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1、1,维纳（18941964），美国数学家，控制论的创始人。N.维纳对20世纪的数学发展作出了重大贡献。维纳14(15)岁大学毕业，18岁获哈佛大学哲学博士学位。此后到英国、德国，先后师从罗素、哈代、李特尔伍德和希尔伯特学习。1919年到麻省理工学院任教直至退休。20年代，他在布朗运动理论和位势理论研究方面作出了独创性的具有基本意义的贡献。30年代，他同E.霍普夫共同研究了一类给定在半无穷区间上的带差核的奇异积分方程，提出了维纳-霍普夫方法，现在这类方程称为维纳-霍普夫方程，其理论在多种领域中得到应用。,2,第二次世界大战期间，开始了创建控制论的工作。1948年出版了他的名著控制论：或关于在动物
2、或机器中通讯的科学，对科学界产生了巨大的影响。几十年来，控制论得到了迅速发展，广泛应用于自动理论、计算机程序、决策过程等各个方面。,3,1948年，美国科学家维纳发表控制论，遭到科学界的冷遇，37岁的钱学森却敏锐把握到这一理论的普遍意义，将这一新理论运用到自己的喷气技术研究。1954年，钱学森发表工程控制论一书，开创了一门新的技术科学。多年来，这本著作为世界各国科学家广为引证、参考，成为自动控制领域引用率最高的经典著作。,4,断 章 卞之琳你站在桥上看风景看风景的人在楼上看你明月装饰了你的窗子你装饰了别人的梦 因此引用杨振宁博士的话：“应该多对新的，活的东西，与现象有直接有关的东西感兴趣。”,
3、5,6.2连续过程的维纳滤波 维纳滤波也称为最小平方滤波或者最佳滤波，其基本思想是要设计一个滤波器。一般是根据信号s(t)与噪声n(t)的时域或频域特性，选择适当的脉冲响应函数或系统函数，使得其滤波输出与期望输出之间的误差平方和最小（均方误差最小）。,6,被噪声污染的信号波形恢复称为滤波。大家熟悉的滤波器是采用电感、电容等分立元件构成，它对于滤去某些干扰谱线有较好的效果。对于混在随机信号中的噪声滤波，这种简单的滤波器就不是最佳的滤波电路，这是因为信号与噪声均可能具有连续的功率谱。,7,如下图所示。不管滤波器具有什么样的频率响应K(j)，均不可能做到噪声完全滤掉，使信号波形的不失真恢复。因此，需
4、要寻找一种使误差最小的最佳滤波方法，又称为最佳滤波准则。,8,维纳线性滤波理论是一种在最小均方误差准则下的最佳线性滤波方法。（维纳滤波发展的两个方向）由于维纳滤波器电路实现上的困难，在维纳滤波基础上发展了一种基于状态空间方法的最佳线性递推滤波方法，称为卡尔曼滤波。这种滤波器特别适用于对离散时间序列的实时滤波，可以很方便用计算机处理，因而是近代滤波理论的重要发展，在自动控制领域起到了重要作用。,9,维纳滤波理论的另一发展方向是自适应滤波，它可以自动地调节其自身参数，在设计时，只需要很少的，或根本不需要任何关于信号和噪声的先验统计知识。因此，目前在模型识别、通信信道的自适应均衡、生物医学信号中周期
5、干扰消除等方面均有重要应用。,10,真实信号,观测信号,加性噪声,线性估计问题,最小均方误差(MMSE)估计(minimum mean-square error),估计误差,维纳滤波问题描述,维纳滤波对真实信号的最小均方误差估计.,11,6.2 连续过程的维纳滤波 维纳滤波最基本的概念：从信号加性噪声中尽可能完整地提取信号而最大限度地抑制噪声。实质上是研究维纳滤波器的设计问题。6.2.1最佳线性滤波 观测信号其中，是有用信号；是观测噪声。我们可以对，等信号波形进行估计。为统一分析，将被估计信号波形统一记为，估计结果统一记为。,12,设 和 都是零均值的随机过程，则 的线性估计可以表示为其中，是
6、 时刻 的采样；是加权系数。是采样 的线性加权和。为使估计波形 具有最小均方误差，由估计误差与观测信号的正交性，有由该式可以求出最佳加权系数，从而实现 的最,13,佳线性估计。6.2.2式估计波形 的积分形式表示为这说明，将 输入具有时变脉冲响应为 的线性滤波器，其输出为 的估计为，见图6.1。,14,为使均方误差最小，利用正交性原理，即求解线性时变滤波器的脉冲响应。利用相关函数表示上式，得 该式是实现信号波形线性估计，且均方误差最小,15,的线性时变滤波器的脉冲响应 应满足的积分方程。它能实现非平稳随机信号波形的线性最佳估计（但时变脉冲响应的解比较困难）。估计的均方误差就是估计误差的方差，表
7、示为,16,17,6.2.2 维纳霍夫方程 适用于非平稳随机信号波形最佳估计的线性时变滤波器的 求解困难。为获得实用的结果，进行必要的约束：设 和 都是零均值的平稳随机过程，且二者联合平稳；这意味着观测时间从 开始，而且滤波器是线性时不变。考虑因果系统，滤波器在构造估计信号波形时，只用 时刻及以前时刻的观测信号。这样，线性时不变滤波器的估计 为见图6.2。,18,而(6.2.6)式变为 令,则有,19,该式称为维纳霍夫方程。它是信号波形线性最小均方误差估计的线性时不变滤波器的脉冲响应 应满足的积分方程。这样的滤波器称为维纳滤波器，而由维纳滤波器获得信号波形估计，称为维纳滤波。,20,估计误差的
