像片的外方位元素解算.doc

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1、学校代码：11517学 号：200808111209 HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING 毕业论文题 目 像片的外方位元素解算 学生姓名 张 晶 晶 专业班级 测绘工程0842 学 号 200808111209 系 （部） 土 木 工 程 指导教师（职称）谢瑞（讲师） 完成时间 2012 年 5月 18日 河南工程学院论文版权使用授权书本人完全了解河南工程学院关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交论文的印刷本和电子版本；学校有权保存论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供本论文

2、全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。论文作者签名： 年 月 日 河南工程学院毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文，是本人在指导教师指导下，进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 年 月 日河南工程学院毕业设计（论文）任务书题目

3、 像片的外方位元素解算 专业 测绘工程 学号 200808111209 姓名 张晶晶 目的及意义、研究方法、研究成果、参考文献等：一、 目的及意义：（1）确定航空摄影瞬间的摄影中心与像片在地面设定的空间坐标中位置和姿态，描述这些位置和姿态的参数即外方位元素 （2）依据最小二乘原理，针对三种外方位元素解算方法，从理论上分析外方位元素的解算方法及过程，同时对其进行精度评定及估算分析二、 基本要求（1）利用像片的空间后方交会与前方交会来解求地面目标的空间坐标及外方位元素（2）利用立体像对的内在几何关系，进行相对定向，然后通过绝对定向解求外方位元素（3）利用光束法双像解析摄影测量解求外方位元素三、 研

4、究成果1 论述三种外方位元素解算方法及过程2 分析比较各个方法的优缺点及适用范围3 对各个方法的计算结果进行精度评定及精度分析 四、 参考文献1王之卓编著.摄影测量原理M.北京：武汉大学出版社，1976.2黄世德编著.航天摄影测量学M.北京：测绘出版社，1987.3姚国际等编著.基于宽基线立体影像Harrislaplace特征的最小二乘匹配算法J.中文科技期刊数据库，2011（6）.4张剑清，潘励，王树根编著.摄影测量学M.武汉：武汉大学出版社，2003.5李德仁，王树根，周月琴编著.摄影测量与遥感概论M.北京：测绘出版社，2001.6俞浩清编著.摄影与空中摄影学M.北京：测绘出版社，1985

5、.7李德仁等编著.解析摄影测量学M.北京：测绘出版社，1992.8李德仁等编著.摄影测量信息处理系统的理论和实践M.北京：测绘出版社；2007.9靳国旺等编著.基于区域网平差的INSAR基线估计方法J.中文科技期刊数据库，2011（5）.11张祖勋，张剑清编著.数字摄影测量学M.武汉：武汉大学出版社，2002.10官云兰，程效军，周世健等编著.基于单位四元数的空间后方交会J.测绘学报.2008（2）.12王勇,姜挺，江刚武编著.基于单位四元数描述的单像空间后方交会J.测绘科学技术学报.2007（2）.13杨化超等编著.利用2维DLT和共线方程分解相机外方位元素J.测绘科学技术学报，2006（3

6、）.14T.lindeberg.Scale-space theory:Abasic tool for analysing structures at different scalesJ.Journal of Applied Statistics,1994,（2）.15K.Mikolajczyk,C.schmid.An affine invariant interest point detectorJ.In European Conference on Computer Vision,2002完 成 期 限：2012.2.6-2012.5.13 指导教师签名： 专业负责人签名： 年 月 日目 录

7、摘 要IABSTRACT1 绪论11.1 研究背景11.2 研究目的及意义22 外方位元素解算基础22.1 方位元素的概念22.1.1 内方位元素32.1.2 外方位元素32.2 空间坐标转换式72.2.1 空间坐标转换72.2.2 确定方向余弦82.3 共线方程122.4 共面方程式143 三种外方位元素解算方法153.1 单张像片的空间后方交会153.1.1 单张像片的空间后方交的概念153.1.2 基本关系式153.1.3 误差方程和法方程163.1.4 计算过程及精度评定193.1.5 空间后方交会的步骤203.2 相对定向-绝对定向解算203.2.1 相对定向的概念203.2.2 解

