力学的守恒定律.ppt

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1、第3章 力学的守恒定律,本章内容：,4.1 动量 动量守恒定律,4.2 功和能 机械能守恒定律,4.3 角动量 角动量守恒定律,3.1 动量 动量守恒定律,3.1.1 质点动量定理,牛顿运动定律,（方向：）,动量：,描述物体运动状态更为普遍和最为基本的物理量,单位：(ms-1),元冲量：,表示力在时间 dt 内的积累量,单位：(NS-1),（微分形式）,对一段有限时间有,（积分形式）,质点动量定理,质点在 至 时间内，外力作用在质点上的冲量等于质点在同一时间内动量的增量。,分量形式,冲量的任何分量等于在它自己方向上的动量分量的增量,在力的整个作用时间内，平均冲力的冲量等于变力的冲量,平均冲力,

2、动量和冲量都是矢量，动量与速度同方向，冲量沿动量增量的方向。,(2)动量是物质运动的一种量度，具有矢量性、瞬时性和相对性。,说明：,(3)冲量是物质运动状态发生变化的原因。它是任何力在时间过 程中的积累效应的量度。,(4)由质点动量定理可知，物体运动的动量越大越难改变，不是 需要很大的力就是要有足够长的作用时间。,(5)质点受恒力作用时，,(6)质点受多个力作用时，合外力的冲量等于各分力冲量的和。,y,y,0,v,F,N,G”,例 质量为 m 的匀质柔软绳，全长为 L，将其卷成一堆放在地面上，手握柔软绳的一端，以匀速 v 将其上提。,解 设 t 时刻（地面上有 l 长的绳子）,此时绳的动量为,

3、求 绳一端被提离地面高度为 y 时，手的提力。,绳的动量随时间的变化率为,G”,系统所受的合外力为,得,例 质量为 m 的匀质柔软绳，全长为 L，,开始时，下端与地面的距离为 h。,下落在地面上时,所受绳的作用力？,L,h,解 设 t 时刻（地面上有 l 长的绳子）,此时绳的速度为,m,求 绳自由下落地面上的长度为 l(lL)时，地面,以dm(dt 时间下落到地面的绳子)为研究对象,根据动量定理,dm,地面受力,3.1.2 质点系的动量定理,t 时刻质点系的动量,（质点系动量定理的微分形式）,（一对内力）,以两个质点为例,某段时间内，质点系动量的增量，等于作用在质点系上所有外力在同一时间内的冲

4、量的矢量和 质点系动量定理,在有限时间内：,直角坐标系：,(1)只有外力可改变系统的总动量,(2)内力可改变系统内单个质点的动量 内部作用复杂,说明：,（质点系动量定理的积分形式）,直角坐标系：,3.1.3 动量守恒定律,当,动量守恒的分量表述,(1)动量守恒定律适用于惯性系,质点系动量守恒定律,说明：,(2)动量守恒定律也适用于高速，微观领域,(3)合外力为零或不受外力作用系统总动量保持不变。,(4)合外力不为零，但合力在某方向分量为零，则系统在该方向 上的动量守恒。,(5)系统的内力远大于外力，可忽略外力，系统动量可视为守恒。,应用动量定理和动量守恒定律解力学问题的一般步骤：,(1)选取研

5、究对象,(2)分析受力-若研究对象所受外力的矢量和不为零，或找不到一个方向能使外力在该方向投影的代数和为零，就应用动量定理或其他相关定理、定律求解；反之，就应用动量守恒定律求解。,(3)确定过程-应用与动量有关的定理（定律）时，需要考虑一定的时间间隔或一个过程。,(4)列方程求解-首先是选取适当的坐标系，然后根据定理（定律）列出方程。,例,一架战斗机水平飞行，发现目标后，把一枚炮弹以相对于机身 vr=570 m/s 的速度向正前方射出。,飞机的飞行速度因此而减少了多少？设机身的质量M=15000 kg，炮弹质量m=7 kg。,求,解,以机身和炮弹组成的系统为研究对象，系统受到的外力（重力）沿水

