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1、精选优质文档-倾情为你奉上手拉手模型（等线段共端点模型）1、 定义：两个顶角相等且共顶点的等腰三角形形成的图形。2、 四个固定结论：判断左右：将等腰三角形顶角（头）朝上，正对读者，读者左边为着手顶点，右边为右手顶点，如图1、图2 （1） 经典线段相等:左拉左=右拉右找经典全等：包含A 经典线段 B.两对等腰（等线段共端点）（2） 共顶点旋转模型（证明基本思想“SAS”）核心导角：A=C则得出B=D,（八字图模型）核心图形： AB=AC,AB=AC BAC=BAC以上给出了连续变化的图形，图中两个阴影部分的三角形全等，注意利用三角形全等性质进项转化边或转化角3、利用旋转思想构造辅助线（1）根据相
2、等的边找出被旋转的三角形（2）根据对应边找出旋转角度（3）根据旋转角画出旋转后的三角形4、旋转前后具有以下性质（1）对应线段和对应角分别相等（2）对应点位置的排列次序相同（3）任意两条对应线段的夹角都等于旋转角例题讲解：A类1：在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD和BCE，连接AE与CD，等边三角形要得到哪些结论？要联想到什么模型？证明：（1）ABEDBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60；（4）AGBDFB；（5）EGBCFB；（6）BH平分AHC；解题思路：1：出现共顶点的等边三角形，联想手拉手模型2：利用边角边证明全等；3：八字导角得角相等；2：如图两个等腰直角三角形
3、ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.等腰直角三角形要得到哪些结论？要联想到什么模型？问 （1）ADGCDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE？解题思路：1：出现共顶点的等腰直角三角形，联想手拉手模型2：利用边角边证明全等；3：八字导角得角相等；3：如图，分别以ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ，AC =AD，等腰直角三角形要得到哪些结论？要联想到什么模型？BAE =CAD=90，点G为BC中点，点F 为BE 中点，点H 为CD中点。探索GF 与多个中点，一般考虑什么？GH 的位置及数量关
4、系并说明理由。解题思路：1：有两个共顶点的等腰直角三角形，联想手拉手全等，连接BD，CE，BADEAC2：多个中点，联想中位线，得线段关系B类1：如图1，已知DAC=90，ABC是等边三角形，点P为射线AD任意一点（P与A不重合），出现等边三角形，要想到哪些？连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.旋转60，要做什么？（1）如图1，猜想QEP=_；（2）如图2，3，若当DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若DAC=135，ACP=15，且AC=4，求BQ的长有特殊的钝角，需要做什么？求线段长有哪
5、些方法？解题思路：1：旋转60，出现等边三角形2：两个共顶点的三角形，联想手拉手全等3：求线段长度，利用勾股定理2：在中，BD为斜边AC上的中线，将绕点D等腰直角三角形斜边的中线可以得到什么？顺时针旋转()得到，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，等腰直角三角形绕顶点旋转，是什么模型？BE与FC相交于点H.（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系：_;（2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点.求证：;出现中点要想到什么？（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关系：.线段的关系都有哪些？解题思路：1：等腰直角三角形斜边的中线把三角形分成两
6、个相同的等腰直角三角形2：等腰直角三角形绕顶点旋转，联想手拉手模型3：等腰直角三角形中出现中点，联想斜边中点4：利用勾股定理得线段关系3：在RtABC中，D是AB的中点，DEBC于E，连接CD直角+中点，联想什么？（1）如图1，如果，那么DE与CE之间的数量关系是_（2）如图2，在（1）的条件下，P是线段CB上一点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论旋转60，要做什么，还要联想什么？线段关系，一般有哪些？（3）如图3，如果（），P是射线CB上一动点（不与B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转2，
7、得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系（不需证明）解题思路：1：直角三角形斜边的中线是斜边的一半2：30的直角三角形，得到等边三角形3：线段关系一般有和差倍，勾股定理4：等腰三角形共顶点旋转，联想手拉手模型C类1：已知：在ABC中，BAC=60（1）如图1，若AB=AC，点P在ABC内，且APC=150，PA=3，PC=4，把APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B处，得到ADB，连接DP旋转60，要做什么，还要联想什么？ 依题意补全图1； 直接写出PB的长；（2）如图2，若AB=AC，点P在ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求APC的度数；给出共顶点的