8、算过程213.2.3 误差方程及法方程解算过程233.3 绝对定向243.3.1 概念及定义243.3.2 绝对定向元素的计算243.3.3 解算过程及精度评定253.4 光束法解算263.4.1 定义及概念263.4.2 解算过程264 三种解算方法的比较分析274.1 观测值及控制点的比较274.2 依据原理不同284.3 精度不同284.4 实用范围不同284.5 比较的总结285 总结与展望29致谢30参考文献31像片的外方位元素解算摘 要摄影测量的几何处理任务是根据相片上像点的位置确定相应地面点的空间位置，为此，必须建立物体与相片之间的数学关系，首先必须确定航空摄影瞬间的摄影中心与像

9、片在地面设定的空间坐标中位置和姿态，描述这些位置和姿态的参数就是像片的方位元素。其中描述摄影中心与像片之间相关位置的参数称为内方位元素；描述摄影中心和像片在地面坐标系中的位置和姿态的参数称为外方位元素。如果我们知道每张像片的六个外方位元素，就能恢复航摄相片与被摄地面之间的相互关系，重建地面立体模型，利用立体模型提取目标的几何和物理信息，因此如何获取相片的外方位元素一直是摄影工作探讨的问题。根据共线条件方程共面方程，通过单张像片后方交会、双向解析的相对定向-绝对定向以及双向解析的光束法都可以解算像片的外方位元素；本文主要通过三种外方位元素解算方法及过程，评定精度，以及分析比较各个方法的优缺点及适

10、用范围。关键词 共线方程 相对定向 绝对定向 光束法 外方位元素THE PICTURE OF A FOREIGN ELEMENT THE SOLUTIONABSTRACTIf we know that each of the six foreign pictures a elements，we can resume photos and aerial photography shown the relationship between the ground，rebuilding the ground the three-dimensional model，Using three-dimensi

11、onal model of target extraction of geometry and physics information.So how to get the photos of foreign element has been a photographic work issue.According to the conditions of collinearity equations surface equation，through the leaflet pictures resection，two-way analytically relative orientation-a

12、bsolutely orientation and the analytic method of two-way beam，they can be the solution of a foreign element pictures.This paper mainly through the three foreign a elements and the method for process，precision evaluation，analysis the advantages and disadvantages of each method and applicable scope.KE

13、Y WORDS collinearity equations， relative orientation， absolute orientation， beam method，a foreign element1 绪论1.1 研究背景摄影测量学有着悠久的历史，它是研究利用摄影手段获得被测物体的图像信息，从几何和物理方面进行分析处理，对所摄对象的本质提供各种资料的一门学科。它从模拟摄影测量开始经过解析摄影测量阶段，现已进入数字摄影阶段。随着现代航天技术和电子计算机技术的飞速发展，摄影测量得到了更广泛的应用。数字化测量的发展源于摄影测量的自动化，是摄影测量自动化的必然产物，它是基于摄影测量的基本理

14、论，应用计算机技术从影像提取所摄对象，用数字方式表达的几何与物理信息的摄影测量技术1。进入21世纪后，我国的摄影技术也得到了快速发展、高分辨率卫星影像、线阵与面阵航空数据相机、激光探测和测距（Lidar）、定位与定向系统（Pos）等新一代传感器系统迅速发展与广泛应用，使得摄影测量又迈上了一个新的台阶。随着Pos系统的应用，摄影测量的空中三角测量将被代替，激光扫描、Lidar的出现可以直接获得三维空间，密集的“点云”配合影像可以快速生产正射影像。目前，高分辨率的遥感影像以及其定位参数文件的应用，只要极少量的外业控制点，就能迅速生成正射影像图，它已在城市、土地的变迁、规划中得到愈来愈广泛的应用。航

15、空激光扫描雷达也愈来愈成熟。所有这一切表明，新一代传感器、定位系统的迅速发展以及数字摄影测量工作站的大规模推广，都对摄影测量自身的发展起到极大的促进作用。机载Pos系统与数字航天相机集成系统形成现代航天遥感系统，用于直接地理数据获取，设计IMU偏心角、偏心分量解算数据模型。机载Pos系统直接地理定位利用惯性测量单元IMU与数字航天相机紧密固连，结合差分GPS技术测定航片的外方位元素，直接反算成像过程实现对地定位。正射影像、数字地面高程模型的应用正在研究中。双介质摄影测量研究不同介质中拍摄的影像，来确定被摄目标的几何特性。西安测绘研究所于19891996完成了双介质测图软件。高分辨率影像获取地物