6、平方向投影为零，火药爆炸为内力，故系统沿水平方向动量守恒。设发射前后飞机的飞行速度分别为 v 和 v,如图所示，两部运水的卡车A、B在水平面上沿同一方向运动，B的速度为u，从B上以6kg/s的速率将水抽至A上，水从管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻 t 时，A车的质量为M，速度为v。,选A车和t时间内抽至A车的水m为研究系统，水平方向上动量守恒,解,例,求 时刻 t，A 的瞬时加速度,3.2 功和能 机械能守恒定律,3.2.1 功,（研究力在空间的积累效应）,1.恒力的功,2.变力的功,M,a,b,一段上的功,在,在ab一段上的功,在直角坐标系中,在自然坐标系中,说明:,(1)功

7、是标量，有正负,(2)合力的功等于各分力的功的代数和,(3)一般来说，功的值与质点运动的路径有关,质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质点的速度为,解,在质点从 y=16m 到 y=32m 的过程中，外力做的功。,求,例,开始时质点位于坐标原点。,缓慢拉质量为m 的小球，,解,例,=0 时，,求,已知用力,保持方向不变,作的功。,3.几种常见力的功,（1）重力的功,重力mg 在曲线路径 ab 上的功为,重力所作的功等于重力的大小乘以质点位置高度的变化。,(1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所经过的路 径无关（与路径无关）。,(2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力

8、作正功。,结论,yb,ya,解：,例 一质量为m、总长为l 的铁链，开始时有一半放在光滑的桌 面上，而另一半下垂，如图所示。求 铁链滑离桌面时重力所作的功。,重力作的元功,则铁链滑离桌面时，重力作的功,（2）万有引力的功,上的元功为,万有引力F 在全部路程中的功为,M,a,b,m,在位移元,（1）万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与 质点所经过的路径无关（与路径无关）。,结论:,（2）质点m移近质点M 时，万有引力作正功；质点m 远离质点 M 时，万有引力作负功。,（3）弹性力的功,弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所经过的 路径无关（与路径无关）。,(2)弹簧的变形减小时，弹性力作

9、正功；弹簧的变形增大时，弹性力作负功。,弹簧弹性力,由x1 到x2 路程上弹性力的功为,弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变量平方之差的一半。,结论,（4）力矩的功,O,根据功的定义,（力矩做功的微分形式）,对一有限过程,若 M=C,（力矩的空间累积效应）,.P,(2)力矩的功就是力的功。,(3)内力矩作功之和为零。,讨论：,(1)合力矩的功,功率的定义，可得力矩的瞬时功率,3.2.2 动能 动能定理,1.质点的动能定理（合力的功）,作用于质点的合力在某一过程中对质点所作的功，等于质点在同一过程的始、末两个状态动能的增量。,(1)Ek 是一个状态量,A 是过程量。,(2)动能定律

10、只适用于惯性系。,说明,2.质点系的动能定理,（质点系动能定理）,(1)内力和为零,内力功的和是否为零？,不一定为零,S,L,讨论：,(2)内力的功也能改变系统的动能,例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转 化为弹片的动能。,应用动能定理求解力学问题时，一般可按以下步骤：,(1)选取研究对象,(2)分析研究对象受力情况和各力的做功情况,(3)选定研究过程明确过程的初状态和末状态，确定初、末状态的动能,(4)列方程根据动能定理列出方程，还要列出必 要的辅助性方程,(5)解方程，求出结果对结果进行必要的讨论,一轻弹簧的劲度系数为k=100N/m，用手推一质量 m=0.1 kg 的物体把弹簧

11、压缩到离平衡位置为x1=0.02m处,如图所示。放手后，物体沿水平面移动到x2=0.1m而停止。,放手后，物体运动到 x 1 处和弹簧分离。在整个过程中，有两个力作功,解,例,物体与水平面间的滑动摩擦系数。,求,摩擦力作功,弹簧弹性力作功,根据动能定理有,长为l 的均质链条，部分置于水平面上，另一部分自然下垂,已知链条与水平面间静摩擦系数为0,滑动摩擦系数为,(1)以链条的水平部分为研究对象，设链条每单位长度的质量为，沿铅垂向下取Oy 轴。,解,例,求,满足什么条件时，链条将开始滑动(2)若下垂部分长度为b 时，链条自静止开始滑动，当链条末端刚刚滑离桌面时，其速度等于多少？,当 y b0，拉力