8、三条线段，要做什么？当看到3，4，5，要来你想什么？（3）如图3，若AB=2AC，点P在ABC内，且PA=，PB=5，APC=120，请直接写出PC的长 图1 图2图3解题思路：1：共点的三条线段，利用旋转，构造手拉手模型，使之放在同一三角形中2：勾股定理，勾股数3：沿用前两问思路，构造手拉手相似2：在ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得EGB=EAB，连接AG.（1）如图1，当EF与AB相交时，若EAB=60，求证：EG =AG+BG；（2）如图2，当EF与AB相交时，若EAB= （090），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含的式
9、子表示）； （3）如图3，当EF与CD相交时，且EAB=90，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.解题思路：1：有60角，联想等边三角形，联想手拉手2：线段和差，联想截长补短3：等腰三角形，构造手拉手模型4：三条线段的关系：和差倍、勾股定理课堂练习A类1：如图，已知和都是等边三角形，、在一条直线上，试说明与相等的理由2：如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边ACD和等边BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN（1）求证：AE=BD；（2）求证：MNAB3：已知：如图，ABC、CDE都是等边三角形，AD、B
10、E相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点（1）求证：AD=BE；（2）求DOE的度数；（3）求证：MNC是等边三角形B类1：在中，将线段BC绕点B逆时针旋转得到线段BD（1）如图1，直接写出的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，判断的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若，求的值2.如图1，在四边形ABCD中，BA=BC，ABC=60，ADC=30，连接对角线BD.（1）将线段CD绕点C顺时针旋转60得到线段CE，连接AE.依题意补全图1；试判断AE与BD的数量关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，直接写出线段DA、DB和DC之间的数量关系；（3）如图2，F是对
11、角线BD上一点，且满足AFC=150，连接FA和FC，探究线段FA、FB和FC之间的数量关系，并证明. （图1） （图2）3如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC=CD，ACD=，将线段CD绕点C顺时针旋转90得到线段CE，连接DE，AE，BD（1）依题意补全图1；（2）判断AE与BD的数量关系与位置关系并加以证明；（3）若064，AB=4，AE与BD相交于点G，求点G到直线AB的距离的最大值请写出求解的思路（可以不写出计算结果）C类1:已知：，以为一边做正方形，使P、D两点落在直线的两侧。（1）如图，当时，求及的长（2）当变化， 且其它条件不变时，求的最大值，及相应的的大小考点1：手拉手
12、模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等） （2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等） （3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等） （4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似） 【例1】 （14年海淀期末）已知四边形和四边形都是正方形 ，且（1）如图，连接、求证：；（2）如图，如果正方形的边长为，将正方形绕着点旋转到某一位置时恰好使得，求的度数；请直接写出正方形的边长的值【题型总结】手拉手模型是中考中最常见的
13、模型，突破口常见的有哪些信息？常见的考试方法有哪些？【例2】 （2014年西城一模） 四边形是正方形，是等腰直角三角形，连接，为的中点，连接，。（1）如图24-1，若点在边的延长线上，直接写出与的位置关系及的值；（2）将图24-1中的绕点顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；ACDGEFB图-1图24-2ACDGEFB【题型总结】此类型题目方法多样，你还能找到其他的解题方法吗？另外涉及到的中点辅助线你还能说出几种？【例3】 （2015年海淀九上期末）如图1，在 中，以线段为边作，使得， 连接，再以为边作，使得，（1）如
14、图2 ，当且时，用等式表示线段之间的数量关系；图1（2）将线段沿着射线的方向平移，得到线段，连接若 ，依题意补全图3， 求线段的长；请直接写出线段的长（用含的式子表示） 图2 图3 备用图【例4】 （13年房山一模） （1）如图1，和都是等边三角形，且、三点共线，联结、相交于点，求证：（2）如图2，在中，分别以、和为边在外部作等边、等边和等边，联结、和交于点，下列结论中正确的是_（只填序号即可）；（3）如图2，在（2）的条件下，求证： 图1图2【题型总结】到三个定点的三条线段之和最小，夹角都为旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较
