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1、,二次函数的三种解析式,求 法,二次函数的三种解析式,1.一般式 y=ax2+bx+c(a0）,3两根式 y=a(x-x1)(x-x2),2.顶点式 y=a(x-h)2+k,二次函数解析式一般式：,配方后得：即,其中，顶点坐标为,二次函数解析式顶点式：其中顶点坐标为（h,k）,已知：一次函数的图象交y轴于点（0，-1），交抛物线y=x2+bx+c于顶点和另一点（2，5），试求这个一次函数的解析式和b、c的值。,例一,点拔：,设一次函数的解析式为y=kx+n,y=3x-1,抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为,1、已知：抛物线y=ax2+bx+c过直线 与x轴、y轴的交点，且过（1，1），求抛物
2、线的解析式；,练习一：,分析：,直线 与x轴、y轴的交点为（2，0），（0，3）则：根据题意可得,已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（-5，0）、（0，）（1，6）三点，直线L的解析式为y=2x-3，（1）求抛物线的解析式；（2）求证：抛物线与直线无交点；（3）若与直线L平行的直线与抛物线只有一个交点P，求P点的坐标。,练习二,点拔：（1）,（2）证抛物线和直线的解析式组成的方程组无解,（3）设与L平行的直线的解析式为y=2x+n,则：此直线和抛物线的解析式组成的方程组只有一个解。即=0,已知：二次函数y=ax2+bx+c有最大值，它与直线 y=3x-1交于A（m，2）、B（n，5），且其中
3、一个交点为该抛物线的顶点，求（1）此二次函数的解析式；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大。,分析：,先求出A、B两点的坐标：A（1，2）、B（2，5）,若A（1，2）为顶点：,设解析式为y=a(x-1)2+2,5=a+2 a=3,又函数有最大值,a=3不合题意,舍去.,若B（2，5）为顶点：,设解析式为y=a(x-2)2+5,2=a+5 a=-3,则解析式为y=-3(x-2)2+5,例题二,已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为P（-2，9），且与x轴有两个交点A、B（A左B右），SABp=27，求：（1）二次函数的解析式；（2）A、B两点的坐标；（3）画出草图；（4）若抛物线与
4、y轴交于C点，求四边形ABCP的面积。,练习三,(1)y=-x2-4x+5,(2)A(-5,0),B(1,0),(4)S=30,2、把抛物线y=ax2+bx+c向下平移1个单位，再向左平移5个单位时的顶点坐标为（-2，0），且a+b+c=0，求a、b、c的值。,练习四,点拔：,设原抛物线的解析式为y=a（x-m）2+n,则平移后抛物线的解析式为y=a（x-m+5）2+n-1,根据题意得：,y=a（x-3）2+1=ax2-6ax+9a+1,a-6a+9a+1=0,3、已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：（1）求此抛物线的解析式；（2）当x取何值时，y0？（3）将抛物线作怎样的一次平移
5、,才能使它与坐标轴仅有两个交点,并写出此时抛物线的解析式。,x,y,o,A,B,D,C,-1,5,-2.5,例题三：,如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及C点，（1）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点D，使SOCD=SOCB，若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。,例四：,（1）y=x+4,A（1，5）,y=-x2+6x,4、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及C点，（1）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点D，使SOCD=SO
6、CB，若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。,（1）y=x+4,y=-x2+6x,（4，8）,（6，0）,4、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及C点，（1）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点D，使SOCD=SOCB，若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。,y=-x2+6x,（4，8）,（6，0）,（2）SOCB=24,设点D坐标为（x，y）,y=12,例五：抛物线与x轴交点的横坐标是方程 的两个根,与y轴交点的纵坐标是方程 的正整数解。求此二次函数的解析式。,解：抛物线与x轴交点横坐标是 的两个根,设 即
7、,又 得,与y轴交点纵坐标是正整数解 交点（0，2）,把（0，2）代入 a=2,即,例六求满足下列条件的抛物线的解析式,(1)经过点A（2，4），B（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2,解：B（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2,抛物线与x轴的另一个交点坐标为C（-3，0）或C（1，0）,设抛物线的解析式为y=a（x-x1）（x-x2）,当抛物线经过B、C三点时，解析式为y=a（x+1）（x+3）,又抛物线经过A（2，4）,4=a（2+1）（2+3）,当抛物线经过B、C 三点时，解析式为y=a（x+1）（x-1）,B,-1,-3,1,C,C,a=,y=（x+1）（x+3）,例题七：当x=-1时,y 有最小值-4,抛物线与 x轴的交点的横坐标为,且,求解析式。,解：当 x=-1 时，y有最小值 4 开口向上,顶点（-1，4）设解析式为,抛物线与x轴交点坐标为 令y=0 即,2a+8=10a a=1,课堂小结：,1.抛物线的三种解析式？,3.各种解析式对称轴、顶点坐标求法？,2.如何选择这三种解析式求抛物线的解析式？,4.二次函数的最值的求法？,5.抛物线的平移规律？,