12、大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。,设链条下落长度 y=b0 时，处于临界状态,P,T,T,f,(2)以整个链条为研究对象，链条在运动过程中各部分之间相互作用的内力的功之和为零，,摩擦力的功,重力的功,根据动能定理有,力学方法,以链条为研究对象，受力分析后有：,P,T,T,f,3.刚体的转动动能 刚体转动的动能定理,（1）刚体的转动动能,z,O,的动能为,刚体的总动能,P,绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半,结论：,（2）刚体转动的动能定理,（合力矩功的效果）,对于一有限过程,绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总

13、和。这就是绕定轴转动刚体的动能定理,例 一根长为 l，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置,解,由动能定理,求 它由此下摆 角时的,4.理想流体的伯努利方程,如图，取一细流管，经过短暂时间 t，截面 S1 从位置 a 移到 b，截面 S2 从位置c 移到d，,流过两截面的体积分别为,由连续性原理得,在b到一段中运动状态未变，流体经过t 时间动能变化量：,流体经过t 时间势能变化量：,t 时间内外力对该段流体做功：,由功能原理：,即,上式即为伯努利方程的数学表达式。,t,t,伯努利方程的意义,（1）伯努利方程的实质是功能原理在流体力学中的应用,表示单位体积

14、流体流过细流管 外压力所做的功；,表示单位体积流体流过细流管 重力所做的功；,表示单位体积流体流过细流管 后动能的变化量；,（2）伯努利方程应用于流体静力学即为连通器原理：,（3）注意统一单位，为国际单位。适用于理想流体的定常流动。,（4）P、h、v 均为可测量，他们是对同一流管而言的。,（5）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，P、h、v之间的关系。,水管里的水在压强 P=4.0105Pa 作用下流入室内，水管的内直径为 2.0 cm，引入 5.0 m 高处二层楼浴室的水管，内直径为 1.0 cm。当浴室水龙头完全打开时，浴室水管内水的流速为4.0ms-1。,当水龙头关闭时，由伯努利方

15、程,即,=3.5105Pa,例,求,解,浴室水龙头关闭以及完全打开时浴室水管内的压强。,当水龙头完全打开后，,=2.3105Pa,即,由伯努利方程：,打开水龙头，管口处的压强减小，这是水的流动导致的结果。,例,求,解,a、b、c、d 各处压强及流速。,h1,h2,a,b,c,d,如图所示为一虹吸装置，h1 和h2 及流体密度 已知，,由题意可知，va=0,pa=pd=p0,选d 点所在平面为参考平面，对a、d 两点应用伯努力方程，有,解得,因b、c、d 各点处于截面积相同的同一流管中，所以,由连续性原理，有：,对于a、b 两点，有,对于a、c 两点，有,得：,3.2.3 势能 机械能守恒定律,

16、1.保守力 势能,如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末相对位置，这样的力称为保守力。,保守力沿闭合路径一周所做的功为零。,例如重力、万有引力、弹性力都是保守力。,作功与路径有关的力称为非保守力。例如:摩擦力,a,b,d,c,势能,在保守力场中,A(选参考点),B,取：,则（势能的定义）：,(势能零点),势能是位置的函数，在数值上等于从B 到 势能零点 保守力所做的功，该函数通常称作势能函数。,势能是系统具有的作功本领,(蕴藏在保守力场与位置有关的能量),讨论：,（1）由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相对的。,（2）势能增量：在保守力场中，质点从 P1 P2 位置，势能增

17、量为,质点在该过程中，保守力的功 A 为,即在该过程中，保守力的功 A 等于质点在始末两位置势能增量的负值,微分形式,（3）保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。,r,几种常见的势能,（势能定义）,1.重力势能,2.万有引力势能,r,M,m,等势面,3.弹性势能,例,在质量为M、半径为R、密度为 的球体的万有引力场中,求 质量为m的质点在球内外任一点C 的万有引力势能,解 质点在球外任一点C，与球心距离为x,M,R,x,m,O,质点在球内任一点C，与球心距离为 x,（质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来）,势能曲线,重力势能,万有引力势能,弹性势能,E,势能零点？,保守力的大

18、小？,由势能函数求保守力,由势能曲线求保守力,势能曲线上某点斜率的负值，就是该点对应的位置处质点所受的保守力。,2.机械能守恒定律,对质点:,(机械能守恒定律),保守力所作的功A应为：,质点在仅有保守力作功的条件下运动，由动能定理得：,故有,对质点系:,当,(机械能守恒定律),(机械能增量),(2)守恒定律是对一个系统而言的,(3)守恒是对整个过程而言的，不能只考虑始末两状态,说明：,(1)守恒条件,(4)机械能守恒定律只适用于惯性系,应用守恒定律解题时的思路与用牛顿定律解题不同,（1）无需具体分析系统中间过程的受力细节。,（2）守恒定律形式中只涉及到系统的始末状态物理量。,（3）解题步骤大致