15、重要的就是费马点问题 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换 手拉手模型一选择题（共1小题）1如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD和BCE，连接AE与CD，下列说法：ABEDBC；AE=DC；AE与DC的夹角为30度；AGBDFB；BH平分AHC其中正确的有（）个A2B3C4D5二解答题（共29小题）2如果两个等边三角形ABD和BCE，连接AE与CD，证明：（1）AE与DC的夹角为60；（2）AE与DC的交点设为H，BH平分AHC3如图1，ABC为等边三角形，点M是射线AE上任意一点（M不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针
16、方向旋转60得到线段CN，连接BN，直线BN交射线AE于点D（1）直接写出直线BD与射线AE相交所成锐角的度数；（2）如图2，当射线AE与AC的夹角EAC为钝角时，其他条件不变，（1）中结论是否发生变化？如果不变，加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图3，在等腰RtABC中，ACB=90，射线AE交BC于点H，EAC=15，点M是射线AE上任意一点（M不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN，连接BN，直线BN交射线AE于点DG，F分别是AH，AB的中点求证：CD=GF4等边ABD和等边BCE如图所示，连接AE与CD，证明：（1）AE=DC；（2）AE与DC
17、的夹角为60；（3）AE延长线与DC的交点设为H，求证：BH平分AHC5如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H问：（1）ADGCDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE？（如果你知道勾股定理的话，请问线段AC、GE、AE、CG有什么数量关系？）6已知：如图所示，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点（1）求证：BE=CD；AMN是等腰三角形；（2）在图的基础上，将ADE绕点A按逆时针方向旋转180，其他条件不变，得
18、到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在旋转的过程中，若直线BE与CD相交于点P，试探究APB与MAN的关系，并说明理由7阅读：如图1，ABC和DBE中，AB=CB，DB=EB，ABC=DBE=90，D点在AB上，连接AE，DC求证：AE=CD，AECD证明：延长CD交AE于点FAB=BC，BE=DBRtAEBRtCDBAE=CD，EAB=DCBDCB+CDB=90，ADF=CDBADF+DAF=90AFD=90AECD类比：若将图1中的DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问图2中的线段AE，CD之间的数量和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明
19、理由拓展：若将图1中的DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，将“ABC=DBE=90”改为“ABC=DBE=（为锐角）”，其他条件均不变，如图3所示，问（直接回答问题结果，不要求写结论过程）：图3中的线段AE，CD是否仍然相等？线段AE，CD的位置关系是否发生改变？若改变，其所在直线的夹角大小是否随着图形的旋转而发生变化？若不变化，其值多少？8（1）如图1，ABC和ADE均为顶角为的等腰三角形，连接BD、CE，BD与CE、AC分别交于点O、点P通过观察或测量，猜想：线段BD和CE的数量关系为 BD和CE之间的夹角BOC= （2）现将图1中的ADE绕着点A顺时针旋转一个角度，得到图2，BD的延长线与C
20、E的延长线交于点O，与AC交于点P，问（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，予以证明；若不成立，说明理由9如图1，在ABB和ACC中，BAB=CAC=m，AC=AC，AB=AB（1）不添加辅助线的前提下，请写出图中满足旋转变换的两个三角形分别是： ；旋转角度是 ；（2）线段BC、BC的数量关系是： ；试求出BC、BC所在直线的夹角： ；（3）随着ACC绕点A的旋转，（2）的结论是否依然成立？请从图2、图3中任选一个证明你的结论；（4）利用解决上述问题所获得的经验探索下面的问题：如图4，等边ABC外一点D，且BDC=60，连接AD，试探索线段AD、CD、BD的数量关系10等边三角形ABC的边AB在
21、直线l上，动点D也在直线l上（不与A，B点重合），ADE为等边三角形（1）如图，当点D在线段BA的延长线上且ADE与ABC在直线l的同侧时，试猜想线段BE与CD的大小关系为 （2）如图，当点D在线段BA上且ADE与ABC在直线l异测时，（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明结论发生了怎样的变化；若成立，说明理由，并求出此时线段BE与CD所在直线的夹角（090）（3）当点D在线段AB的延长线上且ADE与ABC仍然在直线l的异测时，试在图中画出相应的图形，并直接判断此时BE与CD的关系（不必说明理由）11如图，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角ABD
