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1、现代电路理论,非线性电路与混沌,任课教师黄丽莲哈尔滨工程大学21号楼210Email:Tel:82519803-603 13946083155,参考书目：,(1)杨晓松 李清都.混沌系统与混沌电路.北京：科学出版社.2007(2)高金峰.非线性电路与混沌.北京：科学出版社.2005(3)韩茂安 顾圣士.非线性系统的理论和方法.北京：科学出版社.2001(4)刘秉正 彭建华.非线性动力学.北京：高等教育出版社.2004(5)邱关源 现代电路理论.北京：高等教育出版社.2004,非线性电路中的混沌现象引言非线性电路的分岔非线性电路中的拟周期现象非线性电路中的混沌现象混沌及其特征引言混沌的定义李亚普
2、诺夫指数混沌产生的机理与条件3.Lorenz系统梅利尼科夫方法RLC串联电路中的混沌,席尼尔科夫定理及其应用席尼尔科夫定理席尼尔科夫意义下的混沌电路考毕兹振荡器6.常用数值方法引言牛顿拉弗森方法解轨线（轨道）积分算法频谱分析及相关数据处理李亚普诺夫指数计算7.典型混沌电路分析示例电路模型与方程平衡点及其稳定性Hopf 分岔与中心流形,8.席尼尔科夫意义下的混沌特征值和特征空间同宿轨道及其计算席尼尔科夫意义下的混沌9.拓扑等价与拓扑共轭10.计算机模拟和电路实验,1.1 引言,非线性动态电路的稳态解有四种形式，除了前面介绍的平衡点、周期解两种形式，另外两种形式分别是拟周期解与混沌解。电路中的拟周
3、期解早已为人们所了解，但非线性电路中的混沌解只是在近20年才为人们所认识。,长期以来，人们认为一个确定的电路中，其解也是确定的，即在两组相近的初始条件下，其解也是相近的。这里所谓确定的电路，是指电路中的所有元件参数全是确定的，不包含任何随机因素。,但在近20年中发现，确定的非线性电路中存在着一种特殊的稳态解，该种形式的解既不是周期的，也不是拟周期的，而是在一定区域内永不重复类似随机的振荡。这种振荡对初始值极端敏感，不能从任一点预测未来的振荡行为，这种非线性电路的解就称为混沌。,一个非线性电路产生周期、拟周期或混沌振荡，必须满足一定的电路参数条件。同一个非线性电路不同的参数，其解也不会一样。当非
4、线性电路的参数发生变化，引起电路解的性质发生质的变化，例如由平衡点解变为周期振荡解,这种解的质的变化就称为分歧(bifurcation)或分岔，引起变化的参数称为分歧参数。,由于非线性电路中的分歧现象与非线性电路中产生拟周期解与混沌有密切的关系，本章将非线性电路中的分歧现象与拟周期解及混沌一并介绍。,1.2 非线性电路的分岔,当电路参数发生改变，特别是微小的改变时，就能引起电路的解或相图发生质的变化。这种现象在非线性动力学理论中称为分歧。能引起解发生质的变化的参数称为分歧参数，产生质的变化的参数值称之为分歧点。在特定的非线性电路中，电阻、电容、电感、放大器的放大倍数等都可能是分歧参数。,非线性
5、电路中的分歧问题可以分为静态分歧、动态分歧，也可以按局部分歧和全局分歧分类。静态分歧：是指系统的平衡点数目和稳定性的变化。动态分歧：是指在相平面上轨道定性性质的变化。局部分歧：是讨论平衡点或轨道附近相图的拓扑结构 的变化。全局分歧：是研究大范围内拓扑结构的变化。,静态分歧又可以分为平衡点的鞍结分歧、跨临界分歧、叉式分歧等等。动态分歧可以分为霍普夫分歧、闭轨分歧、环面分歧、同宿或异宿分歧等等。下面以几个典型的例子来讨论分歧现象。,首先应注意的是，无论是静态分歧或者是动态分歧中的霍普夫(Hopf)分歧，只有平衡点是非双曲平衡点时，才会有分歧现象发生。非双曲平衡点意味着非线性电路对应的线性化方程系数
