人教中考数学圆的综合综合题汇编及答案.doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形（1）如图1，四边形ABCD内接于O，DCBADC=A，求证：四边形ABCD为圆内接倍角四边形；（2）在（1）的条件下，O半径为5若AD为直径，且sinA=，求BC的长；若四边形ABCD中有一个角为60，且BC=CD，则四边形ABCD的面积是；（3）在（1）的条件下，记AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求证：d2b2=ab+cd【答案】（1）见解析；（2）BC6，或；（3）见解析【解析】【分析】（1）先判断出ADC=1802A进而判断出ABC=2A，即可得

2、出结论；（2）先用锐角三角函数求出BD，进而得出AB，由（1）得出ADB=BDC，即可得出结论；分两种情况：利用面积和差即可得出结论；（3）先得出BE=BC=b，DE=DA=b，进而得出CE=dc，再判断出EBCEDA，即可得出结论【详解】（1）设A=，则DCB=180DCBADC=A，ADC=DCBA=180=1802，ABC=180ADC=2=2A，四边形ABCD是O内接倍角四边形；（2）连接BDAD是O的直径，ABD=90在RtABD中，AD=25=10，sinA=，BD=8，根据勾股定理得：AB=6，设A=，ADB=90由（1）知，ADC=1802，BDC=90，ADB=BDC，BC=

3、AB=6；若ADC=60时四边形ABCD是圆内接倍角四边形，BCD=120或BAD=30、当BCD=120时，如图3，连接OA，OB，OC，ODBC=CD，BOC=COD，OCD=OCB=BCD=60，CDO=60，AD是O的直径，（为了说明AD是直径，点O没有画在AD上）ADC+BCD=180，BCAD，AB=CDBC=CD，AB=BC=CD，OAB，BOC，COD是全等的等边三角形，S四边形ABCD=3SAOB=352=、当BAD=30时，如图4，连接OA，OB，OC，OD四边形ABCD是圆内接四边形，BCD=180BAD=150BC=CD，BOC=COD，BCO=DCO=BCD=75，B

4、OC=DOC=30，OBA=45，AOB=90连接AC，DAC=BAD=15ADO=OABBAD=15，DAC=ADO，ODAC，SOAD=SOCD过点C作CHOB于H在RtOCH中，CH=OC=，S四边形ABCD=SCOD+SBOC+SAOBSAOD=SBOC+SAOB=5+55=故答案为：或；（3）延长DC，AB交于点E四边形ABCD是O的内接四边形，BCE=A=ABCABC=BCE+A，E=BCE=A，BE=BC=b，DE=DA=b，CE=dcBCE=A，E=E，EBCEDA，d2b2=ab+cd【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性质，等

5、边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键2如图，AB为的直径，弦，E是AB延长线上一点，是的切线吗？请说明理由；求证：【答案】（1）结论：DE是的切线，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接，只要证明即可；（2）只要证明：，即可解决问题.【详解】解：结论：DE是的切线理由：连接OD，是直径，是的切线，【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.3如图，PA、PB是O的切线，A，B为切点，APB=60，连接PO并延长与O交于C点，连接AC、BC（）求ACB的大小；

6、（）若O半径为1，求四边形ACBP的面积【答案】（）60；（）【解析】分析：（）连接AO，根据切线的性质和切线长定理，得到OAAP，OP平分APB，然后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，30角的直角三角形的性质，得到ACB的度数；（）根据30角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角形的面积即可详解：（）连接OA，如图，PA、PB是O的切线，OAAP，OP平分APB，APO=APB=30，AOP=60，OA=OC，OAC=OCA，ACO=AOP=30，同理可得BCP=30，ACB=60；（）在RtOPA中，APO=30，AP=OA=，OP=2OA=2，OP=2OC，

7、而SOPA=1，SAOC=SPAO=，SACP=，四边形ACBP的面积=2SACP=点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键4如图，ABCD的边AD是ABC外接圆O的切线，切点为A，连接AO并延长交BC于点E，交O于点F，过点C作直线CP交AO的延长线于点P，且BCPACD（1）求证：PC是O的切线；（2）若B67.5，BC2，求线段PC，PF与弧CF所围成的阴影部分的面积S【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）过C点作直径CM，连接MB，根据CM为直径，可得M+BCM90，再根据ABDC可得ACDBAC，由圆周角定理可得BACM，

8、BCPACD，从而可推导得出PCM90，根据切线的判定即可得；（2）连接OB，由AD是O的切线，可得PAD90，再由BCAD，可得APBC，从而得BECEBC1，继而可得到ABCACB67.5，从而得到BAC45，由圆周角定理可得BOC=90，从而可得BOECOEOCE 45，根据已知条件可推导得出OECE1，PCOC，根据三角形面积以及扇形面积即可求得阴影部分的面积.【详解】（1）过C点作直径CM，连接MB，CM为直径，MBC90，即M+BCM90，四边形ABCD是平行四边形，ABDC，ADBC，ACDBAC，BACM，BCPACD，MBCP，BCP+BCM90，即PCM90，CMPC，PC