22、和等腰直角ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由（2）求证：BE=CD，BECD12在OBC中，BOC为钝角，以OB、OC分别为一直角边向外作等腰RtOAB和RtOCD，AOB=COD=90（1）如图1，连接AC、BD，求证：AOCBOD；（2）如图2，连接AD，若点E、M、N分别是AD、AB、DC的中点，连接EM、EN、OE求证：EMN为等腰三角形；判断线段EO与BC的数量关系和位置关系，并说明理由13已知ABC为任意三角形（1）如图1，分别以AB、AC为边，向形外作两个等边三角形ABD、ACE，连接BE、CD交于点O，试证
23、明：OA+OC=OE（2）如图2，分别以边AB、AC为底，向形外作两个等腰直角三角形ABD、ACE，取BC的中点F，连接DF，EF，试判断DF与EF的数量关系和位置关系，并说明理由（3）如图3，分别以边AB、AC、BC为底，向形外作三个顶角为120等腰三角形ABD、ACE、BCF，试判断DEF的形状，并说明理由；（4）如图4，在边上向形外作ABD、ACE、BCF，使得ABD=ACE=45，BAD=CAE=30，FBC=FCB=15，试判断DEF的形状，并说明理由14如图1，ABC与CDE都是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连
24、接AE，BD，PM，PN，MN（1）观察猜想：图1中，PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 （2）探究证明：将图1中的CDE绕着点C顺时针旋转（090），得到图2，AE与MP、BD分别交于点G、H，判断PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把CDE绕点C任意旋转，若AC=4，CD=2，请直接写出PMN面积的最大值15如图1，已知DAC=90，ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E（1）如图1，猜想QEP= ；（2）如图2，3，若当DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想QEP的度
25、数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若DAC=135，ACP=15，且AC=4，求BQ的长16在ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，DAE=BAC，连接CE（1）如图1，当点D在线段CB上，且BAC=90时，那么DCE= 度；（2）设BAC=，DCE=如图2，当点D在线段CB上，BAC90时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；如图3，当点D在线段CB的延长线上，BAC90时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）（3）结论：与之间的数量关系是 17如图1所示，在ABC中，AB=AC
26、，BAC=90，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角三角形ADF，连接CF（1）当点D在线段BC上时（不与点B重合），线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明（2）当点D在线段BC的延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由18如图1所示，在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角三角形ADF，连接CF，AB=AC，BAC=90（1）当点D在线段BC上时（不与点B重合），线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明（2）
27、当点D在线段BC的延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由19在ABC中，ACB为锐角点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作等腰RtADE（1）如果AB=AC，BAC=90解答下列问题：如图1，当点D在线段BC上时（与点B不重合），线段CE、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 当点D在线段BC的延长线上时，如图2，线段CE、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 请在上面两个结论中任选一个说明理由（2）如果ABAC，BAC90，点D在线段BC上运动试探究：当ABC满足BCA= 时，CEBC（点C、E重合除外）？请在图3中画出相应图形，并说明
