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1、,平面问题有限元分析四节点矩形单元,天津大学 建筑工程学院,Tianjin University,本节内容提要,1、分析提高有限元法求解精度的途径2、简要回顾三节点三角形单元有限元分析过程3、全面介绍四节点矩形单元有限元分析过程4、总结,分析提高有限元求解精度的途径,Tianjin University,一、三节点三角形单元的缺点,三节点三角形单元精度低，收敛慢，由于单元内应力和应变均为常量，故在单元内不能很好地反映应力和应变的变化。该单元只有三个节点，单元自由度少，单元位移插值函数（位移模式）只能是线性函数，描述单元内位移变化的能力差。,分析提高有限元求解精度的途径,Tianjin Univ
2、ersity,二、提高有限元求解精度的途径,第一个途径是对某一种特定类型的单元采用网格划分加密，依靠单元的收敛性提高求解精度。第二个途径是对一定的单元网格和单元尺寸，采用高精度单元来提高求解精度。,分析提高有限元求解精度的途径,Tianjin University,三、建立高精度单元的原理和途径,原理：提高单元位移插值函数多项式的阶次，从而提单元拟合局部区域位移、应力变化的能力。途径：增加单元的节点数目。对于平面有限元问题，除三节点三角形单元外，还可以考虑六节点三角形单元和四节点矩形单元。,Tianjin University,三节点三角形单元有限元分析过程,设位移函数,求位移函数中的未知量,
3、代入函数中,整理可得形函数,（性质？）,几何方程求解应变（几何矩阵）,物理方程求解应力,（弹性矩阵 应力矩阵）,运用虚功原理求解,由 合成(方法？),建立节点荷载列阵（方法？,处理位移约束条件（方法？）,组成？),Tianjin University,四节点矩形单元有限元分析过程,一、四节点矩形单元位移函数,单元节点编号为 k，l，m，n（逆时针）,单元节点位移列阵为：,设位移函数为：,或写为：,Tianjin University,四节点矩形单元有限元分析过程,二、求解位移函数中的未知系数,将节点坐标,代入函数中，并写成矩阵形式：,解上述方程组可得：,Tianjin University,四
4、节点矩形单元有限元分析过程,三、将所求 值代入位移函数中,Tianjin University,四节点矩形单元有限元分析过程,四、整理位移函数可得形函数,展开上式可得：,四节点矩形单元有限元分析过程,其中，形函数为：,Tianjin University,四节点矩形单元有限元分析过程,单元位移插值函数可以由单元形状函数与节点位移值的乘积表示：,即可以表示为：,Tianjin University,四节点矩形单元有限元分析过程,由此可见，位移插值函数完全由形函数决定；因此抛开节点位移，只讨论形函数的性质，就可以了解单元的变形性质。例如：四节点矩形单元，若则由 可得：因此可以看出，单元变形完全由形
5、函数决定。,Tianjin University,四节点矩形单元有限元分析过程,另外，可以验证形函数另外两个性质：（1）同理对于其余三个形函数,Tianjin University,四节点矩形单元有限元分析过程,Tianjin University,（2）即在单元内任意一点处的形函数之和等于1。,四节点矩形单元有限元分析过程,Tianjin University,五、几何方程求解应变,将位移插值函数代入几何方程中：,形函数矩阵经过微分算子矩阵作用后得到38几何矩阵：,四节点矩形单元有限元分析过程,Tianjin University,六、物理方程求解应力,由平面问题物理方程可得：其中：,因此，
6、应力矩阵 为：,四节点矩形单元有限元分析过程,Tianjin University,结论：对于平面四节点矩形单元，其单元上的应力、应变不再是常数，而是在一定程度上呈线性变化，即：方向的正应力和正应变随 坐标线性变化；方向的正应力和正应变随 坐标线性变化；剪应力沿 坐标和 坐标均成线性变化。因此，若在弹性体中采用相同数目的节点时，矩形单元的精度要比常应变三角形单元的精度高。,四节点矩形单元有限元分析过程,Tianjin University,七、运用虚功原理求解,由虚功原理，节点力在节点的虚位移上所做的虚功应等于单元内部应力在虚应变上所做的虚功，即内力虚功=外力虚功，也即：,将,和,代入上式，可
7、得：,由此，可得：,四节点矩形单元有限元分析过程,Tianjin University,四节点矩形单元有限元分析过程,Tianjin University,引入无量纲坐标：,四节点矩形单元有限元分析过程,Tianjin University,由几何方程可得单元应变场表达式：,可记为：,四节点矩形单元有限元分析过程,Tianjin University,几何矩阵可表示成分块形式：,其中：,四节点矩形单元有限元分析过程,Tianjin University,由应力与应变关系，可得单元应力场表达式：,应力矩阵可表示成分块形式：,其中：,对于平面应变问题：,四节点矩形单元有限元分析过程,Tianjin
8、 University,其中：,即：,单元刚度矩阵：,四节点矩形单元有限元分析过程,Tianjin University,其中：,四节点矩形单元有限元分析过程,Tianjin University,八、由 合成,刚度集成法：首先求出各单元的贡献矩阵，然后将它们叠加形成整体刚度矩阵。但是由于编程时需先将各单元的贡献矩阵储存起来，而贡献矩阵的阶数与整体刚度矩阵阶数相同，因此占用非常大空间，不利于节约空间资源。单元定位数组法：将单元的节点位移编码按照节点顺序排成一行形成一维数组，利用各单元的定位数组，采用“边定位，边累加”的方法。,四节点矩形单元有限元分析过程,Tianjin University,
9、九、建立节点荷载列阵,节点荷载列阵的组成：,其中，为节点荷载，为等效节点荷载。可按照虚功等效原则求解，即将单元内的荷载移置到节点上后，应当与原荷载所作虚功等效。集中力、分布体力（均质等厚单元自重）、分布面力（均布侧压、X方向均布荷载、X方向三角形荷载）,四节点矩形单元有限元分析过程,Tianjin University,十、处理位移约束条件,（1）降阶法：若第r个自由度方向位移分量为0，则将整体刚度矩阵第r行，第r列划掉，后一行上移，右一列左移，这样总刚减少一阶，未知数减少一个。,例：,四节点矩形单元有限元分析过程,Tianjin University,（2）对角元素置1法：,例：已知位移边界
10、条件（可为零）,四节点矩形单元有限元分析过程,Tianjin University,（3）对角元素乘大数法：,例：已知位移边界条件（可为零）,略去小量有 即,总结,Tianjin University,四节点矩形单元采用双线性位移插值函数，应力和应变沿坐标轴呈线性变化，因而求解精度比三节点三角形单元高。由于位移模式在单元边界上线性变化，内不能很好地反映应力和应变的变化。并且根据单元公共边界上两个共同节点位移插值得到，单元的协调性得到满足，同时也满足完备性，因此单元是收敛的。单元要求两对边平行于坐标轴，因而不能模拟复杂几何边界，单元网格疏密不能过渡，但矩形单元可以与三节点三角形单元结合使用。如果可以突破几何形状上的限制，成为任意的四边形单元，便可成为实用的有限元单元。,谢 谢！,
