清华大学材料力学范钦珊主讲 专题第十章 能量原理在杆件位移和稳定性分析中的应用.ppt

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1、 引 言 基本概念 互等定理 应用于弹性体的虚位移原理 虚位移原理在弹性杆件上 的应用 结论与讨论(1),引 言,引 言,分析应力、变形和位移的两种方法,能量原理分析应力、变形 和位移的优势,分析应力、变形和位移的 两种方法,引 言,分析应力、变形和位移的两种方法,直接方法 利用平衡、变形协调和物性关系 应力分析方法；求解超静定问题的方法。,引 言,分析应力、变形和位移的两种方法,引 言,能量方法利用能量原理（同时满足平衡、变形协调和物性关系),虚位移原理 虚力移原理 最小势能原理 最小余能原理,引 言,能量原理分析应力、变形 和位移的优势,能量原理分析应力、变形和位移的 6个方面的优势,引

2、言,一般能量守恒原理：可以确定加力点沿加力方向的位移,外力功系统的应变能,能解决什么问题？不能解决什么问题？,能量原理分析应力、变形和位移的 6个方面的优势,引 言,容易扩展到二维和三维问题。,可以确定任意点沿任意方向的位移；,可以确定位移函数；,既可以确定位移，又可以确定内力和 应力；,既适用于线性问题，又适用于非线性 问题；,可以用于直接求解超静定；,基本概念,基本概念,功和余功；应变能和余应变能；,杆件应变能和余应变能 的计算；,功和余功,基本概念,基本概念,功和余功,讨论一般的力和位移关系：,广义力与广义位移 力线位移；力偶角位移；均匀分布载荷？；均匀分布压力？；,一般的力和位移关系,

3、基本概念,功和余功,功(work)以位移作为积分变量,dW=FPd,W=dW=FPd,基本概念,功和余功,余功(complementary work)以力作为积分变量,dWc=dFP,Wc=,dWc,应变能和余应变能,基本概念,基本概念,应变能和余应变能,广义的应力应变关系(),=(),可以是正应力 也可以是切应力,可以是正应变 也可以是切应变,基本概念,应变能和余应变能,应变能(strain energy)以为积分变量,=d应变比能,V dV 应变能,基本概念,应变能和余应变能,余应变能(complementary strain energy)以为积分变量,vc=d 余应变比能,Vc vc

4、dV 余应变能,杆件应变能和 余应变能的计算,基本概念,基本概念,杆件应变能和余应变能的计算,几个前提：杆件变形后横截面保持平面；静力学方程成立；FNx=A dA Mz=-A y dA My=A z dA Mx=A dA 细长杆忽略剪力影响。,基本概念,杆件应变能和余应变能的计算,对于线性问题,以及 E 和G 得到,基本概念,杆件应变能和余应变能的计算,这一公式也可以由微段上内力作功累加得到,基本概念,杆件应变能和余应变能的计算,对于非线性问题,以及非线性应力应变关系得到V 和Vc的表达式。,(参阅：工程力学教程(II)第3章中的例题),互等定理,互等定理,功的互等定理,功的互等定理 位移互等

5、定理,应用能量守恒原理和叠加原理 可以得到两个互等定理,功的互等定理,互等定理,FP系统,FS系统,功的互等定理,功的互等定理(reciprocal theorem of work),互等定理,m,互等定理,功的互等定理,定理：一个力系的力在另一个力系引起的相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在这一个力系引起的相应的位移上所作之功。,FP系统,FS系统,互等定理,FP系统,FS系统,互等定理,互等定理,互等定理,功的互等定理,互等定理,功的互等定理,特殊情形,Fi i j=Fj j i,互等定理,位移互等定理,互等定理,互等定理,位移互等定理,Fi,互等定理,位移互等定理,互等定理,位移互等

6、定理,位移互等定理,一个力(广义的)与另一个力(广义的)若数值相等，则一个力(广义的)在另一个力(广义的)作用处引起的位移，数值上等于另一个力(广义的)在这一个力(广义的)作用处引起的位移。,互等定理,应用于弹性体的 虚位移原理,应用于弹性体的虚位移原理,原理表述,弹性体平衡必要性的简 单证明,虚位移模式的多样性,虚位移原理的应用条件,原理表述,应用于弹性体的虚位移原理,原理表述,弹性体平衡的必要条件,对于处于平衡状态的弹性体，令其自平衡位置起有一微小虚位移，则作用在弹性体上的外力在相应的虚位移上所作之功与弹性体内力在相应的虚位移上所作之功之和等于零。,弹性体平衡,We Wi0,应用于弹性体的

