教育信息熵第二章PPT.ppt

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1、第二章 教育信息熵,熵的最早提出（1865年）与热力学 熵在信息论中的地位,第一节 熵的概述,一 信息量的表示 1 信息的多少与信源的不确定性有关 实例：5个学生比赛选拔出1人为冠军,2 信息量的度量与信源的不确定性 实例1：5个学生水平相差不多（接近等概率）；实例2：5个学生水平相差大（不等概率），其中A的水平高超；哪一组比赛悬念更大（获得的信息量多）?,3 小结：信源输出的消息可以看作是随机事件事件出现的概率大，出现机会多，不确定程度小事件出现的概率小，出现机会少，不确定程度大 即 Pi大，f(Pi)小 Pi小，f(Pi)大 即 f(Pi)应是Pi的单调减函数 f(pi)=(1/pi),4

2、 信息量的可加性 单调减函数可以有很多种，用来度量信息的函数f(Pi)究竟应当是哪一种呢？有了可加性即可解决 即P（x1,x2）=P(x1)*P(x2)联合概率（两个变量相互独立）而f(P1,P2)=f(P1)+f(P2)不确定性 可见 f(P)满足取对数的关系 f(P)=log(1/p)=-log p 它满足的两个关系：（1）不确定性与概率的关系（2）可加性的要求,二 信息熵 1 平均信息量（信息熵）一般情况下状态空间：X：x1,x2 xn概率分布：P(x):P(x1),P(x2)P(xn),且,这里假定各状态是相互独立的.,出现Xi的不确定性:log(1/P(xi)该信源每个状态的平均（加

3、权平均）不确定性：,信息熵（平均信息量）：,也可以简写为：,2 两种不同的单位 上面的定义式中，没有考虑对数的底a,当它取不同的底时（常取2或e），信息熵的单位为比特(bits)和奈特(nats)。1比特=0.693奈特 1奈特=1.443比特 此外，还有一个哈特（以10为底），是取人名哈特莱（Hartley）,他提出了熵定义式中的对数，且1哈特=3.32比特。,3 例 某一系统具有四种状态（或四种事件）A1、A2、A3、A4，各自的概率为：p1=1/2,p2=1/4,p3=1/8,p4=1/8,注意：概率和为1 计算得熵：H=1.75(比特/状态),4 连续信源 如果概率空间为连续系统，其概

4、率分布为：p(x),对应系统的熵为：,三 熵的意义 1 熵的大小表示某概率系统的不确定程度 实例1：某一概率系统的概率分布如下：（1，0，0，0）这是一个确定性系统，计算其信息熵H=0，即该系统不确定性为0。,实例2：某一概率系统的概率分布为等概率：（1/n，1/n，1/n）,设该系统共有n个状态（事件）；这是一个最不确定系统，计算其信息熵H为最大，即该系统不确定性最大。一般系统介于上述两种极端情况之间。,2 熵的大小表示某系统中任一状态（事件）出现后产生的平均信息量 实例1：某一概率系统的概率分布如下：（1，0，0，0）在这个系统中，只有第一个状态出现，当它出现之后，没有给我们带来任何信息量

5、，计算其信息熵H=0。,实例2：某一概率系统的概率分布为等概率：（1/n，1/n，1/n）,设该系统共有n个状态（事件）；在这个系统中，任何一个状态都有均等的机会出现，当某一个状态出现之后，都给我们带来最大的信息量，计算其信息熵H为最大。一般系统介于上述两种极端情况之间。,四 信息熵的基本性质 1 单峰性（极值性）任何一个随机系统，其信息熵都有一个极大值（单峰），即各状态出现为等概率时，熵为最大：H(p1，p2，pn)H(1/n，1/n，1/n)=log n实例：一个二事件系统，概率分别为p和1-p 该系统的熵为：H=-plogp+(1-p)log(1-p)其HP图具有单峰性(图2.1),图2