16、的类别属性信息，提高了影像信息的效率和精度。2007年10月“嫦娥一号”探测卫星携带CCD三维阵列立体相机（TLS）、激光高度计（LAM）等8种有效载荷在西昌卫星发射中心成功发射2。另外，另外在影像处理方面，有基于宽基线立体影像Harris-laplace特征的最小二乘匹配算法3、基于区域网平差的Insar基线估计算法、基于四元数的空间后方交会全局收敛算法、基于有理多项式系数模数的物方面元最小二乘匹配。摄影测量在国外得到快速，应用也很广泛。DMC数字航摄仪是德国IMAGINGG公司研制开发的，它基于面阵CCD技术，将最新的传感器技术与最新的摄影测量与遥感影像处理技术相融合，由多个光学机械部分装

17、成的高精度测量型数字航摄仪器；美国于1972年7月发射世界地球观测卫星，推动了卫星遥感的飞跃发展；2001年10月美国数字全球公司成功发射了常用高分辨率的卫星快鸟，空间分辨率首次突破米级单位。正摄影测量与遥感是从影像和其它传感系统中获取地球及其环境的可靠信息，并对其进行记录、量测、分析与表达的科学和技术。1.2 研究目的及意义摄影测量很少受气候、地理条件的影响，所摄影像是客观物体或目标的真实反映，信息丰富，形象直观，适用于地形测绘等多项测绘工作，成图快、效率高，而摄影测量需要解决的最大问题是几何定位和影像解译，几何定位就是确定被摄物体的大小、形状和空间位置。摄影测量的几何处理任务是根据相片上像

18、点的位置确定相应地面点的空间位置，为此，必须建立物体与相片之间的数学关系，首先必须确定航空摄影瞬间的摄影中心与像片在地面设定的空间坐标中位置和姿态，描述这些位置和姿态的参数就是像片的方位元素。其中描述摄影中心与像片之间相关位置的参数称为内方位元素；描述摄影中心和像片在地面坐标系中的位置和姿态的参数称为外方位元素。一幅影像的外方位元素包括6个参数，其中有3个是线元素，也称线元素，反映摄影瞬间摄影中心在选定的坐标系统中坐标值，即摄影中心S相对物方空间坐标系的位置三维坐标值（x，y，z）；另外3个是角元素，可以看作是摄影瞬间摄影机轴从起始的铅垂线方向绕空间坐标轴某种次序连续三次旋转形成的，它用于描述

19、影像面在摄影瞬间的空间姿态，角元素有三种不同的表达形式：（1）以Y轴为主轴的-系统（2）以X轴为主轴的-系统（3）以Z轴为主轴的A-系统。如果我们知道每张像片的六个外方位元素，就能恢复航摄相片与被摄地面之间的相互关系，重建地面立体模型，利用立体模型提取目标的几何和物理信息，因此如何获取相片的外方位元素一直是摄影工作探讨的问题，其方法有利用雷达、全球定位系统、惯性导航系统（INS）以及形象摄影机来获取像片的外方位元素，也可利用一定数量的地面控制点，根据共线方程反求像片的外方位元素4。本文主要针对外方位元素的三种解算过程进行论述：（1）利用像片的空间后方交会解求。（2）利用立体像对的内在几何关系，

20、先进行相对定向，建立与地面相似的立体模型，计算出相对定向元素。再通过绝对定向，将模型进行平移、旋转、缩放，把模型纳入到规定的地面坐标系之中，解求出外方位元素。（3）利用光书法来解求像片的外方位元素，这种方法将待求点与已知的外业控制点同时列出误差方程，统一进行平差解求。本论文主要利用共线方程，依据最小二乘原理，通过解算分析这三种外方位元素解算方法，从理论上分析了外方位元素的解算方法及过程，同时对其进行计算精度评定做估算分析。2 外方位元素解算基础2.1 方位元素的概念确定航空摄影瞬间，摄影中心与像片在地面设定的空间坐标系中的位置与姿态的参数称为像片的方位元素其中表示摄影中心与像片之间相关位置的参

