2+10+0(-1)+23,=4.,下页,内积的性质 设a，b，g为Rn中的任
12、意向量，k为常数.(1)(a,b)=(b,a)；(2)(ka,b)=k(a,b)；(3)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)；(4)(a,a)0，当且仅当a=o时，有(a,a)=0.,下页,向量的长度,定义4 对于向量a=(a1,a2,an)T，其长度(或模)为,例如，向量a=(-1,2,0,2)T的长度为,向量长度的性质（了解）,下页,长度为1的向量称为单位向量.,向量的单位化（标准化）,下页,例4n维单位向量组e1，e2，en，是两两正交的：(ei,ej)=0(ij).,例3零向量与任意向量的内积为零，因此零向量与任意向量正交.,定义5 如果向量a与b为非零向量，它们的夹角 定义为：若(
13、a,b)=0，则称向量a与b互相正交(垂直),.,下页,定义6 如果m个非零向量组 a1，a2，am两两正交，即(ai,aj)=0(ij)，则称该向量组为正交向量组.如果正交向量组a1，a2，am的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为标准正交向量组.,下页,显然,例4中n维单位向量组e1，e2，en,为标准正交向量组.,标准正交向量组,在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组：,(a11 a12 a1n b1),(a21 a22 a2n b2),(am1 am2 amn bm),这些有序数组可以构成一个表,这个表就称为矩阵.,2.1 矩阵的概念
14、,下页,第2节 矩阵的概念与运算,其中 aij 称为矩阵的第 i 行第 j 列的元素.一般情况下，我们用大写字母 A，B，C 等表示矩阵.mn矩阵A简记为 A(aij)mn 或记作 Amn.,定义1 由 mn 个数 aij(i1,2,m；j1,2,n)排成一个 m 行 n 列的矩形表称为一个 mn 矩阵，记作,下页,如果矩阵A与B的行数相等，列数也相等，则称A与B是 同型矩阵或同阶矩阵。,零矩阵 所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.行矩阵与列矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小写黑体字母 a，b，x，y 等表示.例如,a=(a1 a 2 an)，,负矩阵,为A的
15、负矩阵,记作 A.,下页,如下形式的 n 阶矩阵称为上三角形矩阵.,三角形矩阵,如下形式的 n 阶矩阵称为下三角形矩阵.,方阵 若矩阵 A 的行数与列数都等于 n，则称 A 为 n 阶矩阵，或称为 n 阶方阵.,下页,注意：,区别方阵与行列式,数表,数值,对角矩阵,如下形式的 n 阶矩阵称为对角矩阵.,对角矩阵可简单地记为A=diag(a11,a22,ann).,单位矩阵,如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为 En 或 E.,定义2 矩阵相等：设A(aij)，B(bij)为同阶矩阵，如果aijbij(i1,2,m；j1,2,n)，则称矩阵A与矩阵B 相等，记作AB.,下页,2.2 矩阵的运
16、算,定义1 设A与B为两个mn矩阵,A与B对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与B的和，记为AB.即C=A+B.,下页,2.2.1矩阵的加法,例1设,A+B=,3+1 5+3 7+2 2+0,2+2 0+1 4+5 3+7,0+0 1+6 2+4 3+8,4 8 9 2,4 1 9 10,0 7 6 11,.,矩阵的加法：设A(aij)mn与B(bij)mn，则A+B=(aij+bij)mn。,下页,设A,B,C都是mn矩阵.容易证明，矩阵的加法满足如下运算规律：,（1）交换律：A+B=B+A;,（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C);,（3）A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵;,
17、矩阵的减法可定义为:,显然：若A=B，则A+C=B+C，A-C=B-C；若A+C=B+C，则A=B.,（4）A+(-A)=O，其中O是与A同型的零矩阵.,下页,定义2 设A(aij)为mn矩阵,则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩阵A的数量乘积，记为kA.即,2.2.2 数与矩阵的数法,下页,矩阵的数乘：设A(aij)mn，则kA=(kaij)mn.,例2设,3A,33 35 37 32,32 30 34 33,30 31 32 33,9 15 21 6,6 0 12 9,0 3 6 9,.,下页,(5)k(AB)kAkB；(6)(kl)AkAlA；(7)(kl)Ak(lA
18、)；(8)1A=A.,设A，B，C，O都是mn矩阵，k，l为常数，则,矩阵数乘的性质,性质(1)-(8)，称为矩阵线性运算的8条性质，须熟记.,下页,解：3A-2B,2 6 4 0,4 2 10 14,0 12 8 16,9 15 21 6,6 0 12 9,0 3 6 9,.,7 9 17 6,2-2 2-5,0-9-2-7,9-2 15-6 21-4 6-0,6-4 0-2 12-10 9-14,0-0 3-12 6-8 9-16,下页,解：,A+2X+(-A)=B+(-A)；两边加A 的负矩阵,A+(-A)+2X=B+(-A)；交换律,O+2X=B-A；性质4,A+(-A)+2X=B-A