6、-1 两个事件H-P图,2 对称性 H(p1，p2，p3)=H(p1，p3，p2)=H(p3，p2，p1)1）这是由于加法满足交换率；2）这也说明熵反映了该系统的整体特性。,3 渐化性（递增性）设某系统共有n个事件，现在第n个事件分裂成两个事件，概率分别为q、r 即 pn=q+r该系统的熵变为：,证明（利用熵函数的表达式）：作为习题,4 展开性（扩展性）H(p1，p2，pn)=H(p1，p2，pn，0)=H(p1，p2，pn，0，0)说明：某系统的事件数增加了，但这些事件的出现概率为0时，该系统的熵不变。,5 确定性 H(1，0)=H(0，1)=H（1，0，0）=H（0，0，0，1）=06 非

7、负性 H(p1,p2,pn)0(只针对离散信源)小结：熵是一种描述系统总体特性的统计量,第二节 相对熵与冗余度,一 最大熵 任何一个随机系统（共有n个状态），各状态出现为等概率时，且各个状态无相关性，其信息熵都有一个最大值：Hmax=log n实例：英语用来传输信息，使用26个字母，加 上一个空格，共27个符号。这样的系统，其最大熵为：Hmax=log 27 4.76（比特/字母）,二 一般情况 一般情况下，任何一个系统（共有n个状态），各状态出现一般为不等概率，且各个状态有相关性，其实际信息熵（H）都有小于最大值，即 H Hmax=log n实例：1）英语字母的使用并非是相互独立的，字母间存

8、在相关性；2）英语字母并非等概率使用(表2.1：P33)故：英语字母的熵通常远小于4.76（有人计算1.4）。,三 相对熵 我们定义：h=H/Hmax 为相对熵，它便于比较两个不同事件数目的系统的信息熵。,四 冗余度 定义：r=1-h=1-H/Hmax=(Hmax-H)/Hmax 冗余度的含义：在传递信息时，不必要的冗长部分的比例，即为了表示某一定量的信息量，我们需要用更多的事件数。实例：（英语字母），为了表示某一内容的文章，我们需要用更多的字母。,五 关于冗余度的讨论 1 冗余度使得信息传递的效率降低实例：英语字母使用中的冗余度达到70%-80%，所以英语是一种传递效率不高的语言。2 冗余度

9、可以提高信息传递中的抗干扰能力实例：传输“中华人民共和国”与传输“中国”，效果是一样的，因此有一定的冗余度。但前者在传输时，抗干扰能力更高。中文（汉字）的冗余度,第三节 熵函数的展开,一 联合熵1 信源现有两个信源：X，Y X：x1,x2 xn Y:y1,y2,ymP(x):P(x1),P(x2)P(xn)P(y):P(y1),P(y2)P(ym),联合空间：X.Y:x1y1,x1y2,x1ym.xny1,xny2,xnymP(x.y):P(x1,y1),P(x1,y2)P(x1,ym).P(xn,y1),P(xn,y2)P(xn,ym),其中P（xi,yj）为xi和yj的联合概率且P(xi,

10、yj)=P(xi)*P(yj/xi)=P(yj)*P(xi/yj)当：xi和yj相互独立时：P（yj/xi）=P（yj）P（xi/yj）=P（xi）,2 二元联合信源的熵：H（X，Y）=-P(xi,yj)log P(xi,yj)当每个信源相互独立时：H(X,Y)=H(X)+H(Y)即联合熵等于每一个信源熵之和。但由于相关性的存在，会减少平均不确定性故 H(X,Y)=H(X)+H(Y),3 例 考虑m=2的情况，且假定联合概率分布如下：,1/2,1/2,2/5,2/5,1/5,（1）先求出Px(x1)=1/2 Px(x2)=1/2 Py(y1)=2/5 Py(y2)=2/5 Py(y3)=1/5

