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1、两端控制法解决不等式恒成立问题江西省乐安县第一中学 黄绍荣 344300问题类型：已知当时总有、,求相关参数的取值范围。总体思想：连续函数在区间上的图像总是一条直线段或曲线段， 恒成立，直线段或曲线段恒在X轴上方恒成立，直线段或曲线段恒在X轴下方两端控制法：当的图像特征满足一定条件时，我们可以将如上问题转化为两端的函数值均为正或均为负来解决问题，而不必受函数的单调性等不确定性因素的影响，从而使问题简化.1、直线段型：若,那么在上的图像是一条线段AB（含两个端点） 由数形结合可得：恒成立，直线段AB恒在X轴上方同理可得：恒成立，直线段AB恒在X轴下方2、凸曲线段型：以开口向下的二次函数图像为代表
2、. 若，那么在上的图像是一条凸曲线段，即整段曲线在连接两端点的线段上方；由图可得：恒成立，凸曲线段的弦AB恒在X轴上方特别注意：在凸曲线中，不能用两端控制法来解决恒成立问题.3、凹曲线段型：以开口向上的二次函数图像为代表. 若，那么在上的图像是一条凹曲线段，即整段曲线在连接两端点的线段下方；由图可得：恒成立，凹曲线段的弦AB恒在X轴下方特别注意：在凹曲线中，不能用两端控制法来解决恒成立问题.归纳： 凸曲线中，两端控制法只能解决恒成立问题；凹曲线中，两端控制法只解决恒成立的问题；直线型情况下，两端控制法既能解决恒成立问题，又能解决恒成立的问题。4.端点微变：微变式1：将变成，不变.此时图形的两个
3、端点是实心的，当 时，实心端点是不可以落在X轴上，因为当实心点落在X轴上,意味着此时的函数值等于0,这与恒成立不相符；但是当时，实心端点却可以落在X轴上。于是有：恒成立， 恒成立， 微变式2：将变成.此时图形两端由实心变成空心，无论是还是，空心端点都可以落在X轴上，因为空心端点并不是曲线上的点，即使空心点落在X轴上，在这种情况下，依然恒成立，不过中的“”就无法取到了。于是有：恒成立， 恒成立， 例1：设不等式对于满足的一切m的值都成立，求的取值范围。解：依题意得设，它是以m为自变量的一次函数或常函数，符合两端控制法的特征.原不等式即 解得：点评：利用两端控制法，避免了对中一次项系数符号的讨论.
4、例2. 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围。解：令，其图像是一条凸曲线段（两端为空心点），所以在上恒成立即 解得：点评：利用两端控制法，避免了对的轴与区间位置关系的分类讨论.例3：若在上恒成立，求实数k的取值范围。解：令，其图像是一条凹曲线段（左端实心，右端空心），所以在上恒成立即 解得：点评：利用两端控制法，避免了对的轴与区间位置关系的讨论.5.题型微变：类似、恒成立求参数问题中，只要抓住图形的凹凸性及不等号的方向，一旦符号两端控制的条件，我们就可以使问题得到简洁的解答。 例4.已知，且时，恒成立，求实数的取值范围。解：令，因为，所以其图像是一条凹曲线段（两端为实心点），故在上恒成立整条曲线段恒在直线下方即 解得：点评：在处理对钩函数的最值时，虽然我们能像处理抛物线一样通过讨论得出其最值，但是，当符合两端控制条件时，一切讨论都显得多余。例5. 已知，若时，总有，求的取值范围。解析：令，当时，的图像总是一条凹曲线段，而的图像是一条直线段，要使凹曲线段恒在直线段的下方，显然只需凹曲线段的两端均在直线段的下方即可，这种两端控制的做法与、的单调性无关，从而避免了对底数的分类讨论。所以，原问题即解得：点评：在不等式恒成立问题中，不等式的一边是凹曲线或凸曲线，另一边是直线（一次函数或常数函数），我们都可以考虑运用两端控制法来解决求参数范围的问题。变式练习：已知恒成立，求的取值范围.
