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1、第一节 导数的概念及运算,基础梳理,数量化,视觉化,1.函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率(1)函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为,(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“”.2.函数f(x)在x=x0处的导数（1）定义设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作.,(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点.处的.相应地，切线方程为.,3.函数f(x)的导函数若f(x)对
2、于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的 而，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作.,切线的斜率,变化,变化,f(x).,4.基本初等函数的导数公式,f(x)=.,f(x)=.,k,0,1,2x,cos x,sinx,5.导数运算法则(1)f(x)g(x)=;(2)Cf(x)=(C为常数);(3)f(x)g(x)=;,f(x)g(x),Cf(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),典例分析,题型一 利用导数的定义求导数【例1】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值.分析 利用导数的定义,按求导数的步骤求解.解当x无限趋近于0时，趋近于2,y|
3、x=1=2.学后反思 利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对yx进行灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f(x).,举一反三1.已知，利用定义求y,y|x=1.,题型二 利用求导公式求导数【例2】求下列函数的导数.,解析,分析 直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.,学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.,解(1)y=()sin x+(sin x)=2xsin x+x2cos x.(2),举一反三2.求函数 的导数.,题型三 导数的物理意义及在物理上的应用【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2.(1)求质
4、点在1,1+t这段时间内的平均速度；(2)求质点在t=1的瞬时速度.,解析,分析 第（1）问可利用公式 求解；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.,解(1)质点在1,1+t这段时间内的平均速度为(2)方法一（定义法）：质点在t=1时的瞬时速度v=,方法二（求导法）：质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时，v=-6.,学后反思 导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时
5、间的函数，速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题,举一反三3.以初速度 作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为,求物体在时刻 时的瞬时速度.,解析：物体在 时刻的瞬时速度为.,题型四 导数的几何意义及在几何上的应用【例4】(14分)已知曲线(1)求曲线在点P（2，4）处的切线方程；(2)求曲线过点P（2，4）的切线方程.,分析(1)点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率k=f(2).(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.,解（1)y=x2,2在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4,3
6、曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.4,(2)设曲线 与过点P（2，4）的切线相切于点,则切线的斜率k=y|x=x0=x20.6,切线方程为即点P（2，4）在切线上，即x30-3x20+4=0,x30+x20-4x20+4=0,x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,.12故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14,学后反思（1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0,y0),得出切线方程
7、y-y0=f(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线方程.,举一反三4.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.,解析：设曲线上过点 的切线平行于直线2x-y+3=0,即斜率是2，则.解得,即点P(1,0),点P到直线2x-y+3=0的距离为,曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.,题型五 复合函数的导数【例5】求下列函数的导数.,分析 先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的求导法则求导.也可直接用复合函数求导法则运算.,解,学后反思 求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中间变量，弄清是谁对
8、谁求导，其一般步骤是:(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；（2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）.即：分解（复合关系）求导（导数相乘）,举一反三5.求下列函数的导数。,解析：,易错警示,【例】已知曲线 上的点P（0,0）,求过点P(0,0)的切线方程.错解 在点x=0处不可导，因此过P点的切线不存在.错解分析 本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点P处的切线是指曲线在点P附近取点Q，当点Q趋近于点P时，割线PQ的极限位置的直线就是过点P的切线，因此过点P的切线存在，为y轴（如下图所示）.,正解 如右图，按切线的定义，
9、当x0时割线PQ的极限位置为y轴（此时斜率不存在），因此，过点P的切线方程为x=0.,考点演练,10.已知函数 的图象都过点P(2,0),且在点P处有相同的切线.求实数a,b,c的值.,解析：f(x)过点（2,0）,解得a=-8,同理，g(2)=4b+c=0.f(x)=6x2-8,在点P处切线斜率.又g(x)=2bx,2b2=16,b=4,c=-4b=-16.综上，a=-8,b=4,c=-16.,11.设函数f(x)满足，a,b,c为常数，|a|b|，求f(x),解析:将 中的x换成，可得将其代入已知条件中得,12.(2008宁夏)设函数(a,bZ),曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线
10、方程为y=3.(1)求f(x)的解析式；（2）证明函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形面积为定值，并求出此定值.,解析:(1)f(x)=.于是,解得,(2)证明:已知函数 都是奇函数，函数 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形.由 可知f(x)的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位，再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的.故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.,（3）证明：在曲线上任取一点,由 知，过此点的切线方程为.令x=1,得,切线与直线x=1的交点为.