6、矩阵至少有一个具有零实部的特征值。,为了说明上述不同的分歧情况，考虑一阶电路如图1-1所示，非线性电阻的伏安特性为压控的，且i=v2，以电容电压（vc=v）为状态变量的电路方程为,图1-1 具有鞍结分歧的电路,即,令 时，有,（7-1）,可见该电路的平衡点随参数 的变化而变化。特别当 0时，x=0是该电路的一个非双曲平衡点。平衡点随参数 变化，由式 给出，可以用平衡点随分歧参数变化的图1-2表示。这种平衡点或方程的解随分歧参数变化的图称为分歧图。,图1-2 鞍结分歧,由图1-2可见，当 0时，有二个平衡点，分别为。容易判断 是稳定的，是不稳定的。这表示参数 产在=0的附近变化时，电路平衡点的个
7、数和轨道都发生了定性的变化，即发生了分歧，分歧点是（x，）=（0，0）。这种分歧称为鞍结分歧。,鞍结分歧过程可以从电路的工作点的变化过程来解释。按照工作点的求解方法，将图1-1中电容开路，有图1-3(a）所示电路及图1-3(b)求工作点的示意图。,从图1-3(b)可以看出，当电流源电流IS0时，有两个工作点。且工作点Q1处的动态电阻为正值，所以，该工作点是稳定的；工作点Q2处的动态电阻为负值，该工作点是不稳定的。,图1-3 静态工作点及求解电路,这种分歧称为鞍结分歧的原因如下：对 0时，有两个平衡点，这两个平衡点一个是稳定结点，一个是鞍点。,为了能清楚地表明鞍结分歧相图的变化，考虑图1-4所示
8、二阶电路。此电路是图1-1所示一阶电路增加了一个RL电路，仍设非线性电阻的伏安特性为iv2，以电容电压和电感电流为状态变量列出状态方程：,取归一化值，设，则有：,(1-2),当 0时，式（1-2）有非双曲平衡点。由于式（1-2）的第二式特征值实部不为零，因此其分歧由式（1-2)的第一式决定。但相平面上的鞍结点变化过程可以清楚地表示出来，如图1-5所示。,图1-4 鞍结分歧,图1-5 鞍结分歧相图,过临界分歧可以用图1-6所示一阶电路来说明，电路的非线性电阻的伏安特性为压控且 iv2，以电容电压为状态变量的方程为,图1-6 过临界分歧 一阶电路,即,令，则有,（1-3）,式（1-3）在 0时，x
9、=0的点是一个具有零特征值的非双曲平衡点。平衡点随参数变化，由式 给出，如图1-7所示。,图1-7 过临界分歧,从图中可见，当 0时，与 0时相同，有两个平衡点。但平衡点的稳定性质发生了转换，x1=0变成了不稳定平衡点，x2是稳定的平衡点。在=0的邻域内 发生变化时，会导致平衡点的个数和稳定性发生变化，因此，点（x，）=(0,0)就是分歧点，这种分歧称为过临界分歧。,与鞍结分歧相同，分歧过程也可以用电路静态工作点的概念解释。当电容用开路代替后，受控源和非线性电路的伏安关系分别画于图1-8。当 0时，仅有工作点Q0，当 0时，有工作点Q0和Ql，且Ql处的动态电阻为正值；当 0时，有工作点Q2和
10、Q0，且Q2处的动态电阻为负值。这说明了平衡点稳定性质转变的本质。,图1-8 静态工作点,讨论叉形分歧的电路仍如图1-6所示，但非线性电阻的伏安特性为iv3；以电容电压为状态变量时，状态方程为,同时令，有如下方程,（1-4）,可以验证点（x，）=（0,0)是具有零特征值的非双曲平衡点。当 时电路的平衡点随参数 变化，由式 给出，如图1-9所示。当 0时，电路有一个平衡点，x0，且是稳定平衡点；当 0时，x0也是一个平衡点，仍是稳定的；当 0时，电路有3个平衡点，这3个平衡点分别是 和；,此时，不仅平衡点的个数发生了变化，而且稳定性也发生了变化，时的x=0的平衡点在过分歧点后，由稳定变成了不稳定