7、虚位移原理,原理表述,弹性体平衡的充分条件,对于处于某一位置的弹性体，令其自这一位置起有一微小虚位移，若作用在弹性体上的外力在相应的虚位移上所作之功与弹性体内力在相应的虚位移上所作之功之和等于零，则弹性体在这一位置保持平衡。,弹性体平衡,We Wi0,应用于弹性体的虚位移原理,原理表述,虚位移原理,弹性体平衡的充分和必要条件是，作用在弹性体上的外力在相应的虚位移上所作之功与弹性体内力在相应的虚位移上所作之功之和等于零。,弹性体平衡,We Wi0,应用于弹性体的虚位移原理,弹性体平衡必要条件 的简单证明,应用于弹性体的虚位移原理,弹性体平衡必要性的简单证明,以承受分布载荷的简单支承梁为例,平衡时

8、，有,应用于弹性体的虚位移原理,弹性体平衡必要性的简单证明,令梁自变形后的平衡位置起，有一虚位移 w,应用于弹性体的虚位移原理,弹性体平衡必要性的简单证明,微段dx上的外力qdx在虚位移 w上所作虚功为(qdx)w,全部外力在虚位移 w上所作之总虚功为,应用于弹性体的虚位移原理,弹性体平衡必要性的简单证明,应用于弹性体的虚位移原理,弹性体平衡必要性的简单证明,全部外力在虚位移w上所作之总虚功为,应用于弹性体的虚位移原理,弹性体平衡必要性的简单证明,考察微段的变形和虚位移，计算内力虚功,应用于弹性体的虚位移原理,弹性体平衡必要性的简单证明,考察微段的变形和虚位移，计算内力虚功,平衡位置,虚位移,

9、应用于弹性体的虚位移原理,弹性体平衡必要性的简单证明,考察微段的变形和虚位移，计算内力虚功,其中,应用于弹性体的虚位移原理,弹性体平衡必要性的简单证明,应用于弹性体的虚位移原理,虚位移模式的多样性,应用于弹性体的虚位移原理,虚位移模式的多样性,虚位移必须微小的、满足变形协调条件（包括约束条件),可以是与真实位移有关的位移，也可以与真实位移无关,可以是真实位移的增量，这时外力的虚功全部转变为应变能的增量。虚位移原理变为,应用于弹性体的虚位移原理,虚位移模式的多样性,虚位移必须微小的、满足变形 协调条件（包括约束条件),可以是某一(或某几个)真实位移的增量,应用于弹性体的虚位移原理,虚位移模式的多

10、样性,虚位移必须微小的、满足变形 协调条件（包括约束条件),可以是另外一个与之相关的系统的真实位移,应用于弹性体的虚位移原理,虚位移模式的多样性,虚位移必须微小的、满足变形 协调条件（包括约束条件),可以是另外一个与之相关的系统的真实位移,可以是某一(或某几个)真实位移的增量,可以是与真实位移有关的位移，也可以与 真实位移无关,可以是真实位移的增量，这时外力的虚功 全部转变为应变能的增量。虚位移原理变 为,应用于弹性体的虚位移原理,虚位移原理的 应用条件,应用于弹性体的虚位移原理,虚位移原理的应用条件,所有推证过程，只涉及小变形条件 下的平衡方程，而与物性关系无关。,虚位移原理的应用条件仅为小

11、变形。,虚位移原理既适用于线性物性关系 也适用于非线性物性关系。,应用于弹性体的虚位移原理,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,虚位移原理的应用,求解位移曲线的近似方程,由虚位移原理导出卡氏第 一定理,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,求解位移曲线的 近似方程,虚位移原理的应用,求解位移曲线的近似方程,先假设一含有一个或几个待定常数的位移函数，这一函数必须满足连续条件和约束条件。,然后，以真实位移的增量作为虚位移。,We V,分别计算外力虚功We和应变能增 量 V 代入虚位移原理的表达式，,得到待定常数，从而求得位移函数。,虚位移原理的应用,求解位移曲线的近似方程,例 题 1,已知：F、EI、l求：

12、梁的位移曲线以及梁中点的挠度,虚位移原理的应用,求解位移曲线的近似方程,1，假设位移函数,2,计算应变能,3,由虚位移计算外力虚功和应变能增量,例 题 1,虚位移原理的应用,求解位移曲线的近似方程,2,计算应变能,3,由虚位移计算外力虚功和应变能增量,虚位移：,外力虚功：,应变能增量：,例 题 1,虚位移原理的应用,求解位移曲线的近似方程,3,由虚位移计算外力虚功和应变能增量,虚位移：,外力虚功：,应变能增量：,4，应用虚位移原理确定待定常数,We V,例 题 1,虚位移原理的应用,求解位移曲线的近似方程,4，应用虚位移原理确定待定常数,We V,5，确定位移曲线方程以及梁中点的挠度,位移曲线