11、（2）求出 H（X）=-(1/2)log(1/2)+(1/2)log(1/2)=1同理 H（Y）=1.522而 H（X）+H（Y）=2.522（比特/事件）,（3)H(X，Y)=-P(x1,y1)logP(x1,y1)+P(x1,y2)logP(x1,y2)+P(x1,y3)logP(x1,y3)+P(x2,y1)logP(x2,y1)+P(x2,y2)logP(x2,y2)+P(x2,y3)logP(x2,y3)=-(1/20)log(1/20)+(7/20)log(7/20)+(1/10)log(1/10)+(7/20)log(7/20)+(1/20)log(1/20)+(1/10)log

12、(1/10)=2.157,显然 H（X，Y）=H（X）+H（Y）2157 2.522,二 条件熵1 概率关系把联合概率P(xi,yj）=P（xi）*P（yj/xi）代入H(X，Y)=-P(xi,yj)logP(xi)*P(yj/xi)=-P(xi,yj)logP(xi)-P(xi,yj)logP(yj/xi)=-P(xi)logP(xi)-P(xi,yj)logP(yj/xi)=H（X）+H（Y/X）,2 条件熵上式中的 H(Y/X)=-P(xi,yj)logP(yj/xi)叫做给定X时关于Y的条件熵它表示：已知X时关于Y还保留的平均不确定性,3 讨论：（1）联合熵表示将XY作为一个整体看待时

13、，总的平均不确定性H（X，Y）等于X的不确定性与已知X后关于Y的不确定性H（Y/X）的和。（2）如果X和Y独立，则 H（Y/X）=H（Y）这时H（X，Y）=H（X）+H（Y）,（3）反之，若Y完全由X决定，因而已知X 即可确定Y，不再有任何不确定性，则 H（Y/X）=0 这时H（X，Y）=H（X）（4）一般情况下 0=H(Y/X)=H（Y）即条件熵永远小于或等于无条件熵（5）由于X与Y之间存在的 对称性，可得H（X，Y）=H（Y）+H（X/Y）,4 互信息 定义 I（X，Y）=H（X）+H（Y）-H（X，Y）为信源X和信源Y的互信息。通过变换，可得：I（X，Y）=H（X，Y）-H（X|Y）-H

14、（Y|X）,5 关于几个熵的关系：H(X)H(Y)H(X,Y)H(Y/X)H(X/Y)I(X;Y)三 Kullback信息量（略）第四节 熵模型（略）,第五节 测试问题信息量,一 测试问题信息熵的计算1 多重选择题（设有5个备选答案）几种应答分布：1）(1，0，0，0，0)，应答信息熵：H=02）(1/2，1/8，1/8，1/8，1/8)，应答信息熵：H=23）(1/2，1/2，0，0，0），应答信息熵：H=14）(1/5，1/5，1/5，1/5，1/5)应答信息熵：H=log5 通过信息熵的计算，我们能够得到这些测试问题的难易程度和学生的学习能力倾向，可以作为测试问题的评价及其指标。,二 等

15、价预选项数题目分析：难度，区分度这里主要讨论选择题：除了难度与区分度，还有一个问题：就是对题目各备选项的有效性作出评价。,1 等价预选项数 令i=1,2,3m为选择题的一个选项，Pi为考生选择第i项的概率，则该选择题的熵：H=-Pi logPi讨论：某一个Pi=1,其它选项无人选，此时：H=0，分散程度最小 每一个Pi=1/m，每个选项均匀分布，此时：H=log m（最大）分散程度最大。如图所示,图2-8 等价预选项目的数据,由于H是熵（平均信息量）设H与回答均匀地分布于K个（不是m个，而是小于或等于m个）选项时的信息量相等（原来是m个答案非均匀的分布）H=-（1/K）log(1/K)=log