11、，并产生了两个新平衡点；新产生的两个平衡点是稳定的。由于随 的变化，稳定的平衡点在x-平面上描出的曲线像一把叉子，因此称为叉形分歧。对应叉形分歧的电路的静态工作点随产的变化求解过程如图1-10所示。,图1-9 叉形分歧图,图1-10 叉形分歧静态工作点,当 时，仅有工作点Q0；当 0时，有3个工作点，即Q0，Ql和Q2。由于Q1和Q2处的动态电阻都为正值，所以工作点是稳定的。Hopf分歧可以用RC正弦振荡器说明。图1-11所示为移相式RC振荡电路，当电路中反相放大器的电压放大倍数k29时，该电路中将产生稳定的正弦振荡，振荡频率，荡幅度大小由放大器的饱和特性决定。,为用分歧理论分析该电路，设放大
12、器的转移特性为,显然m0时，放大器是线性的，且是反相的，放大倍数为k。式中引人的非线性项是为了使放大器具有饱和特性。分别以3个电容电压为状态变量列出状态方程,（1-5）,图1-11 滞后移相振荡电路,将放大器的转移特性代入上式，并令 将时间归一化后，有,（1-6）,点（v1,v2,v3）=(0,0,0)是该电路的唯一平衡点。在平衡点处的线性化方程为,系数矩阵的特征方程为,（1-7）,当k=29时，有一对实部为零的共扼复特征值。即k=29时，平衡点为非双曲平衡点；当k0，此时平衡点为渐近稳定双曲平衡点；,当k29时，但a（k）0,即平衡点为不稳定双曲平衡点。显然k29是一个分歧点，当k从k29时
13、，相图的定性性质发生了质的变化。除平衡点的移定性质变化外，还从平衡点分歧出极限环，即产生周期振荡，这种分歧称为Hopf分歧。放大器放大倍数k是分歧参数，当k 29时出现周期振荡，振荡的周期。式中的 为特征方程式在k=29时的纯虚根的模值。,1-3 非线性电路中的拟周期现象,非线性动态电路的解除了平衡点、周期解外，还有一种可以用解析函数表达的解，即拟周期振荡。图7-12所示线性电路中有两个正弦激励源，其角频率分别是 和。线性电路的微分方程可以写为,上式可以改写为,（1-8）,式中 分别为两个激励的等效振幅。,图1-12 两个激励的RLC电路,电路的稳态响应为,（1-9）,上式表明，线性RLC电路
14、的稳态响应由两个周期振荡合成。但由于两个周期振荡的频率比为一无理数，因此，其合成响应不是周期的。另一方面，任给一个，可以找到两个整数m和n，使得 成立。因而式（7-9)可以写为,（1-10）,上式前两项之和为一周期响应，周期为。,式（1-10）表示的响应则不是周期的，但与周期为 的周期响应相差无几。故式（1-9）表示的响应称为拟周期响应。拟周期函数的数学定义为：如果连续函数f(t)满足下列条件：（1）对任意给定的正小数，存在一个称为转移数 的集合，使得 成立；（2）存在一个依赖于 的长度L()，使得在任何一个时间区间ataL上至少包含一个转移数，就称f(t)为拟周期函数。,粗略地讲，拟周期函数
15、可以用具有不可通约频率的傅里叶多项式表示。周期激励下的范德坡振荡电路如图1-13所示，非线性电阻的伏安特性为,以电容电压为变量的电路方程为,令，则电路方程可归一化为,（1-11）,将上式写成状态方程形式，并令，得,（1-12）,其中。,式(1-12)是自治方程。显然，当外激励的振幅等于零时，式(1-12)仍将产生一个角频率等于1、振幅等于2的自激振荡解。由式中的归一化参数关系可以看出，反映了频率失调的大小，即外加激励的频率偏离自激振荡频率的程度。当 较小时，式(1-12)可以看成所谓弱非线性系统，其响应的振幅变化比较缓慢，可以用平均法求得其近似解析结果。,现在讨论 时的情况，设解为,（1-13