13、方程,例 题 1,虚位移原理的应用,求解位移曲线的近似方程,5，确定位移曲线方程以及梁中点的挠度,梁中点的挠度,精确值,误差1.4%,例 题 1,虚位移原理的应用,位移曲线方程,由虚位移原理导出 卡氏第一定理,虚位移原理的应用,卡氏第一定理(Castigliano first theorem),载荷系统：F1、F2、.、Fi、.、Fn,加力点位移：1、2、.、i、.、n,虚位移模式 1 2.n0,卡氏第一定理,虚位移原理的应用,卡氏第一定理(Castigliano first theorem),外力虚功：,应变能增量：,应变能：,卡氏第一定理,虚位移原理的应用,卡氏第一定理(Castiglia

14、no first theorem),外力虚功：,应变能增量：,应变能,应用虚位移原理,卡氏第一定理,虚位移原理的应用,卡氏第一定理(Castigliano first theorem),系统的总应变能对于某个力作用点沿加力方向位移的一阶偏导数等于这个力。,卡氏第一定理,虚位移原理的应用,卡氏第一定理,例 题 2,已知：图示结构中，A、B、C三处均为铰链，AB杆和BC杆的拉压刚度均为EI。FP、l、EI 等均为已知。求：加力点B处的位移。,虚位移原理的应用,卡氏第一定理,一般情形下，都是先由变形前的平衡位置求得杆的受力，再由受力计算变形或位移。现在必须考察变形以后的平衡位置才能求得杆的受力，然后

15、求得位移。,问题的性质,例 题 2,虚位移原理的应用,卡氏第一定理,解决问题的思路,先将系统的应变能V表示成位移 B函数:V V(B)；,再应用卡氏第一定理建立力FP与 位移 B的关系。,例 题 2,虚位移原理的应用,卡氏第一定理,1，建立位移 B与变形 l 之间的关系,例 题 2,虚位移原理的应用,卡氏第一定理,1，建立位移 B与变形 l 之间的关系,2,建立应变能表达式 V V(B),例 题 2,虚位移原理的应用,卡氏第一定理,1，建立位移 B与变形 l 之间的关系,2,建立应变能表达式V V(B),例 题,3,应用卡氏第一定理建立力FP与位移 B之间的关系,虚位移原理的应用,势能原理在弹

16、性 稳定分析中的应用,势能原理在弹性稳定分析中的应用,应用于弹性体的势能 驻值定理与最小势能原理,铁摩辛柯方法,瑞利里兹法,应用于弹性体的势能 驻值定理与最小势能原理,势能原理在弹性稳定分析中的应用,应用于弹性体的势能驻值定理 与最小势能原理,弹性体的总势能,V弹性势能，即应变能；VP载荷的位置势能。,势能原理在弹性稳定分析中的应用,应用于弹性体的势能驻值定理 与最小势能原理,应用于弹性体的势能驻值定理：弹性体平衡构形的充要条件是系统的总势能取驻值。,V弹性势能增量；VP载荷的位置势能增量。,势能原理在弹性稳定分析中的应用,应用于弹性体的最小势能原理：弹性体平衡构形稳定的充要条件是系统的总势能

17、取最小值。,应用于弹性体的势能驻值定理 与最小势能原理,V V VP 0,势能原理在弹性稳定分析中的应用,铁摩辛柯方法,势能原理在弹性稳定分析中的应用,F=FPcr时，令其从直线平衡构形转变到邻近的微弯屈曲构形这时系统总势能改变量为,V V VP,铁摩辛柯方法,势能原理在弹性稳定分析中的应用,V V VP,铁摩辛柯方法,势能原理在弹性稳定分析中的应用,铁摩辛柯方法,势能原理在弹性稳定分析中的应用,铁摩辛柯方法,势能原理在弹性稳定分析中的应用,例 题(1),对于一端固定、另一端自由的压杆，假定屈曲位移函数：,铁摩辛柯方法,势能原理在弹性稳定分析中的应用,例 题(2),对于两端铰链的压杆，假定屈曲

18、位移函数：,铁摩辛柯方法,势能原理在弹性稳定分析中的应用,例 题(3),对于一端固定、另一端自由，承受轴向均布载荷的压杆，假定屈曲位移函数：,则应变能的改变量为,载荷位置势能的改变量为,铁摩辛柯方法,势能原理在弹性稳定分析中的应用,例 题(3),则应变能的改变量为,载荷位置势能的改变量为,铁摩辛柯方法,势能原理在弹性稳定分析中的应用,例 题(3),则应变能的改变量为,载荷位置势能的改变量为,V VP 0,铁摩辛柯方法,势能原理在弹性稳定分析中的应用,例 题(3),近似解,精确解,铁摩辛柯方法,势能原理在弹性稳定分析中的应用,瑞利里兹法,势能原理在弹性稳定分析中的应用,首先假设包含未知参数(例如