28、理由（画图不写作法）20在ABC中，AB=BC=2，ABC=90，BD为斜边AC上的中线，将ABD绕点D顺时针旋转（0180）得到EFD，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点FBE与FC相交于点H（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系： ；（2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点求证：MN=22FC；（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关系： 21如图，在等腰直角ABC中，ACB=90，CA=CB，CD为斜边AB上的中线（1）如图1，AE平分CAB交BC于E，交CD于F，若DF=2，求AC的长；（2）将图1中的ADC绕点D顺时针旋转一定
29、角度得到ADN，如图2，P，Q分别为线段AN，BC的中点，连接AC，BN，PQ，求证：BN=2PQ；（3）如图3，将ADC绕点A顺时针旋转一定角度到AMN，其中D的对应点是M，C的对应点是N，若B，M，N三点在同一直线上，H为BN中点，连接CH，猜想BM，MN，CH之间的数量关系，请直接写出结果22在ABC中，ACB=45，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1（1）如图1，若AB=BC，连接AA1，CC1，求证：AA1=CC1；（2）如图2，当点C1在线段CA的延长线上时，求CC1A1的度数；（3）如图3，若AB=3，BC=4，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点
30、B按逆时方向旋转一周的过程中，点P的对应点是点P1，试直接写出旋转过程中线段EP1长度的最大值与最小值23图（1）是边长不等的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（C与C重合）（1）操作：固定ABC，将CDE绕点C顺时针旋转30得到CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F（图（2）；探究：在图（2）中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论（2）操作：将图（1）中的CDE固定，将ABC 移动，使顶点C落在CD的中点，边AC交ED于M，边BC交CE于N若CDE的边长为a，ACD= （3090）（图（3）；探究：在图（3）中线段CNDM的值是否随的变化而变化？如果没有变化，
31、请求出CNDM的值；如果有变化，请说明理由24将两个全等的ABC和DBE按图1方式摆放，其中ACB=DEB=90，A=D=30，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F（1）若将图1中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且060，其它条件不变，如图2，请你直接写出线段AF，EF，DE的数量关系；（2）若将图1中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且60180，其它条件不变如图3（1）中线段AF，EF，DE的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明该结论；若不成立，请写出新的结论并证明如图4，AB中点为M，BE中点为N，若BC=2，连接MN，当= 度时，MN长度最大，最大值为 （直接写出答案即可
32、）25在ABC中，AB=AC，BAC=90，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G（1）若点D在线段BC上，如图1依题意补全图1；判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB=2，则GE的长为 ，并简述求GE长的思路26如图，C为线段BD上一点（不与点B，D重合），在BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点F，AD与CE交于点H，BE与AC交于点G（1）求证：BE=AD；（2）求AFG的度数；（3）求证：CG=CH2
33、7如图，已知ABC和BDE都是等边三角形，且A、E、D三点在同一直线上，试说明BD+CD=AD的理由28阅读材料：如图1，ABC和CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，可以证明ACDBCE，则AD=BE解决问题：（1）将图1中的CDE绕点C旋转到图2，猜想此时线段AD与BE的数量关系，并证明你的结论（2）如图2，连接BD，若AC=2cm，CE=1cm，现将CDE绕点C继续旋转，则在旋转过程中，BDE的面积是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由（3）如图3，在ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DEAB，将DCE绕点C按顺时针方向旋转得到三角形CDE
34、（使ACD180），连接BE，AD，设AD分别交BC、BE于O、F，若ABC满足ACB=60，BC=3，AC=2，求BEAD的值及BFA的度数；若D为AC的中点，求AOC面积的最大值29将等腰RtABC和等腰RtADE按图1方式放置，A=90， AD边与AB边重合， AB=2AD=4将ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度（0180），BD的延长线交直线CE于点P（1）如图1，BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）在旋转的过程中，当ADBD时，求出CP的长； （3）在此旋转过程中，求点P运动的路线长30如图1，在ACB和AED中，AC=BC，AE=DE，ACB=AED=90，点E在AB上，