9、与O相切；（2）连接OB，AD是O的切线，切点为A，OAAD，即PAD90，BCAD，AEB=PAD90， APBCBECEBC1， ABAC，ABCACB67.5，BAC180ABCACB45，BOC2BAC90，OBOC，APBC，BOECOEOCE 45，PCM90，CPOCOEOCE 45，OECE1，PCOC， SSPOCS扇形OFC【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形面积等，综合性较强，准确添加辅助线是解题的关键.5已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC点E为CD边上一点，AE与BE分别为DAB和CBA的平分线（1）请你添加一个适当的条件 ，使得四边形A

10、BCD是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sinAGF=，求O的半径【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O的半径为2.5【解析】分析：（1）添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂

11、直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到AGF=AEB，根据sinAGF的值，确定出sinAEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径详解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：证明：ADBC，AD=BC，四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）ADBC，DAB+CBA=180，AE与BE分别为DAB与CBA的平分线，EAB+EBA=90，AEB=90，AB为圆O的直径，点F在圆O上，AFB=90，FAG+FGA=90，AE平分DAB，FAG=EAB，AGF=ABE，

12、sinABE=sinAGF=，AE=4，AB=5，则圆O的半径为2.5点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键6如图，抛物线yax2+bx+c经过点A（2，0）、B（4，0）、C（0，3）三点（1）试求抛物线的解析式；（2）点P是y轴上的一个动点，连接PA，试求5PA+4PC的最小值；（3）如图，若直线l经过点T（4，0），Q为直线l上的动点，当以A、B、Q为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l的解析式【答案】（1）；（2）5PA+4PC的最小值为18；（3）直线l的解析式为或

13、.【解析】【分析】（1）设出交点式，代入C点计算即可 （2）连接AC、BC，过点A作AEBC于点E，过点P作PDBC于点D，易证CDPCOB，得到比例式，得到PD=PC，所以5PA+4PC5（PA+PC）5（PA+PD），当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC5（PA+PD）5AE最小，利用等面积法求出AE=，即最小值为18 （3）取AB中点F，以F为圆心、FA的长为半径画圆, 当BAQ90或ABQ90时，即AQ或BQ垂直x轴，所以只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使BAQ90或ABQ90，即AQB90时，只有一个满足条件的点Q，直线l与F相切于点Q时，满足AQB90的点Q只有

14、一个；此时，连接FQ，过点Q作QGx轴于点G，利用cosQFT求出QG，分出情况Q在x轴上方和x轴下方时，分别代入直接l得到解析式即可【详解】解：（1）抛物线与x轴交点为A（2，0）、B（4，0）ya（x+2）（x4）把点C（0，3）代入得：8a3a抛物线解析式为y（x+2）（x4）x2+x+3（2）连接AC、BC，过点A作AEBC于点E，过点P作PDBC于点DCDPCOB90DCPOCBCDPCOBB（4，0），C（0，3）OB4，OC3，BC=5PDPC5PA+4PC5（PA+PC）5（PA+PD）当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC5（PA+PD）5AE最小A（2，0），OCAB

15、，AEBCSABCABOCBCAEAE5AE185PA+4PC的最小值为18（3）取AB中点F，以F为圆心、FA的长为半径画圆当BAQ90或ABQ90时，即AQ或BQ垂直x轴，只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使BAQ90或ABQ90AQB90时，只有一个满足条件的点Q当Q在F上运动时（不与A、B重合），AQB90直线l与F相切于点Q时，满足AQB90的点Q只有一个此时，连接FQ，过点Q作QGx轴于点GFQT90F为A（2，0）、B（4，0）的中点F（1，0），FQFA3T（4，0）TF5，cosQFTRtFGQ中，cosQFTFGFQxQ1，QG若点Q在x轴上方，则Q（）设直线l解

16、析式为：ykx+b 解得：直线l：若点Q在x轴下方，则Q（）直线l：综上所述，直线l的解析式为或【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论7如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，CD是O的切线，ADCD于点D，E是AB延长线上一点，CE交O于点F，连接OC、AC（1）求证：AC平分DAO（2）若DAO=105，E=30求OCE的度数；若O的半径为2，求线段EF的长【答案】（1）证明见解析；（2）OCE=45；EF =-2.【解析】【试题分析】（1）根据直线与O相切的

17、性质，得OCCD. 又因为ADCD，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线也平行，得：AD/OC. DAC=OCA.又因为OC=OA，根据等边对等角，得OAC=OCA.等量代换得：DAC=OAC.根据角平分线的定义得：AC平分DAO.（2）因为 AD/OC，DAO=105，根据两直线平行，同位角相等得，EOC=DAO=105，在 中，E=30，利用内角和定理，得：OCE=45. 作OGCE于点G，根据垂径定理可得FG=CG， 因为OC=，OCE=45.等腰直角三角形的斜边是腰长的 倍，得CG=OG=2. FG=2.在RtOGE中，E=30，得GE=， 则EF=GE-FG=-2.【试题解析】