19、 an,n=1,2,.)的屈曲构形级数解，这一级数必须满足几何边界条件；,其次根据所假设的解，计算以未知参数(例如 an,n=1,2,.)表示的系统总势能；,根据势能驻值定理V0，由,瑞利里兹法,势能原理在弹性稳定分析中的应用,根据势能驻值定理V0，由于,据此即可确定未知参数 a1,a2,.,an等等。,瑞利里兹法,势能原理在弹性稳定分析中的应用,例 题,两端铰支的变截面压杆，截面的惯性矩按下列公式变化：,求：临界力。,瑞利里兹法,势能原理在弹性稳定分析中的应用,例 题,假设包含未知参数 a1 的屈曲构形为：,系统的总势能为,瑞利里兹法,势能原理在弹性稳定分析中的应用,例 题,系统的总势能为,

20、由,瑞利里兹法,势能原理在弹性稳定分析中的应用,结论与讨论(1),结论与讨论,关于应变能的计算,关于互等定理,应用于刚体和变形体的虚位移 原理之比较,关于虚位移模式的多样性,能否通过虚位移原理确定弹性 杆件的内力和应力,怎样减小近似解的误差,关于泛函和变分的概念,结论与讨论,关于应变能的计算,结论与讨论,关于应变能的计算,计算应变能时能不能应用叠加原理,不能；能；有时能，有时不能；,什么时候能，什么时候不能？请读者结合具体问题 加以分析研究,结论与讨论,关于应变能的计算,计算应变能时能不能应用叠加原理,M 和 F 引起的应变能是不是等于二者引起的应变能之和？,如果将 M 换为扭转力偶 Mx,M

21、x 和 F 引起的应变能是不是等于二者引起的应变能之和？,关于互等定理,结论与讨论,关于互等定理,?=?,结论与讨论,关于互等定理,?=?,结论与讨论,关于互等定理,?=?,结论与讨论,关于互等定理,?,结论与讨论,关于互等定理,百分表,悬臂梁受力如图示。现用百分表测量 梁在各处的挠度，请设计一实验方案。,移动百分表；固定百分表？,结论与讨论,关于互等定理,均布载荷q广义力,广义位移？,结论与讨论,关于互等定理,能不能应用互等定理确定挠度曲线与梁的原轴线之间的面积？,“互等”必须有两个相应的系统，另一个系统是什么？与所要求的面积相对应的量又是什么？,结论与讨论,关于互等定理,实心圆柱体承受轴向

22、拉伸，请分析有几种方法可以确定其体积改变量？,应用于刚体和变形体 的虚位移原理之比较,结论与讨论,应用于刚体和变形体的虚位移 原理之比较,结论与讨论,都是讨论平衡(位形或构形)的充分 和必要条件；,都是自平衡位置起令其有一虚位移；,都可以表达成所有力的虚功之和等 于零。,相同点,应用于刚体和变形体的虚位移 原理之比较,结论与讨论,应用于刚体时，虚位移是相对于广义坐标的，而应用于弹性体时，虚位移是相对于广义位移 的；广义坐标和广义位移都是描述物体初始平 衡位形或平衡构形的参数。,应用于刚体时，对于理想约束，只涉及外力功 而应用于弹性体时，不仅涉及外力功，而且涉 及内力功。,关于虚位移模式 的多样

23、性,结论与讨论,结论与讨论,关于虚位移模式的多样性,虚位移必须微小的、满足变形 协调条件（包括约束件),可以是与真实位移有关的位移，也可以与真实 位移无关,可以是真实位移的增量，这时外力的虚功全部 转变为应 变能的增量。虚位移原理变为,可以是另外一个与之相关的系统的真实位移,可以是某一(或某几个)真实位移的增量,关于泛函和变分 的概念,结论与讨论,结论与讨论,关于泛函和变分的概念,变 量,函 数,函 数,泛 函,泛 函函数的函数（functional,function of function),当虚位移是真实位移的增量时，虚位移原理We V 中的 V 就是泛函V 的变分。,w(x)是 x 函数