19、是：,(a)选取研究对象。若为质点系，则必须弄清所研究的质点系是由哪些质点组成。,(b)分析守恒条件。分析研究对象的运动过程是否满足机械能守恒条件。,(c)明确过程的始、末状态。选定各种势能的零势能位置，写出始、末两种状态研究对象的机械能。,(d)列方程。根据机械能守恒定律列出方程，还要列出必要的辅助性方程,(e)解方程，求出结果。,把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度 v0,解,根据机械能守恒定律有,例,物体从地面飞行到与地心相距 nRe 处经历的时间。,求,发射出去，阻力忽略不计。,用弹簧连接两个木板m1、m2，弹簧压缩 x0。,解,整个过程只有保守力作功，机械能守恒,例,给m2

20、 上加多大的压力能使m1 离开桌面？,求,3.5 能量守恒定律,能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式。对一个孤立系统来说，不论发生何种变化，各种形式的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。这一结论称为能量守恒定律。,3.机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现,1.能量守恒定律可以适用于任何变化过程,2.功是能量交换或转换的一种度量,例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发电，将机械能转换为电能；电流通过电热器能发热，把电能又转换为热能。,讨论：,3.3.1 质点的角动量(对O点),其大小,质点的角动量与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关,特例

21、：质点作圆周运动,O,惯性参照系,3.3 角动量 角动量守恒定律,单位：kgm2s-1,例,一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为d1、d2、d3,求 此时刻质点对三个参考点的动量矩,解,3.3.2 刚体对定轴的角动量,O,质点对 Z 轴的动量矩,刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩为,且刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩具有相同的方向,(所有质元对 Z 轴的动量矩之和),3.3.3 角动量定理 角动量守恒定律,对于质点：,对定轴转动刚体，J 为常量。,角动量矩定理,(角动量定理的积分形式),(角动量定理的微分形式),无论是对于运动的质点还是定轴转

22、动的刚体，在某段时间内所受合力矩的冲量矩等于其角动量的增量,说明：,冲量矩是质点或刚体角动量变化的原因,角动量的变化是力矩对时间的积累结果,角动量守恒定律,(1)守恒条件,(2)若质点所受到的是有心力，则角动量守恒。,讨论：,应用举例：,行星运动的开普勒第二定律,(3)变形体绕某轴转动时，若,则变形体对该轴的角动量,角动量守恒举例,花样滑冰、跳水、芭蕾舞等。,当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一,求 角及着陆滑行时的速度多大？,解,引力场（有心力）,质点的角动量守恒,系统的机械能守恒,例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M、半径为 R 的行星.,质量为 m 的仪器。要使该

23、仪器恰好掠过行星表面,例 一均质棒，长度为 L，质量为M，现有一子弹在距轴为 y 处水平射入细棒，子弹的质量为 m,速度为 v0。,求 子弹细棒共同的角速度。,解,其中,m,子弹、细棒系统的角动量守恒,例 上题中，若子弹和杆共同偏转30o，子弹的质量为 m,速度为 v0。,求 子弹的初速度v0。,解,由机械能守恒有,其中,解之，得：,试用角动量守恒定律解释：猫从高处落下时，不论原来的姿势如何。它总是能使自己的四肢着地，以免摔伤的现象。,例 在自由旋转的水平圆盘边上，站一质量为m 的人。圆盘的半径为R，转动惯量为J,角速度为。如果这人由盘边走到盘心,求 角速度的变化及此系统动能的变化,解,由角动量守恒定律,长为，质量为 的匀质杆，一端悬挂，可通过点 转动。今使杆水平静止的落下，在铅直位置与质量为 的物体作完全非弹性碰撞后，沿摩擦因数 的水平面滑动。求 滑动的距离。,例,解,处理这类碰撞问题与过去质点运动相似但又有区别，将分阶段进行讨论。（1）杆自由下落到将和 碰撞，由机械能守恒得,（3）物体 沿水平面运动直到静止,由质点的动能定理得,o,作业,3.1;3.3;3.4;3.6;3.7;3.8;3.10;3.13;3.20;3.21;3.22,