19、；约定（减法）,2X=B-A；性质3,*2X=*(B-A)；数乘运算,1X=*(B-A)；恒等变换,X=*(B-A)；性质8,下页,从而得 X=*(B-A),说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别.,解：,下页,定义3 设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：,构成的mn矩阵C 称为矩阵 A 与矩阵 B 的积，记为CAB.,则由元素 cijai1b1jai2b2j aisbsj(i1,2,m；j1,2,n),2.2.3 矩阵的乘法,下页,cijai1b1jai2b2j aisbsj(i1,2,m；j1,2,n).,ai1b1jai2b2j aisbsj.,注：A的列数等
20、于B的行数，AB才有意义;C的行数等于A的行数，列数等于B的列数.,因此，cij 可表示为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.,矩阵的乘法,cij,下页,下页,ai1b1jai2b2j aisbsj.,注：A的列数等于B的行数，AB才有意义;C的行数等于A的行数，列数等于B的列数.,因此，cij 可表示为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.,cij,反例设,则 AB=,=无意义.,解：,-6,-7,8,（1）先行后列法,解：,-6,-7,8,-3,0,-3,（1）先行后列法,解：,-6,-7,8,-3,0,-9,-7,-3,5,（1）先行后列法,下页,解：,5,-3,8,（
21、2）先列后行法,解：,5,-3,8,-7,0,-7,（2）先列后行法,解：,5,-3,8,-7,0,-7,-6,-9,-3,（2）先列后行法,4,-9,8,3,解：,-6,-7,8,-3,0,-9,-7,-3,5,；,通常采用：先行后列法,下页,解：,-32,-16,16,8,0,0,0,0,下页,AB=,解：,显然，1)矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA;2)两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，从而不能从AB=O，推出A=O或B=O.,下页,解：,3,1,1,0,3,1,1,0,显然AB=BA.如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换.,下页,显然AC=BC，但AB.矩
22、阵乘法不满足消去律.,下页,例8设,例10.,则AA=,=A.,显然AA=A，但AE，A O.,下页,例9 对于任意矩阵A,B及相应的单位矩阵E,有,EA=A,BE=B.,对于任意矩阵A,B及相应的零矩阵O，有,AO=O，OB=O.,例11.线性方程组的矩阵表示（矩阵方程）,简记为：AX=B.,其中，A=,，X=,，B=,下页,应注意的问题,(1)ABBA；,(3)AB=O,A=O或B=O；,(2)AC=BC,A=B；,矩阵乘法的性质,方阵的幂 对于方阵A及自然数k Ak=AA A(k个A相乘)，称为方阵A的k次幂.方阵的幂有下列性质：(1)ArAs=Ar+s；(2)(Ar)s=Ars.,(4
23、)AA=A,A=E或A=O.,(1)(AB)C=A(BC)；(2)(A+B)C=AC+BC；(3)C(A+B)=CA+CB；(4)k(AB)=(kA)B=A(kB).,问题：(A+B)2=?(AB)k=?若A2=O?A=O,下页,定义4 将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A。即如果,例如，设x=(x1 x2 xn)，y=(y1 y2 yn)，则,(y1 y2 yn),xTy,.,2.2.4 转置矩阵及对称方阵,显然，ETE.,下页,转置矩阵有下列性质(1)(AT)T=A；(2)(A+B)T=AT+BT；(3)(kA)T=kAT；,定义4 将mn矩阵A的行
24、与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A.即如果,(4)(AB)T=BTAT.,下页,定义5 设A 为n阶方阵，若AT=A，则称A为对称矩阵，如果AT=-A，则称A为反对称矩阵.,分别是三阶对称矩阵和三阶反对称矩阵.,显然：A为对称矩阵的充分必要条件是aij=aji;A为反对称矩阵的充分必要条件是 aij=-aji.,如：,下页,例12 设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，证明：(1)B2为对称矩阵;(2)AB-BA为对称矩阵。,证（1）由BT=B，则,（2）,定义6,设A是n阶方阵，由A的元素构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记为|A|或det A.,性质：设A、B为n阶方
25、阵，k为数，则,(1)|A|=|AT|;,(3)|AB|=|A|B|.,(2)|kA|=kn|A|;,2.3 方阵的行列式,显然，|E|=1.,一般地，若A1,A2,Ak都是n阶方阵，则,显然,下页,例13设,求,解:因为,由公式,则,若先求得,同样,下页,例14设 A，B均为四阶方阵，且.,计算.,解 由方阵的行列式的运算规律，,下页,练习2设 A,B都是2阶方阵，且A=2，B=-3E，则|ATB|=().,练习1设 A是3阶方阵，且A=-2，则A2=()|2A|=(),|A|=().,4,-16,2,18,练习,下页,作业：82-83页 2 4（5）6 7 8,结束,第2节 矩阵的概念与运算,2.1 矩阵的概念,2.2 矩阵的运算,2.3 方阵的行列式,