24、,V(w(x)是 w(x)的泛函,能否通过虚位移原理确定弹性杆件的内力和应力,结论与讨论,结论与讨论,能否通过虚位移原理确定弹性 杆件的内力和应力,通过假设位移函数,应用虚位移原理求得,进而求得应力,怎样减小近似解 的误差,结论与讨论,结论与讨论,怎样减小近似解的误差,假设位移函数,误差1.4%,如果假设位移函数,误差0.2%,请分析：由w(x)求得的弯矩，其误差为多大？为什么不同于位移的误差？怎样减小弯矩的误差？,本 章 作 业(1),102，104,106，1010,1015(a)。,清华大学 范钦珊,2023年2月27日,第10章能量原理在杆件位移和 稳定性分析中的应用(2),虚力原理

25、卡氏第二定理 莫尔法 图乘法,能量原理在求解超静定 问题上的应用,结论与讨论,虚力原理,虚力原理,原理表述,必要性的证明方法,虚力模式的多样性,虚力原理直接应用举例,原理表述,虚力原理,对于变形协调的弹性体，自变形 后的状态始，保持变形不变，令其上 的力有一改变，这一改变，称为“虚 力”（Virtual Force）,则外力虚余 功与内力虚余功之和等于零:,变形协调,变形协调,弹性体变形协调的充分和必要条件是：,变形协调,必要性的证明方法,虚力原理,虚力原理,总体变形满足约束条件和连 续条件（微段平面保持平面）；数学上：分部积分法；作为学习研究问题自己去研究。,必要性的证明方法,虚力原理,虚力

26、模式的多样性,虚力可以是全部真实力的增量，也可以是 某个或某几个真实力的增量。,虚力原理,虚力模式的多样性,虚力可以是任意的，但必须满足平衡条件;,虚力可以与真实力有关，也可以与真实力 无关;,虚力为作用在弹性体上的真实力的增量时，则虚力原理可改写为,虚力原理,虚力原理直接应用举例,虚力原理的应用只有小变形的限制；既适用于线性问题又适用于非线性问题。,虚力原理,虚力原理的应用条件,例 题 2,求：自由端的铅垂位移.,已 知：悬臂梁的EI、q、l,假设自由端有一虚力,则外力虚余功为：,则内力虚余功为：,其中,(由 q 引起),卡氏第二定理,对线性和非线性问题,卡氏第二定理,对于线性问题,卡氏第二

27、定理的应用,对线性和非线性问题,卡氏第二定理,卡氏第二定理,卡氏第二定理(Castigliano Second Theorem),1.对线性和非线性问题,恩格塞定理,令,外力虚余功为：,余应变能增量为：,由,余应变能为,对线性和非线性问题,对线性问题,卡氏第二定理,卡氏第二定理,卡氏第二定理(Castigliano Second Theorem),2.对于线性问题：,恩格塞定理,卡氏第二定理,对于线性问题,卡氏第二定理,对于线性问题,杆件或杆件系统对于某个力的一阶偏导数，等于这个力作用点处、沿着这个力方向的位移。,卡氏第二定理,卡氏第二定理的应用,卡氏第二定理,线弹性材料悬臂梁，受力如图所示，

28、若FP、EI、l等均为已知，试用卡氏第二定理求：1.加力点A处的挠度；2.梁中点B处的挠度。,卡氏第二定理的应用,1.加力点A处的挠度,对于线性问题，梁内的应变能为：,例 题 3,卡氏第二定理,2.梁中点(非加力点)B 处的挠度,在B处施加与所求挠度方向相同的假设力F,梁内的应变能为：,卡氏第二定理的应用,例 题 3,莫尔法,问题,方法,结论,结论的证明,莫尔法（莫尔积分）虚力等于1单位的虚力原理,应用举例,关于单位力1与位移的讨论,莫尔法（莫尔积分）,求任意点沿任意方向的位移（例如B点的）,问 题,莫尔法（莫尔积分）,设原系统的内力分别为,单位载荷系统的内力分别为,方 法,建立单位载荷系统（

29、在所要求位移点沿所要求位移方向，施加1单位的力）,莫尔法（莫尔积分）,结 论,对于轴向拉伸或压缩,对于扭转,对于弯曲,对于双向弯曲,莫尔法（莫尔积分）,对于这组合受力与变形,为什么可以叠加？,结 论,莫尔法（莫尔积分）,结论的证明,将1单位的力，作为原载荷系统在所要求位移的那一点、沿着所要求的位移方向的虚力，于是,外力虚余余功为,内力虚余功为,莫尔法（莫尔积分）,结论的证明,外力虚余余功为,内力虚余功为,其中,莫尔法（莫尔积分）,关于单位力1与位移的讨论,单位力1与位移都是广义的，但是必须是相互对应的：,线 位 移 单位集中力,角 位 移 单位集中力偶,相对线位移 一对单位集中力,相对角位移

