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1、第三章线性系统的时域分析,Chapter 3 Time-domain analysis of linear system,大连民族学院机电信息工程学院College of Electromechanical Information Engineering,3.4 线性系统的稳定性分析,Stability analysis of linear systems,系统稳定的充要条件,系统稳定的必要条件,3 劳斯稳定判据,4 赫尔维茨判据,线性控制系统稳定性的定义为：,线性控制系统在初始扰动影响下，若其动态过程随时间推移逐渐衰减(decay)并趋于零(或原平衡工作点)，则称系统是渐进稳定，简称稳定；若
2、在初始扰动下，其动态过程随时间推移而发散，则称系统不稳定；若在初始扰动下，其动态过程随时间的推移虽不能回到原平衡点，但可以保持在原工作点附近的某一有限区域内运动，则称系统临界稳定。,线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。稳定性是系统的固有特性，是扰动消失后系统自身的恢复能力。,常用的稳定判据：代数判据（Routh、Hurwitz）Nyquist稳定判据,3.4.1 系统稳定的充要条件（sufficient and necessary condition),如果脉冲响应函数是收敛的，即有表示系统能回到原来的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可见，系统的稳定与其脉
3、冲响应函数收敛是一致的。如果 则系统是不稳定的。如果则系统是临界稳定的。,由于单位理想脉冲函数的拉氏变换等于1，所以系统的复域脉冲响应函数C(s)就是系统的闭环传递函数。令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，则其传递函数可写为,式中，,上式用部分分式展开，得系统的时域脉冲响应为,若系统的特征根全部为负实部根，则成立，系统稳定；若系统有一个或一个以上的正实根或实部为正的共轭复根，式 成立，系统不稳定；若系统有一个或一个以上的零实部根，其余的特征根具有负实部，成立，系统临界稳定。工程上，将临界稳定也视为不稳定。,线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部。或者
4、说，闭环传递函数的极点均严格位于s左半平面。,注意：对于稳定的线性系统，当输入信号有界时，系统输出必为有界函数。对于不稳定的线性系统而言，在有界输入信号作用下，系统的输出信号将随时间的推移而发散。,3.4.2 系统稳定的必要条件,定理：若系统的特征方程为 则系统稳定的必要条件是（依系数判稳）：特征方程式无零系数，且各项系数均为正值。,证明：设P1、P2、为实数根。、为复数根。其中，P1、P2、和、都为正值(符合充要条件），则式(3-57)改写为 即,因为上式等号左方所有因式的系数都为正值，所以它们相乘后s各次项必然仍为正值且不会有系数为零项。反之，若方程式中有一个根为正实根，或一对实部为正的复
5、数根，则由式(3-58)可知，对于方程式s各次项的系数不会全为正值，即一定会有负系数项或缺项出现。然而，这一条件是不充分的，因为各项系数为正数的系统特征方程，完全有可能拥有正实部的根。,不难证明，对于一阶和二阶线性定常系统，其特征方程式的各项系数全为正值是系统稳定的充分和必要条件。但是对三阶以上的系统，特征方程式的各项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件，而非充分条件。,3.4.3 劳斯稳定判据(Rouths stability criterion),由于控制系统稳定的充要条件是其特征根均需具有负实部，因而对系统稳定性的判别就变成求解特征方程式的根，并检验所求的根是否都具有负实部的问题。由于求解
6、高阶系统根的工作量很大，所以我们希望有一种不用求解特征方程的根，而是根椐特征方程式的根与其系数间的关系去判别特征根实部的符号（间接的方法）。,设系统的特征方程式为将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表,由劳斯表的结构可知，劳斯表有 行，第一、二行各元素是特征方程的系数，以后各元素按劳斯表的规律求取。列表规律：,3 分母总是上一行第一个元素,4 一行可同乘以或同除以某正数,2 次对角线减主对角线,1 右移一位降两阶,劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式的根在s平面上的具体分布，其结论是：(1)如果劳斯表中第一列系数严格为正，则其特征方程式的根都在s的左半平面，相
7、应的系统是稳定的。(2)如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则系统不稳定，且符号变化的次数等于该特征方程式的根在右半s平面上的个数。,例3-2 已知三阶系统特征方程为判断系统稳定的充要条件。解：列劳斯表为 根据劳斯判据，系统稳定要求劳斯表第一列系数均为正值，所以系统稳定的充要条件是各系数大于零，且bcad。,例3-3 设系统特征方程为使用劳斯判据判断系统的稳定性，如果不稳定求出该特征方程的正实部根的数目。解：列劳斯表如下因劳斯列表第一列元素符号变化两次，所以该系统不稳定，有两个正实部根。,两种特殊情况：,劳斯表中某行第一项元素等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现会使计算下
