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1、精选优质文档-倾情为你奉上1设计目的、要求 对龙格函数在区间-1,1上取的等距节点，分别作多项式插值、三次样条插值和三次曲线拟合，画出及各逼近函数的图形，比较各结果。2设计原理（1） 多项式插值：利用拉格朗日多项式插值的方法，其主要原理是拉格朗日多项式，即：表示待插值函数的个节点，其中；（2） 三次样条插值：三次样条插值有三种方法，在本例中，我们选择第一边界条件下的样条插值，即两端一阶导数已知的插值方法： （3）三次曲线拟合：本题中采用最小二乘法的三次多项式拟合。最小二乘拟合是利用已知的数据得出一条直线或者曲线，使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。在本题中，n= 10，故有11个点
2、，以这11个点的和值为已知数据，进行三次多项式拟合，设该多项式为，该拟合曲线只需的值最小即可。3采用软件、设备 计算机、matlab软件4设计内容1、 多项式插值：在区间上取的等距节点，带入拉格朗日插值多项式中，求出各个节点的插值，并利用matlab软件建立m函数，画出其图形。在matlab中建立一个lagrange.m文件，里面代码如下：%lagrange 函数function y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(
3、z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;end建立一个polynomial.m文件，用于多项式插值的实现，代码如下：%lagrange插值x=-1:0.2:1;y=1./(1+25*x.2);x0=-1:0.02:1;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+25*x0.2);plot(x0,y0,-r)%插值曲线hold on%原曲线plot(x0,y1,-b)运行duoxiangshi.m文件，得到如下图形：2、 三次样条插值：所谓三次样条插值多项式是一种分段函数，它在节点分成的每个小区间上是3次多项式，其
4、在此区间上的表达式如下：因此，只要确定了的值，就确定了整个表达式，的计算方法如下：令：则满足如下个方程：对于第一种边界条件下有如果令那么解就可以为 求函数的二阶导数： syms x f=sym(1/(1+25*x2) f =1/(1+25*x2) diff(f) ans = -(50*x)/(25*x2 + 1)2将函数的两个端点，代入上面的式子中：f(-1)= 0.0740f(1)=-0.0740 求出从-1到1的n=10的等距节点，对应的x，y值 对应m文件代码如下：for x=-1:0.2:1 y=1/(1+25*x2)endy =得出x=-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
5、 0.2 0.4 0.6 0.8 1y=0.0385 0.0588 0.1 0.2 0.5 1 0.5 0.2 0.1 0.0588 0.0385 编写m文件Three_Spline.mx=linspace(-1,1,11);y=1./(1+25*x.2);m,p=scyt1(x,y,0.0740,-0.0740);hold onx0=-1:0.01:1;y0=1./(1+25*x0.2);plot(x0,y0,-b)得到如下图像：.其中蓝色曲线为原图，红色曲线为拟合后的图像。3、 三次曲线拟合：这里我们使用最小二乘法的3次拟合建立一个Three_fitting .m文件，代码如下：%主要代码
6、x=-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1;y=0.0385 0.0588 0.1 0.2 0.5 1 0.5 0.2 0.1 0.0588 0.0385;a=polyfit(x,y,3);x1=-1:0.01:1;y1=a(4)+a(3)*x1+a(2)*x1.2+a(1)*x1.3;x0=-1:0.01:1;y0=1./(1+25*x0.2)%原曲线plot(x0,y0,-r)hold on%三次拟合曲线plot(x1,y1,-b)上图中，蓝色部分为三次拟合曲线，红色部分为原曲线6结果分析拉格朗日插值的优点是对于某一区域，不限于被估计点周围，公
7、式简单易实施。一般认为n的次数越高，逼近的精度就越好，但在本题中，对龙格函数，中间部分插值效果比较好，而对于两端，插值结果是非常不理想的，即龙格现象。样条函数可以给出光滑的插值曲线，从本题中就能体现出来。从以上图形可以看出，三次样条插值的图形是比较逼近于原图的，收敛性相对而言是非常好的，但在本题中，仅将原区间分成10个等距区间，因此，逼近效果还不是特别理想，当我们将n增大时，插值后的曲线越逼近于原曲线。总的来说，三次样条插值的稳定性比较好，收敛性比较强。在这三种方法中，三次曲线拟合的效果是最差的，所得的图形与原曲线差距甚远。最小二乘法中，并不要求拟合后的曲线经过所有已知的点，只需要拟合多项式上
8、的点在某种标准上与定点之间的差距最小即可，因此与原曲线的逼近程度是最差的。最小二乘法的多项式拟合只适用于多项式，而本题中的函数并不是一个多项式，因此，不建议使用最小二乘法拟合。参考文献:1 李庆扬 王能超等.数值分析M.清华大学出版社2 吴振远.科学计算实验指导书 基于MATLAB数值分析M. 中国地质大学出版社3 宋叶志. MATLAB数值分析与应用M. 机械工业出版社 , 2009.07附录三次样条插值主要代码：function m,p=scyt1(x,y,df0,dfn)n=length(x);r=ones(n-1,1);u=ones(n-1,1);d=ones(n,1);r(1)=1;
9、d(1)=6*(y(2)-y(1)/(x(2)-x(1)-df0)/(x(2)-x(1);u(n-1)=1;d(n)=6*(dfn-(y(n)-y(n-1)/(x(n)-x(n-1)/(x(n)-x(n-1);for k=2:n-1 u(k-1)=(x(k)-x(k-1)/(x(k+1)-x(k-1); r(k)=(x(k+1)-x(k)/(x(k+1)-x(k-1); d(k)=6*(y(k+1)-y(k)/(x(k+1)-x(k)-(y(k)-y(k-1)/(x(k)-x(k-1)/(x(k+1)-x(k-1);endA=eye(n,n)*2;for k=1:n-1 A(k,k+1)=r(
10、k); A(k+1,k)=u(k);endm=Ad;ft=d(1);syms tfor k=1:n-1 %求s(x)即插值多项式 p(k,1)=m(k)/(6*(x(k+1)-x(k); p(k,2)=m(k+1)/(6*(x(k+1)-x(k); p(k,3)=(y(k)-m(k)*(x(k+1)-x(k)2/6)/(x(k+1)-x(k); p(k,4)=(y(k+1)-m(k+1)*(x(k+1)-x(k)2/6)/(x(k+1)-x(k); sx(k)=p(k,1)*(x(k+1)-t)3+p(k,2)*(t-x(k)3+p(k,3)*(x(k+1)-t)+p(k,4)*(t-x(k);endkmax=1000;xt=linspace(x(1),x(n),kmax);for i=1:n-1 %出点xt对应的y值 for k=1:kmax if x(i)=xt(k)&xt(k)=x(i+1) fx(k)=subs(sx(i),xt(k); endendendplot(xt,fx,r); xlabel(x); ylabel(y); title(f);text(x(fix(n/2),y(fix(n/2),f)hold onplot(x,y,*)hold off 专心-专注-专业