18、（1）直线与O相切，OCCD. 又ADCD，AD/OC. DAC=OCA.又OC=OA，OAC=OCA.DAC=OAC.AC平分DAO.（2）解：AD/OC，DAO=105，EOC=DAO=105E=30，OCE=45. 作OGCE于点G，可得FG=CG OC=，OCE=45.CG=OG=2.FG=2. 在RtOGE中，E=30，GE=.EF=GE-FG=-2.【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目，涉及到圆的切线的性质，平行线的性质及判定，三角形内角和，垂径定理，难度为中等.8如图，是的直径，弦于点，过点的切线交的延长线于点，连接.（1）求证：是的切线；（2）连接，若，求的长.【答案】（1）见

19、解析；（2）【解析】【分析】(1) 连接OD,由垂径定理证OF为CD的垂直平分线，得CF=DF，CDF=DCF，由CDO=OCD，再证CDO +CDB=OCD+DCF=90，可得ODDF，结论成立.(2) 由OCF=90, BCF=30，得OCB=60，再证OCB为等边三角形，得COB=60，可得CFO=30，所以FO=2OC=2OB，FB=OB= OC =2，在直角三角形OCE中，解直角三角形可得CE,再推出CD=2CE.【详解】（1）证明：连接ODCF是O的切线OCF=90OCD+DCF=90直径AB弦CD CE=ED，即OF为CD的垂直平分线 CF=DFCDF=DCF OC=OD，CDO

20、=OCDCDO +CDB=OCD+DCF=90ODDFDF是O的切线（2）解：连接ODOCF=90, BCF=30OCB=60OC=OBOCB为等边三角形，COB=60CFO=30FO=2OC=2OBFB=OB= OC =2 在直角三角形OCE中，CEO=90COE=60CF CD=2 CF【点睛】本题考核知识点：垂径定理，切线，解直角三角形. 解题关键点：熟记切线的判定定理，灵活运用含有30角的直角三角形性质，巧解直角三角形.9如图，AB是O的直径，AD是O的弦，点F是DA延长线上的一点，过O上一点C作O的切线交DF于点E，CEDF(1)求证：AC平分FAB；(2)若AE1，CE2，求O的半

21、径【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质和圆周角定理，得出OCA=OAC与CAE=OCA，然后根据角平分线的定义可证明；（2）由圆周角定理得到BCA=90，由垂直的定义，可求出CEA=90，从而根据两角对应相等的两三角形相似可证明ACBAEC，再根据相似三角形的对应边成比例求得AB的长，从而得到圆的半径.试题解析：(1)证明：连接OC.CE是O的切线，OCE =90 CEDF，CEA=90，ACE+CAE=ACE+OCA=90，CAE=OCA OCOA，OCA=OAC. CAE=OAC，即AC平分FAB (2)连接BC.AB是O的直径，ACB =AEC

22、 =90. 又CAE=OAC，ACBAEC,. AE1，CE2，AEC =90， ，O的半径为10结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答题目：如图，RtABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，求ABC的面积解：设ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2整理，得x2+7x=12所以SABC=ACBC=（x+3）（x+4）=（x2+7x+12）=（12+12）=12小颖发现12恰好就是34，即ABC的面积等于AD与BD的积这仅仅是巧合吗？请你帮

23、她完成下面的探索已知：ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n可以一般化吗？（1）若C=90，求证：ABC的面积等于mn倒过来思考呢？（2）若ACBC=2mn，求证C=90改变一下条件（3）若C=60，用m、n表示ABC的面积【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）SABC=mn；【解析】【分析】（1）设ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，仿照例题利用勾股定理得（xm）2（xn）2（mn）2，再根据SABCACBC，即可证明SABCmn.（2）由ACBC2mn，得x2（mn）xmn，因此AC2BC2（xm）2（xn）2AB2，利用勾股定理逆定理可得C

24、90.（3）过点A作AGBC于点G，在RtACG中，根据条件求出AG、CG，又根据BGBCCG得到BG .在RtABG中，根据勾股定理可得x2（mn）x3mn，由此SABCBCAGmn.【详解】设ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，根据切线长定理，得：AEADm、BFBDn、CFCEx，（1）如图1，在RtABC中，根据勾股定理，得：（xm）2（xn）2（mn）2，整理，得：x2（mn）xmn，所以SABCACBC（xm）（xn） x2（mn）xmn（mnmn）mn;（2）由ACBC2mn，得：（xm）（xn）2mn，整理，得：x2（mn）xmn，AC2BC2（xm）2（xn）22x2（mn）xm2n22mnm2n2（mn）2AB2，根据勾股定理逆定理可得C90；（3）如图2，过点A作AGBC于点G，在RtACG中，AGACsin60（xm），CGACcos60（xm），BGBCCG（xn）（xm），在RtABG中，根据勾股定理可得：（xm）2（xn）（xm）2（mn）2，整理，得：x2（mn）x3mn，SABCBCAG（xn）（xm） x2（mn）xmn（3mnmn）mn【点睛】本题考查了圆中的计算问题、与圆有关的位置关系以及直角三角形，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.专心-专注-专业