21、数称为内方位元素；表示摄影中心和像片在地面坐标系中的位置和姿态参数称为外方位元素。2.1.1 内方位元素内方位元素表示摄影中心与像片之间相关位置的参数，它包含三个元素，即：摄影中心到像片面的垂距（即航摄机主距）f及像主点O在框标坐标系中的坐标x0 ，y0，如图2-1所示。xypSfox0 y0 图2-1 内方位元素在摄影测量作业中，将像片装入投影镜箱后，若保持摄影时的三个内方位元素，并用灯光照明，即可以得到与摄影时完全相似的投影光束，它是建立测图时所需的立体模型的基础。内方位元素一般视为已知，相机出厂时用严格的物理方法由制造厂商通过摄影机鉴定设备检测得到，检测的数据写在航摄仪的说明书上。制造摄

22、影机时，一般应将像主点置于框标连线交点上，但安装中有误差，通常内方位元素的x0，y0是一个微小值。内方位元素正确与否，将直接影响测图精度，因此须对航摄机作定期的鉴定。像片内方位元素的作用：建立起来的摄影光束与摄影时的光束相似。2.1.2 外方位元素在恢复了内方位元素的基础上，确定摄影光束在像片摄影瞬间的空间位置和姿态的参数称为外方位元素。一张像片的外方位元素包括六个参数，其中三个是直线元素，用于描述摄影中心的空间坐标；另外三个是角元素，用于描述像片的空间姿态。1、 三个直线元素三个直线元素是反映摄影瞬间，摄影中心S在选定的地面空间坐标系（通常选用地面摄影测量坐标系）中的坐标值，用XS，YS，Z

23、S，表示，如图2-2所示。OZYXXsSZsYs图2-2 外方位直线元素2、 外方位角元素外方位角元素可看作是摄影机光轴从起始的铅垂方向绕空间坐标轴按某种次序连续三次旋转形成的。先绕第一轴旋转一个角度，其余两轴的空间方位随同变化；再绕变动后的第二轴旋转一个角度，两次旋转的结果达到恢复摄影机主光轴的空间方位；最后绕经过两次变动的第三轴（即主光轴）旋转一个角度，亦即像片在其自身平面内绕像主点旋转一个角度。像片由理想姿态到实际摄影时的姿态依次旋转的三个角值，就是像片的三个外方位角元素，如图2-3所示。YZXsYsAXZsSO外方位元素：描述像片在摄影瞬间的空间姿态图2-3 外方位角元素所谓第一轴是绕

24、它旋转的第一个角度的轴，也称为主轴，它的空间方位是不变的。第二轴也成为副轴，当绕主轴旋转时，其空间方位也发生变化。根据不同仪器的设计需要，角元素有如下三种表达形式：（1）以v轴为主轴的j-w-k系统以摄影中心S为原点，建立像空间辅助坐标系Suvw，与地面摄影坐标系DXYZ轴系相互平行，如图，其中j表示航向倾角，它是指主光轴so在XZ平面的投影与Z轴的家教；w表示旁向倾角，它是指主光轴与其在XZ平面上的投影之间的夹角的投影与Z轴的夹角的；k表示像片旋角，它是指vSo平面在像片上的交线与像平面坐标系的y轴之间的夹角。j角可理解为绕主轴v旋转形成的一个角度；w是绕副轴（绕v轴旋转旋j角后的X轴）旋转

25、形成的角度；k角是绕第三轴（经过j，w角旋转后的Z轴，即主光轴So）旋转的角度，如图2-4所示。SWVUXYkwjYZXXsYsZsOxONAA航向倾角j旁向倾角w像片旋角k图2-4 外方位角元素j、w、k转角的正负号，国际规定绕轴逆时针旋转为正（从旋转轴的正向的一端面对着坐标原点看），反之为负。我国习惯规定航向倾角j顺时针方向旋转为正，w、k角逆时针方向旋转为正。（2）以u轴为主光轴的w，-j，-k，系统w，表示旁向倾角，它是指主光轴So在平面的投影与Z轴的夹角；j，表示航向倾角，它表示主光轴So与其在XZ平米昂的投影之间的夹角；k，表示像片旋角，它表示像片面上x轴与uSo平面在像片面上的交

26、线之间的夹角，如图2-5所示。w，、-j，、-k，正负定义和j、w、k相似。航向倾角j，旁向倾角w， 像片旋角k，XYZAuvwNXsYsZsOOyw，j，k，xYyS图2-5 外方位角元素w，-j，-k，（3）以w轴为主轴的A-a-kv系统A表示像片主垂面的方向角，亦即摄影方向线与Y轴之间的夹角；a表示像片旋角，它是主光轴So与铅垂线Sn之间的夹角；kv表示像片旋角，它是像片上主纵线与像片y轴之间的夹角。主垂面的方向角A可理解为绕主轴Z顺时针旋转得到的；像片倾角a是绕副轴（旋转A角后的X轴）逆时针方向旋转得到的，而kv角是像片经过A，a角旋转后的主光轴So逆时针方向旋转得到的，如图2-6所示