30、一对单位集中力偶,莫尔法（莫尔积分）,关于单位力1与位移的讨论,所要求的位移不限于加力点、沿加力方向的位移，可以是任意点、任意方向的位移。,单位力必须加在所要求位移的那一点、并且沿着所要求位移的方向。,？,莫尔法（莫尔积分）,莫尔积分的应用条件,线 性,非线性,小变形,关于单位力1与位移的讨论,?,莫尔法（莫尔积分）,对于多段杆或多根杆组成的系统，莫尔积分形式为：,关于单位力1与位移的讨论,莫尔法（莫尔积分）,例 题 4,图示结构中，杆的弯曲刚度均为EI，FP、EI均已知。,求：A、B两点的相对位移,(不考虑轴向力和剪力的影响),应用举例,莫尔法（莫尔积分）,例 题 4,1.确立单位载荷系统：

31、,加什么单位力？加在哪里？加在什么方向？,2.建立载荷与单位力引起的 内力表达式：,要不要分段？怎样分段？建立坐标系？充分利用对称性？,应用举例,莫尔法（莫尔积分),例 题 4,1.确立单位载荷系统：,2.建立载荷与单位力引起的 内力表达式：,应用举例,莫尔法（莫尔积分）,例 题 4,1.确立单位载荷系统：,2.建立载荷与单位力引起的 内力表达式：,应用举例,莫尔法（莫尔积分）,例 题 5,平面结构，空间受力，已知：F、R、d、E、G，求：加力点沿加力方向的位移。,加什么单位力？加在哪里？加在什么方向？怎样建立坐标系？,？,应用举例,图乘法,图 乘 法,前 提,方法与结论,应用举例,应用条件,

32、图 乘 法,前 提,图乘法莫尔法应用于直杆时的图解解析法,前提：等截面直杆(EA、GIP、EI=const.);,前 提,图 乘 法,等为线性函数。,当EIconst.时,当 等为线性函数时,以弯曲问题为例,图 乘 法,当EIconst.时,当 等为线性函数时,以弯曲问题为例,是什么？,又是什么？,前 提,图 乘 法,方法与结论,方法与结论,图 乘 法,图 乘 法,载荷内力图,载荷内力图形心坐标下，单位力内力图上的数值,方法与结论,应用条件,图 乘 法,应用条件,图 乘 法,前提：等截面直杆(EA、GIP、EI=const.);,等为线性函数。,应用条件,对载荷内力图的要求：直线？曲线？要不要

33、分段？,对单位载荷内力图的要求：直线？曲线？要不要分段？,图 乘 法,应用举例,图 乘 法,例 题 6,刚架受力如图示，已知：横杆弯曲刚度为2EI，竖杆弯曲刚度为EI、拉伸刚度为EA、载荷集度q、长度l。,求：B点的水平位移,采用图乘法：怎样加单位力？哪些图形可以相乘？要画哪些内力图？怎样相乘？,应用举例,图 乘 法,求：B点的水平位移,载荷系统,单位力系统,应用举例,例 题 6,图 乘 法,例 题 6,载荷系统内力图,应用举例,例 题 6,单位力系统内力图,图 乘 法,应用举例,例 题 6,图形互乘,图 乘 法,应用举例,例 题 6,载荷系统内力图与单位力系统相同的内力图互乘,图形互乘,图

34、乘 法,应用举例,例 题 6,结果与比较,轴力与弯矩引起的位移比较,对于矩形截面：,图 乘 法,应用举例,例 题 7,平面结构空间受力，AB和BC两杆具有相同的刚度，且EI、GIP、l、F等均为已知。求：1.A端的铅垂位移；2.A端绕BC 轴线的 转角。,采用图乘法：怎样加单位力？哪些图形可以相乘？要画哪些内力图？怎样相乘？,图 乘 法,应用举例,例 题 7,求：1.A端的铅垂位移；2.A端绕BC 轴线的 转角。,求A端铅垂位移,求A端绕BC 轴线的转角,单位力系统,图 乘 法,应用举例,例 题 7,载荷系统内力图,图 乘 法,应用举例,例 题 7,单位力系统内力图,图 乘 法,应用举例,例

35、题 7,单位力偶系统内力图,图 乘 法,应用举例,图形互乘,例 题 7,载荷系统内力图与单位力系统相同的内力图互乘,弯矩图互乘,求A端的铅垂位移,图 乘 法,应用举例,例 题 2,图形互乘,例 题 7,扭矩图互乘,求A端的铅垂位移,图 乘 法,应用举例,例 题 7,A端的铅垂位移,图 乘 法,应用举例,图形互乘,例 题 7,弯矩图互乘,求A端绕BC 轴线的转角,图 乘 法,应用举例,图形互乘,例 题 7,扭矩图互乘,图 乘 法,求A端绕BC 轴线的转角,应用举例,例 题 7,A端绕BC 轴线的转角,图 乘 法,应用举例,根据所要求的位移，建立相应的单位力系统，要注意：,在哪里加单位力？加什么样