8、方差为 所以，要实现维纳滤波，需要设计维纳滤波器，这就是维纳霍夫方程的解。,21,6.2.3 维纳霍夫方程的非因果解(6.2.10)式中,限定（正半轴）,即维纳滤波器的脉冲响应满足所以,它是因果系统。如果我们取，包括整个时间轴则系统是非因果的.,22,此时，维纳霍夫方程6.2.10变为,23,故最佳滤波器的系统函数为,24,讨论：若；与 相互统计独立，即，则,25,当噪声为0时，信号全部通过；当信号为0时，噪声全部被抑制；因此维纳滤波确有滤除噪声的能力。,26,27,28,（1）对12的频率范围内，由于Pn()=0，一定有|H（)|=1，表示由于没有噪声，故滤波器增益为1，从而保证信号不失真。
9、其次，在这段频率内，均方误差的积分值为零。,29,（2）对3的频率范围内，由于Ps()=0，一定有H()=0，表示由于没有信号，故滤波器增益为零，从而完全阻止噪声通过。同样在这段频率内，均方误差的积分值也为零。,30,（3）对23的频率范围内，由于Ps()及Pn()均不为零，则|H()|1，这一方面要防止噪声通过，又要保证信号通过。因此随着增加，Pn()逐渐加大，|H()|逐渐减小，直至为零。,31,估计误差的方差为,32,33,34,35,重叠部分的影响,36,可见，维纳滤波能够实现信号波形的线性最佳估计。非因果的维纳滤波器是物理不可实现的。讨论目的：加深对维纳滤波概念理解；提供了维纳滤波均
10、方误差的下界，作为比较的参考标准。,37,例 s(t)为马尔科夫过程，其功率谱密度为,观测噪声n(t)为白噪声，其Pn()=1，求维纳滤波器的H()及h(t)。,38,解 已知,因此有,其最小均方误差为式,39,下面，计算冲激响应h(t)，对H（)作傅里叶变换得,40,6.2.4 维纳滤波器的因果解 1.重写维纳霍夫方程,41,6.2.4 维纳滤波器的因果解 2.分析:求解 的困难在于约束 若,则。这意味着，若 是自相关函数为的白过程，则。积分方程就可以直接求解。,42,通常，是非白过程，但上述结果提醒我们：若将非白过程 首先通过白化滤波器 变为白过程，然后针对白过程，设计维纳滤波器，则维纳滤
11、波器的因果解为,43,如图6.4所示。下面讨论白化滤波器 和滤波器 的设计问题。,44,3.白化滤波器 的设计 若观测信号 是具有有理功率谱 的平稳随机过程，则用复频域表示为式中，的所有零极点在s平面的左半平面；的所有零极点在s平面的右半平面。,45,如要求白化滤波器能够将非白化过程白化，则则其输出 是白过程。因为而,46,所以，有从而得白化滤波器的系统函数4.滤波器 的设计 求解 的积分方程为其中，。所以,47,于是，为式中，表示取 中零极点在 平面左半平面的部分，这是由 决定的。因为,48,两边取拉普拉斯变换，得这样，维纳滤波器的系统函数 为 估计的均方误差为 下面我们通过例子来说明维纳滤
12、波器的问题。,49,例6.2.1 设线性时不变滤波器输入的观测信号x(t)是平稳随机过程，其功率谱为设计物理可实现的白化滤波器，它的输出功率谱密度为1。,50,解所以 该白化滤波器由微分器和常增益器并联组成。,51,例6.2.2 设随机信号 加白噪声 通过一线性滤波器。已知 和 的自相关函数分别为现考虑 的波形估计问题，要求估计的均方误差最小。设计该滤波器，并计算波形估计的均方误差。,52,解 据题意，待估计的波形，是维纳滤波问题。首先对 和 进行双边拉普拉斯变换，得 令,53,则故有又有 然后求维纳滤波器的系统函数 和均方误差。非因果的维纳滤波器,54,因果的维纳滤波器,55,例6.2.3维
13、纳预测和平滑问题。设随机信号 加白噪声 都是均值为0的平稳随机过程，二者互不相关。自相关函数分别为试求估计波形 及均方误差。,56,6.3 离散过程的维纳滤波,57,6.3.1 离散过程的维纳霍夫方程,58,59,60,离散形式,连续形式,61,62,离散过程的维纳-霍夫方程（因果关系）,63,6.3.2 离散维纳滤波器的解离散维纳滤波器的z域解(频域)A 因果解 B 非因果解离散维纳滤波器的时域解,64,1 离散维纳滤波器的z域解(非因果解),65,66,67,可以看出，维纳滤波的最小均方误差不仅与观测（输入）信号的功率谱有关，而且和噪声和信号功率谱的乘积有关，也就是说，最小均方误差与信号和噪声功率谱的重叠部分的大小有关。,68,69,2 离散维纳滤波器的z域解(因果解),70,1,71,对于非白色序列,72,73,3 离散维纳滤波器的时域解,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,例6.3.1（教材398页）,84,例6.3.2（教材399页）,85,维纳霍夫方程的解,86,维纳滤波器的缺点必须知道信号和噪声的二阶统计量；必须知道H，并通过积分求出输出；只能适应于平稳随机过程，非平稳随机过程不能计算；输入条件变化时，要求重新计算H等。,