16、 K 可得 K=2H 这就是等价预选项数（佐藤隆博定义）。,例 某题有5个选项，根据回答先求出H，再计算K。先计算出H约为1.531，再计算出K=2.89意义：这意味着：虽然题目有5个选项，但结果等价于均匀地分布在大约3个选项上。,如果把熵的表达式代入等价选预项数公式：可得 K=2-Pi logPi=Pi-Pi 改错：（2-29）：P45这里，我们不用求熵，就可以直接求出等价预选项数K，而且K与log Pi中的底无关当各选项等概时，H和K取最大值：即：Hmax=log m Kmax=m,选项项数的范围,Pr,在图中r：为选择题的正确选项，Pr：考生选择正确选项的概率，图中三条曲线包围的面积属于

17、K的合理范围，超过此范围时，要对题目进行检查。注意：K与Pr有关,三条曲线：Kmax：当选择正确答案的概率为Pr时，选择另外的m-1个选项（诱惑项）的选答概率相等=（1-Pr）/(m-1)时，K取极大值；Kmin:当选择正确答案的概率为Pr时，只有某一个诱惑项有人选，概率为(1-Pr)时，K取极小值；K=1/Pr：要求Pr1/K，即选择正确答案概率高于平均值所得。,计算例：m=5 Pr=0时，Kmax=4,Kmin=1 Pr=1/5时，Kmax=5,Kmin=1.6 Pr=1/2时，Kmax=4,Kmin=2 Pr=1时，Kmax=1,Kmin=1总结：理想的题目分布模式是，在保证一定的答对率

18、的条件下，对疑惑项的选择人数应接近于均匀分布，也就是说，K的取值应接近于上图中的Kmax。,三 对不确定程度的判断 1 问题：12个外观相同的小球，仅有一个重量不同（可能轻、重）请使用天平，能否在三次以内找出该问题球？,2 求解方法：某事件系统产生的信息熵=消除的不确定性（1）设问题球出现的概率为1/12；设问题球比正常球轻（重）的概率为1/2；（2）要发现问题球并知其轻（重）所需要的信息量：-log(1/12)-log(1/2)=log12+log2=log 24=4.585,(3)天平称一次，能确定左边轻、右边轻、或者平衡,获得的信息量（消除的不确定性）=log 3=1.585 而4.58

19、5/1.585 2.9(4)故至少需要3次天平，才可以找出问题球 注意：这里并没有研究具体的策略和方法,第六节教学过程的信息量分析,一 分类系统教学过程中的语言行为分类；VICS：Verbal Interaction Category System(语言交互分类系统)微格教学的语言行为分类：(如表所示：),各类行为的频度分布：图2.9即：1：24；2：16；3：9；4：15 5：16；6：3；7：16；8：3；9：8计算出信息熵 H=2.939（比特/行为状态）,二 类别总数与熵 继续上面的例子（49个教师、学生进行微格教学的数据）（如表所示）共分为6个组，每一组的数据都是基于教师、学生的语言

20、行为进行分类的，再统计出各类别数据的频度分布，根据这些频度分布计算出每一节课的信息熵。,各组的数据类别总数与熵的关系：(如图2.10所示)1）类别总数与熵呈正相关（第五组例外）；2）不同的组，类别总数多的教学，不一定熵就大,三 不同学科类别频度分布的比较上面的表述，只是根据类别总数计算出了熵，并没有确定哪些类别是多少？不能根据学科的特色进行分析和指导。图2.11：P50（给出了6个组的各类行为的相对频度分布）。,第七节 教育中质的信息量分析（略）,通过互信息的计算，研究数据的相关程度 补充另一部分内容（见后）,第八节 CAI课件中的信息量,一 多重选择问题的信息熵1 CAI课件一般是面向问题的

21、 CAI课件中的问题：判断题、多重选择题、填空题、匹配题。2 若干种多重选择问题的应答分布的信息熵计算。,3 小结：学生应答均匀分布时，信息熵H最大；H的大小不仅与应答分布有关，还与预选答案数有关，引入相对信息熵，可以避免这种不可比较性。,二 课件评价也是通过计算各个问题的信息熵来进行三 学习状态的描述学习开始阶段：学生学习不稳定。应答随机性较大，相应地信息熵也较大；学习正常阶段：学生学习趋于稳定。应答随机性较小，相应地信息熵也较小。图2.15：P58(a)表示学习开始，学习不稳定；(b)表示学习迅速趋于稳定。,补充：利用互信息量的计算确定学习效果(互信息在标准化试卷评分中的应用）标准化试卷，