11、令y=x,得,切线与直线y=x的交点为.直线x=1与y=x交点为(1,1).从而所围三角形面积为所以所围三角形的面积为定值2.,第六节 几个三角恒等式,基础梳理,1.两角差的余弦公式为 cos(-)=cos cos+sin sin;两角和的余弦公式为cos(+)=cos cos-sin sin;两角差的正弦公式为sin(-)=sin cos-cos sin;两角和的正弦公式为sin(+)=sin cos+cos sin.上述公式对任意的、都成立.,2.公式T(-)是,公式T(+)是，它们成立的条件是,3.二倍角公式在S(+)中，令=,可得到sin 2=2sin cos,简记为S2.在C(+)中
12、，令=,可得到cos 2=cos2-sin2,简记为C2.在T(+)中，令=,可得到tan 2=2tan 1-tan2，简记为T2.,4.在C2中考虑sin2+cos2=1可将C2变形为cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2，它简记为C2.,5.半角公式在C2中,用 代替得,将公式变形可得,的推导方法是 与 两式相除，其公式为,6.升降幂公式主要用于化简、求值和证明，其形式为：升幂公式：1+cos 2=2cos2;1-cos 2=2sin2.降幂公式：,7.派生公式(1)(sin cos)2=1sin 2;(2)1+cos=(3)1-cos=(4)tan+tan=tan
13、(+)(1-tan tan);,典例分析,题型一 sin x+cos x,sin x-cos x,sin xcos x三者之间的转换问题【例1】已知-x0,sin x+cos x=求sin x-cos x的值.分析 由（sin x-cos x）2=(sin x+cos x)2-4sin xcos x知,只需求出sin xcos x即可.,解 方法一：由sin x+cos x=平方,得sin2x+2sin xcos x+cos2x=,即2sin xcos x=(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=又-x0,sin x0,cos x0,sin x-cos x0,sin x-co
14、s x=,方法二：联立方程 sin x+cos x=,sin2x+cos2x=1.由得sin x=-cos x,将其代入,整理,得25cos2x-5cos x-12=0,学后反思 sin xcos x,sin xcos x之间的关系为(sin xcos x)2=12sin xcos x,（sin x+cos x）2+(sin x-cos x)2=2，三者知其一，可求其二，但须注意角x的范围对结果的影响.,举一反三1.（2009梅州月考）已知,求sin 及解析:由题设条件，应用两角差的正弦公式,得即sin-cos=.由题设条件，应用二倍角余弦公式,得,故cos+sin=.由和得sin=,cos=
15、-,因此tan=-,由两角和的正切公式,得,题型二 三角函数公式的灵活应用【例2】化简下列各式.,分析（1）先切化弦，然后逆用差角公式和倍角公式;（2）注意1sin,1cos 形式的转化.,解(1),(2),sin 4+cos 40,cos 40,原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4=-2sin 4-4cos 4.,学后反思 对于化简的题目要侧重于三角公式运用中的各种思想，对于一些固定形式套用相应的公式.,举一反三,2.化简（cos+sin）（cos-sin）（1+tantan）.,解析：原式=cos（1+tan tan）=cos+sin tan=cos+2sin cos=cos
16、+=cos+1-cos=1.,题型三 三角恒等变换中角的拆、拼【例3】已知 且分析 抓住条件中的角“”、“”与结论中的角 的关系：,解,学后反思 掌握常用的拆角、拼角关系，如：,举一反三3.已知,且02.(1)求 的值；(2)求.,解析,(2)由0,得0-,cos(-)=由=-(-),得cos=cos-(-)=cos cos(-)+sin sin(-),题型四 三角恒等式证明【例4】(14分)已知tan(+)=2tan.求证：3sin=sin(+2).,分析 观察条件与结论间的差异可知:(1)函数名的差异是正弦与正切，可考虑切化弦法化异为同.(2)角的差异是+,;,+2.通过观察可得已知角与未
17、知角之间关系为：(+)-=;(+)+=+2,由此可化异为同.证明 由已知tan(+)=2tan,可得sin(+)cos=2cos(+)sin 4而sin(+2)=sin(+)+=sin(+)cos+cos(+)sin=2cos(+)sin+cos(+)sin=3cos(+)sin,.8,又sin=sin(+)-=sin(+)cos-cos(+)sin=2cos(+)sin-cos(+)sin=cos(+)sin.12故sin(+2)=3sin 14,学后反思分析条件等式与论证式中角和函数名称的差异，从而进行配角，再利用同角三角函数关系式消除函数名称的差异.对于三角恒等式的证明，实质也是消除等式
18、两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.,举一反三4.已知A、B为锐角，求证：的充要条件是（1+tan A）(1+tan B)=2.,证明：（充分性）(1+tan A)(1+tan B)=2,1+(tan A+tan B)+tan Atan B=2,且tan Atan B1,tan(A+B)（1-tan Atan B）=1-tan Atan B,tan(A+B)=1.0A,0B,0A+B,A+B=(必要性)A+B=,tan(A+B)=tan，即,整理得（1+tan A）(1+tan B)=2.综上，若A、B为锐角，则A+B=的充要条件是(1+tan A)（1+tan B）=2.,易错
19、警示,【例】若sin=,sin=,且、为锐角，求+的值.,错解 因为为锐角,所以cos=.又因为为锐角，所以cos=,且sin(+)=sin cos+cos sin=.由于090,090,则0+180,所以+=45或135,错解分析 上述解法欠严密，仅由sin(+)=,0+180,而得到+=45或135是正确的，但题设中sin=12,sin=.使得0+60,故上述结论是错误的.实质上本题是由于方法不当导致运算量加大或忽视角的范围限制而致错.我们若取+的余弦则易求得cos(+)=,又由于0+,故+=.这样就避免了上述角的范围的探求.因此在求角时一定要结合条件选择角的合适的三角函数名称，往往能化繁为简.,正解 为锐角，cos=,又为锐角，cos=.cos(+)=cos cos-sin sin=.又090,090,0+180,sin=,sin=,0+60,+=.,考点演练,10.(2010南通模拟)已知=1,tan(-)=-,求tan(-2)的值.,解析:由,tan(-2)=tan(-)-=,11.求证.证明：方法一：.,原式成立.,方法二：原式成立.方法三：原式成立.,12.（2010南京模拟）已知sin-2cos=0.（1）求tan x的值；（2）求 的值.,解析：(1)由sin-2cos=0，得tan=2,故tan=.（2）原式,