36、的单位力？,分别画出载荷系统内力图单位力偶系统内力图；,只有同一杆上的同一种内力图才能互乘；,图形互乘载荷系统内力图与单位力系统相同 的内力图互乘，需要特别注意：,内力图互乘后要除以与同一内力相对应 的刚度。,图 乘 法,应用举例,能量原理在求解超静定问题上的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,概述,对称性与反对称性的应用,卡氏第二定理在超静定问题上的应用,图乘法在超静定梁或框架上的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,概 述,能量原理在求解超静定问题上的应用,概 述,已有的基础：什么是超静定；求解超静定问题的基本方法；超静定结构的性质。,现在的问题是：,怎样利用对称性和反对称性减少未知

37、力的个数？,能量原理如何应用（用于写变形协调方程，求方程中的位移量）？,能量原理在求解超静定问题上的应用,对称性与反对称性的应用,对称性与反对称性的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,对称结构几何形状、尺寸、材料、约束等 对称于某一对称轴。,对称结构几何形状、尺寸、材料、约束等 对称于某一对称轴。,对称性与反对称性的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,对称结构几何形状、尺寸、材料、约束等 对称于某一对称轴。,对称性与反对称性的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,对称结构的对称变形对称结构在对称 载荷作用下:,对称性与反对称性的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,约束力、内力分量

38、以及变形和位移都是对称的;反对称的内力分量必为零;某些对称分量也可等于零或变为已知。,对称性与反对称性的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,对称结构的对称变形,对称结构的对称变形,对称性与反对称性的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,对称结构的对称变形,对称性与反对称性的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,对称性与反对称性的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,对称结构的对称变形,怎样判断什么样的载荷是反对称的将对称面（轴）一侧的载荷反向，若变为对称的，则原来的载荷便是反对称的。,对称性与反对称性的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,对称结构的反对称变形对称结构在 反对称载荷

39、作用下:,其约束力、内力分量、变形和位移等必须 是反对称的；对称的内力分量、约束力必为零；某些反对称约束力和反对称的内力分量也 可能为零。,对称性与反对称性的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,对称性与反对称性的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,对称结构的反对称变形,对称性与反对称性的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,对称结构的反对称变形,对称还是反对称？,对于扭转问题：根据扭转力偶矢量或扭矩矢量，若矢量对称则为反对称问题，若矢量反对称则为对称问题（所有力偶都如此)。,对称性与反对称性的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,对称结构的反对称变形,对称还是反对称？,对称性与反对

40、称性的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,对称结构的反对称变形,对称性与反对称性的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,对称结构的一般变形,一般变形,对称变形,反对称变形,能量原理在求解超静定问题上的应用,卡氏第二定理在 超静定问题上的应用,以未知力作为已知数，写作出结构的应变能表达式，例如：,根据多余约束处的约束条件，应用卡氏第二定理写出多余约束力必须满足的变形协调方程,能量原理在求解超静定问题上的应用,卡氏第二定理在超静定 问题上的应用,对于直杆：,对于曲杆：,(i=1,2,n),(i=1,2,n),能量原理在求解超静定问题上的应用,卡氏第二定理在超静定 问题上的应用,例 题 8,根

41、据约束性质分析约束力,A、B二处均为铰链，各有两个约束力。,确定超静定次数,431,对称性分析,A、B二处的约束力大小相等、分析相反。,建立变形协调方程,A、B二处的水平相对位移等于零,能量原理在求解超静定问题上的应用,卡氏第二定理在超静定 问题上的应用,根据约束性质分析约束力,确定超静定次数,对称性分析,建立变形协调方程,应用卡氏第二定理,例 题 8,能量原理在求解超静定问题上的应用,卡氏第二定理在超静定 问题上的应用,例 题 8,根据约束性质分析约束力,确定超静定次数：3,对称性分析,建立变形协调方程,应用卡氏第二定理,内约束，通过截开使其变为静定的。,对称面上反对称内力分量等于零,能量原

42、理在求解超静定问题上的应用,卡氏第二定理在超静定 问题上的应用,例 题 8,根据约束性质分析约束力,确定超静定次数：3,对称性分析,建立变形协调方程,解除内约束，通过截开使其变为静定的。,对称面上反对称内力分量等于零,另一种解法,能量原理在求解超静定问题上的应用,卡氏第二定理在超静定 问题上的应用,例 题 8,建立变形协调方程,另一种解法,计算总应变能,其中,能量原理在求解超静定问题上的应用,卡氏第二定理在超静定 问题上的应用,例 题 8,另一种解法,计算总应变能,应用卡氏第二定理,能量原理在求解超静定问题上的应用,图乘法在超静定梁 或框架上的应用,图乘法在超静定梁或 框架上的应用,能量原理在