16、）,用平均法，可以得到关于a(t)，b(t)的自治状态方程,（1-14）,其中，是随时间变动的振幅。当式（1-14)中的 时，得到平衡点的约束方程，令平衡点为，则,为求解上式，将上两式分别平方后相加，得,（1-16）,（1-15）,式中，是振荡的不变振幅。由 的意义可知，当式(1-14)的平衡点稳定时，意味着式(1-12)有稳定的周期解；当平衡点不稳定时，则式（1-12)的解是不稳定的。若平衡点是一个非双曲平衡点，随着电路参数（F,）的变化，有可能会产生分歧现象。特别是式（1-14)出现Hopf分歧时，a（t）和b（t）将以周期形式变化，式（1-12）的解式（1-13)将会出现和频、差频及拟周
17、期振荡。,当式（1-14）发生Hopf分歧时，将出现稳定的极限环，即a（t）和b（t）将是角频率为的周期解。由于x(t)a(t)cos tb(t)sin t，则按照三角函数的和差化积公式，x(t)中将会出现和频与差频项，其频率是 和。若去归一化，电路中将有 和 频率的分量存在。当 是有理数时，解是周期的；当 是无理数时，解就是拟周期的，即解中将会出现至少两个不可通约的频率分量。,7-4 非线性电路中的混沌现象,非线性电路中的平衡点、周期解及拟周期解有如下共同的特征：（1）完全确定性。只要给定初始状态，可以精确地预测之后任一时刻的行为。（2）如果解是稳定的，则当初始状态有任何微小的变动时，相应的
18、解的状态改变也很微小，即运动状态对初始值不敏感。（3）无论是周期振荡或者是拟周期振荡，它们的频谱都是离散的。周期振荡信号的频谱各频率之比均为有理数，拟周期振荡信号的频谱各频率之比为无理数。,（4）对于周期激励的电路，无论解是周期振荡或者是拟周期振荡，当选取激励信号的周期作等间隔横截其响应时，周期信号在横截面上表现为一个点，或m个点，一个点称为周期1，m个点称为周期m；拟周期信号则是一个无限填充的封闭椭圆。这种横截面称为庞卡莱截面。,长期以来，人们认为对于非线性系统，确定性激励只能引起确定性响应，随机性激励只能引起随机性响应。混沌现象的发现使人们惊奇地看到，确定性激励或确定性系统竟然可以引起或产
19、生某种随机性响应。随着其他学科中混沌现象的发现和深入研究，非线性电路中的混沌研究始于20世纪80年代初。,1981年Linsay最初报道了图1-14所示周期激励下的电阻、电感与变容二极管串联电路中的混沌现象。该电路中当周期激励的频率固定，振幅从一定值增加时，变容二极管两端的电压输出将会产生所谓周期1、周期2、周期4,直至混沌的响应。周期n就意味着电路的输出信号的周期是激励信号周期的n倍。如果以激励的振幅作为横轴，等激励周期横截输出信号所得的点为纵轴，可得到图1-15所示倍周期分歧图。,图1-14 变容二极管混沌电路,图1-15 倍周期分歧图,粗略地讲，非线性电路的混沌或混沌振荡是指确定性电路中
20、产生的不确定、类似随机的输出。所谓确定性电路是指电路的参数和输入都为确定值，没有随机因素。所谓不确定、类似随机的输出是指电路的输出既不是周期的，又不是拟周期的；既不趋于无穷、又不趋于静止，而是在一定区域内永不重复的输出。,这种性质的输出与平衡点，周期解和拟周期解相比有如下几个特征：（1）不确定性。即在给定的初始状态下，不能精确预测它在其后任一时刻的行为。（2）对初始值的极端敏感性。任意靠近两个初始值出发的轨道在一定的时间间隔内将会以指数方式分离。初始值的极其微小的改变，可以使振荡的输出产生本质的差异。这种差异绝不是计算误差形成的，而是非线性电路的固有特性。,（3）周期或拟周期振荡信号的频谱是离