27、。ZAXYNAuvwSxXyXkvav方位角A像片倾角a像片旋角kv图2-6 外方位角元素A、a、kv以上讲述的三种角元素表达方式中，用模拟摄影测量仪器处理的单张像片时，多采用A-a-kv系统；立体测图中，则多采用j-w-k系统或w，-j，-k，系统。在解析摄影测量中多采用j-w-k系统5。2.2 空间坐标转换式2.2.1 空间坐标转换在解析摄影测量中，为了利用像点坐标计算相应的地面点坐标，首先应建立像点在不同的空间直角坐标系之间的坐标转换关系。由高等数学知道，空间直角坐标变换是正交变换，一个坐标系按照某种顺序依次的旋转三个角度即可变换为另一个同原点的坐标系。设某像点a点在：像空间坐标系中的坐

28、标为（x，y，z）（z=-f），在像空间辅助坐标系S-uvw，其坐标为（u，v，w），如图2-7所示。xuXYZvwwYOS图2-7 坐标旋转有解析几何可知，像点a在这两种坐标系中的坐标关系式为： （2-1）还可写为： （2-2）式中，R为旋转矩阵，ai，bi，ci，（i=1，2，3）是方向余弦，即两坐标轴间夹角的余弦值。其中a1=cos（ux），c3=cos（wz），这一关系式可由下表2-1给出，上述变换属于正交变换，其旋转矩阵R称为正交矩阵。表2-1 方向余弦关系式（cos）xyzua1a2a3vb1b2b3wc1c2c32.2.2 确定方向余弦方向余弦是像空间坐标系与像空间辅助坐标系相应

29、两坐标轴系间夹角的余弦值，但按式（2-1）所定义的上述两种坐标系，相应两坐标轴系间的夹角是未知的，所以无法直接通过轴系间夹角求得余弦。由前面的讨论可以知道，像空间坐标系可以看做是像空间辅助坐标系经过三个角度的旋转得到的，即像空间辅助坐标系经过三个外方位元素的旋转后，恰好与像空间坐标系重合。因此，确定方向余弦的方法不涉及两坐标轴系的夹角，而由三个外方位元素来计算两坐标轴系间夹角的余弦值。由于外方位元素有三种不同的选取方法，所以用角元素计算来的方向余弦也有三种表达式6。1、 以Y轴为主轴的j-w-k系统的坐标转换分析像点在像空间坐标系与像空间辅助坐标系中的关系式时，首先假设像空间坐标系与空间辅助坐

30、标系相应三轴分别重合，称为起始位置。从起始位置出发，像空间辅助坐标系先绕v轴旋转j角，使S-uvw坐标系变成S-XjYjZj坐标系；然后绕X轴旋转w角，使S-XjYjZj变到S-XjwYjwZjw坐标系，达到Zjw与光轴So重合；最后像片再绕Zjw（So轴）旋转k角。经上述三个角度的旋转后，像空间辅助坐标系与像空间坐标系完全重合。下面进行推演。（1）坐标系S-uvw绕v轴旋转j角后得到坐标系S-XjYjZj，因v轴与yj重合，其像点a在v轴上的坐标分量不变，其实质是一个二维的旋转变换，两坐标的关系式为：u=XjcosjZjsinjv=Yjw=XjsinjZjcosj上式写成矩阵的形式为： （2

31、-3）（2）S-XjYjZj绕Xj轴旋转w角到S-XjwYjwZjw，此时像点在两种坐标系中的关如图2-8所示SZjwZjYwYXjaww图2-8 坐标旋转w角其中Xj坐标不变，变换式可写为写成矩阵形式有： （2-4）此时的Z jw轴已与光轴So重合，即与像空间坐标系的Z轴重合。（3）坐标系S-XjwYjwZjw绕Z轴旋转k角后，得到S-XjwkYjwkZjwk即S-xyz此时，Z轴上的坐标分量不变，像点a在两种坐标系中的关系如图2-9所示。ZjwXjwkYjwkYjwXjwkSk如图2-9 旋转k角变换关系式可写为： （2-5）经回带，即（2-5）式代入（2-4）式后再代入（2-3）式。最后