22、便于计算机处理，一般是是非判断题，多重选择题，但学生可能猜对，例如是非判断题，学生猜对的概率可达1/2 引入：考试过程可以看着信息传输过程，试卷为信息源，考生的思维为信道，学生的答卷为老师接收到的信息，因此可以用互信息作为平分标准，每道题的互信息之和为试卷总分。,一 是非题判断题信息传输分析设有n道题，其中正确答案为“对”和“错”的各占一半（1/2）考生回答正确的概率为P，如图：,Y,可知：P（T）=P（F）=1/2 P（T/T）=P（F/F）=P P（F/T）=P（T/F）=1-P联合概率：P（T，T）=P（T）P（T/T）=P/2 P(T，F)=P(T)P(F/T)=(1-P)/2 P(F

23、，T)=P(F)P(T/F)=（1-P)/2 P（F，F）=P（F）P（F/F）=P/2,计算如下：信源熵：H（X）=1（只有两种状态，且是均匀分布）疑义度：H（X/Y）=-P(xi,yj)logP(xi/yj)=-P（T，T）logP（T/T）+P（T，F）logP（T/F）+P（F，T）logP（F/T）+P（F，F）logP（F/F）=-P log P+(1-P）log(1-P）互信息：I（X；Y）=H（X）-H（X/Y）=1+P log P+(1-P）log(1-P）,这里要求：P大于等于（1/2），否则全部是猜对的，比如某生全部打“错”就对了一半，但实际上这个学生什么也不会。试卷成绩

24、：=n*I（X；Y）=n*H（X）-H（X/Y）=n*1+P log P+(1-P）log(1-P）当P=1/2时：1+PlogP+(1-P）log(1-P）=0 故试卷成绩=0得分分布图：如下所示,二 多项选择题信息传输分析 设每题有4个答案，只有一个正确，总题数为n，正确答案在A，B，C，D上各占1/4，设每题答对概率为P，选其他三个非正确答案的概率均匀分布，各占（1-P）/3 示意图如下：,所有水平线：P,H（X）=-（1/4）log(1/4)=2（正确答案在A，B，C，D上均匀分布，各占1/4）互信息：I（X；Y）=H（X）-H（X/Y）=2+P log P+(1-P）log(1-P）

25、/3 推导：（留作作业)试卷成绩=n*I（X；Y）=n2+P log P+(1-P）log(1-P）/3满分为200分，（由于信源熵为2）这里要求：P大于等于1/4，否则全是猜对的。,得分分布图：,讨论：（1）答对题数不大于25时，试卷成绩为0；（2）答对题数在25-60之间时，试卷成绩增长缓慢；（3）答对题数大于60时，试卷成绩增长加快，得分难度加大。,本章小结：教学过程就是一种信息传输过程，利用信息传输的基本理论-信息论来研究教学过程，是一种新的思想，其中熵的概念非常重要，包括熵的定义、计算、性质、应用，要求重点掌握。练习：1，2，3，6（某测试问题有5种选择，选择答案的概率分布为1/5，2/5，1/10，1/20，1/4）补充题：两个推导。,图2-9 分类数据序列,（表中49学时，代表49个教师、学生）,图2-10类别总数与熵的关系,汉语信源 汉语取常用字10000个(1)等概率、无相关性，H0=log 10000=13288(比特/汉字)(2)分成四类（字数及概率：）(3)仍然不考虑相关性，得第一级近似为无记忆信源的熵：H1=9773(4)在这种简单近似下：则熵的相对率=H/H0=0736，剩余度为 r=1-0736=0264 返回,