35、F是线段BD的中点，连接CE、FE（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由手拉手模型参考答案与试题解析一选择题（共1小题）1如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD和BCE，连接AE与CD，下列说法：ABEDBC；AE=DC；AE与DC的夹角为30度；AGBDF
36、B；BH平分AHC其中正确的有（）个A2B3C4D5【专题】55：几何图形【分析】由等边三角形的性质得出AB=DB，ABD=CBE=60，BE=BC，得出ABE=DBC，由SAS即可证出ABEDBC；由ABEDBC，即可得到DC=AE；由ABEDBC，得出BAE=BDC，根据三角形外角的性质得出DMA=60；由ASA证明ABGDBF；证明G、B、F、H四点共圆，由圆周角定理得出BHG=BHF，即HB平分AHC【解答】解：ABD、BCE为等边三角形，AB=DB，ABD=CBE=60，BE=BC，ABE=DBC，PBQ=60，在ABE和DBC中，&AB=DB&ABE=DBC&BE=BC，ABEDB
37、C（SAS），正确；ABEDBC，AE=DC，正确；ABEDBC，BAE=BDC，BDC+BCD=1806060=60，DHA=BAE+BCD=BDC+BCD=60，AE与DC的夹角为30度错误；在ABG和DBF中，&BAG=BDF&AB=DB&ABG=DBF=60，ABGDBF（ASA），正确；DHA=60，AHC=120，AHC+GBF=180，G、B、F、H四点共圆，BG=BF，BG=BF，BHG=BHF，即HB平分AHC；正确；故选：C【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键二解答题
38、（共29小题）2如果两个等边三角形ABD和BCE，连接AE与CD，证明：（1）AE与DC的夹角为60；（2）AE与DC的交点设为H，BH平分AHC【专题】14：证明题【分析】（1）根据等边三角形性质得出AB=BD，BC=BE，ABD=CBE=60，求出ABE=DBC根据SAS证ABEDBC，则BDC=BAE，根据三角形的内角和定理可求出AHD=60；（2）过点B分别作BMCD，BNAE，垂足为点M，N根据三角形的面积公式求出AN=AM，根据角平分线性质求出即可【解答】证明：（1）ABD和BCE是等边三角形，AB=BD，BC=BE，ABD=CBE=60，ABE=DBC，在ABE和DBC中，&AB
39、=BD&ABE=DBC&BC=BE，ABEDBC，AE=DC，BDC=BAE，BDC+ADC=BAE+ADC=BDA=60，在ADH中，AHD=180ADCDABBAE=180ADC（DAB+BAE）=1806060=60；（2）过点B分别作BMCD，BNAE，垂足为点M，N由（1）知：ABEDBC，SABE=SDBC12CDBM=12AEBNBM=BN点B在DHE的平分线上，BH平分AHC【点评】本题考查了等边三角形性质、三角形的面积、全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理的综合运用，证明ABEDBC是解决问题的关键3如图1，ABC为等边三角形，点M是射线AE上任意一点（M不与A重合），
40、连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转60得到线段CN，连接BN，直线BN交射线AE于点D（1）直接写出直线BD与射线AE相交所成锐角的度数；（2）如图2，当射线AE与AC的夹角EAC为钝角时，其他条件不变，（1）中结论是否发生变化？如果不变，加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图3，在等腰RtABC中，ACB=90，射线AE交BC于点H，EAC=15，点M是射线AE上任意一点（M不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN，连接BN，直线BN交射线AE于点DG，F分别是AH，AB的中点求证：CD=GF【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，证明BCNACM
41、，得ABN=CAM，根据三角形的内角和定理，即可得BDA=BCA=60；（2）根据全等三角形的判定方法，证明BCNACM，得ANB=CMA，根据三角形的内角和定理，即可得BDM=NCM=60；（3）先根据全等的判定方法，证明BCNACM，得CBN=CAM，利用三角形的内角和定理，得到ADB=90，根据直角三角形的性质，求出DGC=30，AG=CG，进而求得DGC=BAD根据中位线定理，求出AFG=ABC=45，即可求出FGD=75再根据三角形内角和定理，求出DGF=75，故DG=DF=AF即可证得AFGGDC，即可证得CD=GF【解答】（1）解：直线BD与射线AE相交所成锐角的度数为60（2）解：（1）中的结论不变理由：ABC是等边三角形，CA=CB，ACB=60，线段CM绕点C按顺时针方向旋转60得到线段CN，CM=CN，MCN=60，ACBBCM=MCNBCM，即ACM=BCN，BCNACMANB=CMA，CMA+MDB=BNC+NCM，MDB=NCM=60（3）