8、一行第一元素时出现无穷现象。解决的办法是：以一个很小的正数 代替为零的该项，继续劳斯表的列写。,若劳斯表第一列的系数符号有变化，其变化的次数就等于该方程在s右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列 上面的系数与其下面的系数符号相同，则表示该方程有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。,例3-4 设系统的特征方程为试用劳斯判据确定该方程的根在平面上的具体分布。解：基于方程中s2项的系数为零，s一次项的系数为负值。由稳定的必要条件可知，该方程至少有一个根位于s的右半平面，相应的系统为不稳定。为了确定该方程的根在s平面上的具体分布需应用劳斯判据。根据方程排出下列的劳斯表,由上表可见，其第
9、一列 项上面与下面的符号变化了两次。根据劳斯判据，可知该方程有两个根在s的右半平面。若用因式分解的方法，把原方程改写为由上式解得s1,2=1，s3=2，从而验证了上式用劳斯判据所得的结论的正确性。,(2)如果劳斯表中出现全零行，则表示相应的方程中含有一些大小相等、符号相反的实根(real root)和(或)共轭虚根。解决的办法是：可利用系数全零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并将这个辅助多项式求导，用导数的系数来代替表中系数为全零的行。如此，继续计算其余的项，完成劳斯表的排列。辅助多项式的次数通常为偶数，它表明大小相等、符号相反的根数，而且这些根可利用辅助多项式求出。,例3-5 系统的特征方
10、程为 试判稳。解：劳斯表如下：,用系数为4和6代替s3这行中相应的0元素，并继续往下计算其他行的元素，完成劳斯表的排列。由劳斯列表第一列元素符号变化一次，可知有一个正实部根，系统不稳定。由P(s)=0得 求得两对大小相等、符号相反的根为，显然，这个系统是处于不稳定状态。,补1 系统特征方程 s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0,劳 斯 表,(64)/2=1,1,(10-6)/2=2,2,7,1,0,(6-14)/1=-8,-8,劳斯表特点,系统不稳定,劳斯判据的补充习题,劳斯表出现零元素,劳斯表出现零行,补2 设系统特征方程为：,s4+5s3+7s2+5s+6=0,劳 斯 表,5
11、,1,7,5,6,6,6,0,1 劳斯表何时会出现零行?,2 出现零行怎么办?,3 如何求对称的根?,s2+1=0,对其求导得零行系数:2s1,继续计算劳斯表,1,第一列全大于零,所以系统稳定,错啦!,由综合除法可得另两个根为s3,4=-2,-3,劳斯判据还可以用来判别代数方程式中位于平面上给定垂线 的右侧根的数目。只要令 并代入原方程中，得到以 为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂直线 的右侧。用此法可以估计一个稳定系统的各个根中最靠近右侧的根距虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。,相对稳定性和稳定裕度（劳斯判据的应用）,例3-6 用劳斯判据检验下列特征方程 是
12、否有根在s的右半平面上，并检验有几个根在垂直线s=1的右方。解：列劳斯表 由于劳斯表的第一列系数全为正值，因而该特征方程式的根全部位于s的左半平面，相应的系统是稳定的。,令s=z1代入特征方程，经化简后得 因为上式中的系数有负号，所以方程必然有根位于直线s=1的右方。列出以z为变量的劳斯表 由上表可见，第一列的符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直线s=1的右方。,劳斯判据的应用,单位反馈系统开环传递函数如下，确定使系统稳定的k的范围,3.4.4 赫尔维兹判据,该判据也是根据特征方程的系数来判别系统的稳定性。设系统的特征方程为 以特征方程式的各项系数组成如下行列式,赫尔维兹判据：系统稳定的充
13、分必要条件是 在 的情况下，上述行列式的各阶主子式 均大于零，即,例3-7 系统的特征方程为，判断系统的稳定性。解：系统行列式 由赫尔维兹判据，该系统不稳定。,例3-8 系统的特征方程为，判断系统的稳定性。解：系统行列式 由赫尔维兹判据可知系统稳定的充要条件为 由上式可知二阶系统稳定的充要条件是特征方程的所有系数均大于零。,MajpjMVcyzj21HLfrvy96dv02lPPfYgxUS7IYmZkyEmZ0kGeYZS3bpLCkYH1lt4EK7CxmUX3ijoYSOer7ZuaVWYgz4EpZrUirVpMzzvNtf1XZw5oswSXOtFaejnOcmfE1lZgnN1RS
14、Xg8wLCG8CVQ3XPJMvodPFWcpiYJgZazNSEPNIaklYSu7qSd1UpaxmZDlpN9zW7kljfsLCLi26Yv109ffbnDH8LbUN1G6ACURQ39eG12KHL9tXsZ1jzgoCK8g1kuNOh5eFvcmVT5ZYVQt9zk3rp3qLnf02FovEXxVRxjCcFRNppiJljNiOuk6fONnyX7fyGg7sXZ49BmCN5oy9VesHpKzdjTKwjrkCEQCFDehVmGax3lrOEbw63VscA3YSijtUKoCyiLzAlVRp7l4QgPNHxvJFFDyjUVN3oHlMah0XBd4uTbk
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