21、散谱。混沌振荡输出信号则是一定频率范围内的连续谱。（4）周期或拟周期振荡的庞加莱映射是点或无限填充的封闭的椭圆线。但混沌振荡对应的庞加莱映射在庞加莱截面上的表现，则是杂乱无章的点集合。,除了前述的这四个特征外，还有一个定量描述混沌的统计量正的李雅普诺夫指数。李雅普诺夫指数与非保守系统或称为耗散系统中的“吸引子”概念相联系的。当一个电路是耗散系统时，意味着电路中有最终消耗能量的正电阻存在。随着时间的增加，相空间中的轨道都向某一定的区域逼近，它就是吸引子。在非保守系统中可能有许多吸引子，向其中某个吸引子趋向的点集合称为该吸引子的吸引盆。在某吸引子的吸引盆中不会有其他吸引子。,在相空间中，吸引子共有
22、4种类型：(1)平衡点（不动点）(2)周期吸引子(3)拟周期吸引子(4)混沌吸引子（也称奇怪吸引子）,吸引子可以在任意阶的电路中出现，但混沌吸引子只可能在三阶或高于三阶的动态电路中出现，而且它是整体稳定（耗散能量消耗、最终无源）和局部不稳定（双曲、局部有源）相结合的产物。在相空间的表现是“伸长”和“折叠”。,图1-16所示分别从相互靠近的两点1，2出发的轨道随时间演化的过程可以清楚地说明问题，由于混沌对初始条件的极端敏感，随着时间的增加，相互靠近的相点1,2很快分开，它们之间的距离按时间的指数方式增加，即相点的距离伸长了。正的李雅普诺夫指数定量描述了这种伸长效应。,图1-16 混沌轨道的“伸长
23、”与“折叠”,由于轨道是整体吸引的，局限在有限的区域内的轨道又要折转回来，即“折叠”。否则，相空间中的点将会趋于无穷远处。显然，对于连续的轨道而言，在二维相平面中是没有“折叠”的余地的。因而混沌只能出现在三阶自治或二阶非自治以上的动态电路中。,随着非线性电路研究的深入，目前已有很多产生混沌的实际电路及用于研究混沌产生机制的电路的报道。混沌现象广泛地存在于非线性电路中，比较典型并已得到深入研究的电路是二阶非自治铁磁谐振电路和称为蔡氏电路的三阶自治电路。二阶非自治铁磁谐振电路如图1-17所示。当非线性电感的韦安特性用三次多项式表示时，可以得到归一化方程为：,图1-17 铁磁谐振混沌电路,式中x代表
24、归一化磁通链，y代表归一化电容电压。该方程即是Duffing方程。设方程中的阻尼因子k 0，固定外加激励的频率，但改变其振幅，将在以电容电压和电感电流为状态变量形成的相平面上观察到图1-18所示吸引子。若以外加激励的周期为间隔形成庞加莱截面，获得的图形将如图1-19所示。,图1-18 x-y平面上的混沌吸因子,图1-19 混沌的庞加莱截面,从图1-18可以看出，混沌状态下的相轨道在相平面上既不趋于平衡点又不发散而是在一定区域内无限填充、游荡。从图1-19可以看出，混沌在庞加莱截面上表现为永不重复的没有任何规律的点集合。,蔡氏电路如图1-20(a)所示。电路中的非线性由一个分段线性的负电阻引入，
25、非线性电阻的伏安特性如图1-20(b)所示。电路方程为：,图1-20 蔡氏电路及分段线性电阻,当电路的参数满足一定的条件时，将会产生称为双涡卷的自激振荡吸引子。一个典型的吸引子如图1-21所示。图1-22和1-23分别给出了蔡氏电路中电容C1的电压的时域波形和对应的频谱。从图中可以清楚地看出混沌振荡的非周期性和频谱的宽带性。,图1-21 双涡卷吸引子,图1-22 电容电压的时域波形,图1-23 电容电压频谱,由于非线性电路中混沌解的特殊性，目前分析研究混沌的方法主要有如下几种：（1）应用非线性动力学理论对其定性性质进行研究，以确定混沌产生的机制并在一定条件和特定电路中得到出现混沌的可能参数范围；（2）使用计算机对非线性电路的解进行数值计算，以获得特定参数、初始值下的电路的数值解，进而可以得到相图、频谱、李雅普诺夫指数等用来判别混沌特征的信息。,（3）直接进行实验，在实验中对混沌的各种现象进行观察、分析。显然，用实验方法研究非线性电路中的混沌具有其他学科不可替代的优势，因为需要研究分析的对象已经是电信号，而不再需要各种转换用的传感器。因此，非线性电路的混沌研究，具有广泛的意义。,