43、求解超静定问题上的应用,应用图乘法求解超静定问题，只是应用图乘法确定变形协调方程中载荷和未知约束力引起的位移其余过程与一般求解超静定问题完全相同。,图乘法在超静定梁或框架上的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,例 题 9,静定还是超静定？超静定的次数？对称还是反对称？怎样使结构变成静定的？变形协调方程怎样写？,图乘法在超静定梁或框架上的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,例 题 9,图乘法在超静定梁或框架上的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,例 题 9,图乘法在超静定梁或框架上的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,例 题 9,图乘法在超静定梁或框架上的应用,能量原理在求解超静

44、定问题上的应用,例 题 9,图乘法在超静定梁或框架上的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,例 题 10,静定还是超静定？超静定的次数？,装配后会不会产生内力？,图乘法在超静定梁或框架上的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,例 题 10,建立变形协调方程,载荷系统内力图,单位力系统内力图,图形互乘确定,图乘法在超静定梁或框架上的应用,能量原理在求解超静定问题上的应用,载荷系统内力图,单位力系统内力图,图形互乘确定,例 题 10,结论与讨论(2),结论与讨论,关于弹性杆件能量原理的结论；,关于对称和反对称性的判断和应用；,图形互乘法中弯矩图的一种画法；,超静定结构的位移计算。,关于卡氏第二

45、定理的讨论；,结论与讨论,关于弹性杆件能量原理的结论,结论与讨论,关于弹性杆件能量原理的结论,保持力不变，改变位移,保持位移不变，改变力,卡氏第一定理,势能驻值定理,最小势能原理,卡氏第二定理,莫尔方法,图乘法,余能驻值定理,最小余能原理,？,结论与讨论,关于弹性杆件能量原理的结论,能不能用虚位移原理证明虚力原理？,能不能由虚位移原理导出莫尔方法？,结论与讨论,关于卡氏第二定理的讨论,关于卡氏第二定理的讨论,结论与讨论,？,关于卡氏第二定理的讨论,结论与讨论,？,关于卡氏第二定理的讨论,结论与讨论,?,结论与讨论,关于对称和反对称性 的判断和应用,关于对称和反对称性的判断和应用,结论与讨论,怎

46、样判断对称与反对称；,充分利用对称与反对称将复杂问题 简单化：既要满足平衡又要满足变形 协调。,关于对称和反对称性的判断和应用,结论与讨论,对称还是反对称？,有几个未知约束力？,对称还是反对称？,有几个未知约束力？,有几个未知约束力 可以变成已知的？,能不能设计几种反 对称载荷？,关于对称和反对称性的判断和应用,结论与讨论,对称还是反对称？,有几个未知约束力？,有几个未知约束力 可以变成已知的？,变形协调方程怎样写？,关于对称和反对称性的判断和应用,结论与讨论,对称还是反对称？,有几个未知约束力？,有几个未知约束力 可以变成已知的？,关于对称和反对称性的判断和应用,结论与讨论,对称还是反对称？

47、,有几个未知约束力？,有几个未知约束力 可以变成已知的？,关于对称和反对称性的判断和应用,结论与讨论,有几个未知约束力？,有几个未知约束力 可以变成已知的？,变形协调方程怎样写？,对称还是反对称？,关于对称和反对称性的判断和应用,结论与讨论,有几个未知约束力？,对称还是反对称？,怎样利用对称性？,关于对称和反对称性的判断和应用,结论与讨论,超静定次数？,怎样利用对称性？,变形协调方程怎样写？,关于对称和反对称性的判断和应用,结论与讨论,有几个未知约束力？,对称还是反对称？,怎样利用对称性和反对称性？,结论与讨论,图形互乘法中弯矩图的一种画法,D,图形互乘法中弯矩图的一种画法,结论与讨论,采用图形互乘法 求D点处的铅垂位移,分几段？,各段面积的形心怎样确定？,D,图形互乘法中弯矩图的一种画法,结论与讨论,采用图形互乘法 求D点处的铅垂位移,弯矩图容易画；,各段面积和形心容易确定；,结论与讨论,超静定结构的位移计算,超静定结构的位移计算,结论与讨论,以莫尔法和图形互乘法为例,求B点处的水平位移,单位力怎样加？,静定结构,超静定结构的位移计算,结论与讨论,以莫尔法和图形互乘法为例,超静定结构,求B点处的水平位移,单位力怎样加？,哪一种更简单,？,？,本 章 作 业(2),1012，1013,1014；,10251028,谢谢大家,