32、得到： （2-6）式中：a1=cosjcos-sinjsinwsinka2=-cosjsink-sinjsinwcoska3=-sinjcoswb1=cossinb2=coswcoskb3=-sinwc1=sinjcosk+cosjsinwsinkc2=-sinjsink-cosjsinwcoskc3=cosjcosw2、 用以u轴为主光轴的w，-j，-k，系统的坐标转换用上述方法，首先将坐标系绕主轴u旋转w，在此基础上，再分别绕次主轴及第三轴旋转j，角及k，角，则S-uvw与S-xyz两坐标轴重合，关系式如下： （2-7）式中：a1=cosjcosa2=-sinjsina3=-sinjb1=

33、cossinsinsinjcosb2=coscos+ sinsinjsinb3=-sincosjc1=sinsin+cossinjcosc2=sincos-cossinjsinc3=cosjcos3、 用以w轴为主轴的A-a-kv系统的坐标变换类似上述方法，但注意A的值以顺时针为正，关系式为： （2-8）式中：a1=cosAcosv+sinAcosasinkva2=-cosAsinv+sinAcosacoskva3=-sinAsinab1=-sinAcosv+cosAcosasinkvb2=sinAsinkv+cosAcosacoskvb3=-cosAsinac1=sinasinkvc2=si

34、nacoskvc3=cosa顺便指出，对于同一张像片在同一坐标系中，当取不同的旋角系统的三个角元素计算方向余弦时，其表达式不同，但是相应的方向余弦值是彼此相等的，即由不同旋角系统的角度计算的旋转矩阵是唯一的，且九个方向余弦中只有三个独立参数8。若已经求出旋转矩阵中的九个元素值，根据式（2-6）、（2-7）、（2-8）就可以求出相应的角元素即： 2.3 共线方程共线方程式是描述它描述了像点a、摄影中心S与地面点A位于一条直线上，所以又称共线方程式。选取地面摄影测量坐标系D-xyz及像空间辅助坐标系S-uvw，并使两种坐标系的坐标轴彼此平行，如图2-10所示。ZDYXsYsddNXA（X，Y，Z）

35、a（x，y，-f）zyxvuwX-XsY-Yswvv图2-10 中心投影构像关系设摄影中心与地面摄影测量坐标系中的坐标分别是XS，YS，ZS（即像片的三个直线元素）和X、Y、Z，地面点在像空间辅助坐标系中的坐标为XXS、YYS、ZZS，像点a在像空间坐标为（x、y、f），在空间辅助坐标系中的坐标为（u、v、w），由于S、a、A三点共线，因此，有相似三角形可得：式中，为比例因子，写成矩阵形式为： （2-9）另外有：代入（2-9）得像点在像空间坐标系与像空间辅助坐标系的关系式为：即 （2-10）将式（2-9）代入（2-10）并用第三式除以第一、第二式得到： （2-11）此式是构像方程式，它描述了像

36、点a、摄影中心S与地面点A位于一条直线上，所以又称共线方程式。其中ai、bi、ci（i=1、2、3）是由三个外方位元素j、w、k所生成的33正交矩阵R的一个元素9。共线方程中包括12个数据：以像主点为远点的像点坐标x、y，相应地面点坐标X、Y、Z，像片主距f及外方位元素XS，YS，ZS、j、w、k。式（2-11）的逆算式为：2.4 共面方程式共面方程式描述像片对内摄影基线以及同名光线位于同一平面的一种条件方程式，如图2-11所示。Sa1和Sa2为一对同名射线，其矢量用、，以及摄影基线B位于同一平面内，亦即三矢量、共面。根据矢量代数，三矢量共面，它们的混合积等于零，即 （2-12）（2-12）式

37、为共面方程，其值为零的条件是完成相对定向的标准。w1u1V1w2v2u2a2（x2，y2）a1（x1，y1）图2-11 同名射线对对相交对于单独相对定向是以基线作为u轴，左核面为uw平面，建立像空间辅助坐标系S1-u1v1w1及S2-u2v2w2，像点a1，a2在各自的像空间辅助坐标系的坐标分别为（u1，v1，w1）及（u2，v2，w2）则共面条件的坐标表达式为：由于单独像位的相对定向元素为j1，k1，j2，w2，k2，所以上式中v1，w1，是j1，k1的函数v2，w2是j2，w2，k2的函数，按与连续相对相同的推演方法，可得到单独像对相对定向的误差方程式为 （2-13） （2-14）式（5-

38、1）包含有五个相对定向元素的改正数，对每对同名像点，根据定向元素的近似值及像点坐标，按（5-1），（5-2）式可列出一个误差方程，当有多余观测时，按最小二乘原理解求，当然，解求过程仍然是逐步趋近的迭代过程，知道满足程度为止3 三种外方位元素解算方法3.1 单张像片的空间后方交会3.1.1 单张像片的空间后方交的概念空间后方交会是利用航摄像片上三个以上不在一条直线上的已知点按构像方程计算该像片外方位元素的方法，即由物方已知若干个控制点以及相应像点的坐标，解求摄站的坐标与影像的方位。它是摄影测量的一个基本问题，通常采用最小二乘法（最小二乘法的定义为在残差满足VPV为最小的条件下解算测量估值或参数估

39、值并进行精度估算的方法。其中V为残差向量，P为其权矩阵是一种数学优化技术。最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或用最小二乘法来表达解算，由于原始的观测值方程（一般为共线方程）是非线性的迭代关系，因此一般空间后方交会必须已知方位元素的初始值，且解算过程是个迭代过程10。空间后方交会的基本思想是以单幅影像为基础，从该摄影所覆盖地面范围内若干控制点的已知地面坐标和相应的像点坐标量测值出发，根据共线条件方程求解该测量值影像在航空

40、摄影时刻的外方位元素XS， YS ，ZS ，k。3.1.2 基本关系式进行空间后方交会运算，常用的一个基本公式是像点、投影点中心和物点三点共线的共线方程，即式（2-11）。但共线方程式的严密关系式是非线性函数，不便于计算机迭代计算，为此，要由严密公式推导出一次项近似公式，进行线性化，将式（2-11）按泰勒级数展开取小值一次项，当采用，系统时为下面的形式 （3-1）式（3-1）中（x），（y）为函数的近似值，dXS，dYS，dZS，d，d，dk为外方位元素的改正数。已知值 x0，y0，f，m（像片摄影比例尺的分母）X，Y，Z观测值 x，y（原始观测值来对待）未知数 XS，YS，ZS，j，w，k各

41、待定值的系数为函数的偏导数，为求其值，将共线条件方程线性化得到 （3-2）其中：是外方位角元素初始值的函值。3.1.3 误差方程和法方程在空间后方交会中，通常是像片的四个角上选取四个或者更多的地面控制点，因此要用最小二乘原理平差计算。计算中，通常将控制点的地面坐标视为真值，而把相应的像点坐标视为观测值，加入相应的改正数，将观测值+观测值改正数=近似值的改正数则得到这样，可列出每个点的误差方程 （3-3）其中：解算系数为： （3-4）其中：对式（3-4）求偏导1得：对式（3-4）求偏导2得： 对式（3-4）求偏导3得：由得到按相仿步骤可求得：a1=coscos-sinsinsina2=-coss

42、insinsincosa3=-sincosb1=cossinb2=coscosb3=-sinc1=sincos+cossinsinc2=-sinsin+cossincosc3=coscos3.1.4 计算过程及精度评定写成矩阵形式：设等权观测，即：P=I根据平差原理，法方程式的解为：外方位元素的计算：协因数：未知数的中误差：3.1.5 空间后方交会的步骤1、 获取已知数据；包括平均航高，内方位元素，从外业测量成果中，获取控制点的地面测量坐标，并转化成地面摄影测量坐标。（x0，y0，f，m（像片摄影比例尺的分母），X，Y，Z）；2、 量测控制点的像点坐标并进行像点坐标系统误差改正（将控制点刺到像片上，利用坐标量测仪量测控制点的像框标坐标，并经过像点坐标改正，得到像点坐标）；3、 确定未知数的初始值 ：在竖直摄影情况下，三个角元素初值：j0，w0，k0三个线元素的初值：，4、 计算旋转矩阵R：利用角元素的近似值计算方向余弦，组成旋转矩阵；5、 逐点计算像点坐标近似值：利用未知数的近似值代入共线方程，计算控制点像点坐标的近似值（x）（y）；6、 组成误差方程式：按公式组成误差方