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1、第十章 电荷和静电场,1,10-3 高斯定理,10-1 电荷和库仑定律,第十章 电荷和静电场,10-2 电场和电场强度,10-4 电势及其与电场强度的关系,10-5 静电场中的金属导体,10-6 电容和电容器,10-7 静电场中的电解质,10-8 静电场的能量,2,10-1 电荷的量子化及电荷守恒定律,原子是电中性的?自然界中有两种电荷：正电荷、负电荷。,一、电荷(charge),电荷量子化是个实验规律,实验证明微小粒子带电量的变化是不连续的，它只能是元电荷 e 的整数倍,即粒子的电荷是 量子化的：Q=n e;n=1,2,3,1.电荷的种类,3,10-1 电荷的量子化及电荷守恒定律,2.电荷守
2、恒,一个与外界没有电荷交换的孤立系统，无论发生什么变化，整个系统的电荷总量(正、负电荷的代数和)必定保持不变。这个结论称为电荷守恒定律，它是物理学中具有普遍意义的定律之一，也是自然界普遍遵从的一个基本规律。它不仅适用于宏观现象和过程，也适用于微观现象和过程。,4,自然界中的微观粒子有几百种,其中带电粒子所具有的电荷数均为+e 或-e 的整数倍。因此电荷量子化是普遍的量子化规律。现代实验结果证明电荷量子化具有相当高的精度。,在近代物理中发现强子(如质子、中子、介子等)是由夸克(quark)构成的，夸克所带电量为e的1/3或2/3。但是到目前为止还没有发现以自由状态存在的夸克。电量的最小单元不排除
3、会有新的结论，但是电量量子化的基本规律是不会变的。,在相对论中物质的质量会随其运动速率而变化，但是实验证明一切带电体的电量不因其运动而改变，电荷是相对论性不变量。,10-1 电荷的量子化及电荷守恒定律,5,3.电荷特点 电荷只有两种，即正(+)电荷和负()电荷；电荷是量子化的，任何物体所带电荷的量不可能连续变化，只能一份一份地增加或减少，这种性质称为电荷的量子化。电荷的最小份额称为基本电荷，常用e表示；微观粒子所带电荷普遍存在一种对称性，即对于每一种带正电荷的微观粒子，无一例外地，必然存在与之相对应的、带等量负电荷的另一种微观粒子；遵从电荷守恒定律；电荷是相对论性不变量，即粒子所带电量与它的运
4、动速率无关。,10-1 电荷的量子化及电荷守恒定律,6,二、库仑定律(Coulomb law),在真空中两个相对于观察者静止的点电荷之间的相互作用力的大小与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比,方向沿两电荷的连线,同号相斥,异号相吸,库仑力满足牛顿第三定律,其中 为q1 指向q2 的矢量,设q2 受到 q1 的作用力为F12 则：,当q2 与q1 异号时,F12 与r12 方向相反,10-1 电荷的量子化及电荷守恒定律,7,是国际单位制中的比例系数,称为真空电容率或真空介电常量。,自然界存在四种力：强力、弱力、电磁力和万有引力,把10-15m的尺度上两个质子间的强力的强度规定为
5、1,其它各力的强度是：电磁力为102，弱力为109，万有引力为1039。在原子、分子的构成以及固体和液体的凝聚等方面，库仑力都起着主要的作用。,10-1 电荷的量子化及电荷守恒定律,只适用于描述两个相对于观察者为静止的点电荷之间的相互作用,8,例1：三个点电荷q1=q2=2.010-6C,Q=4.010-6C，求q1 和 q2 对Q 的作用力。,10-1 电荷的量子化及电荷守恒定律,9,10-1 电荷的量子化及电荷守恒定律,例2：两个相同的小球质量都是m，并带有等量同号电荷q，各用长为l的丝线悬挂于同一点。由于电荷的斥力作用，使小球处于图示的位置。如果角很小，试两个求小球的间距x为多少？,例3
6、：两大小相同的球,质量均为m,并带相同的电荷q,一长度为l的丝线悬挂,如图所示,设较小,tg可以近似用sin表示,则平衡时两球分开的距离x约等于(其中),10,10-1 电荷的量子化及电荷守恒定律,例4：两个点电荷所带电荷之和为Q，问问它们各带电量为多少时，相互间的作用力最大？,1、两个同号电荷所带电量之和为Q，问它们各带电量为多少时，其间相互作用力最大A、q1=Q/2;q2=Q/2B、q1=Q/4;q2=3Q/4C、q1=-Q/4;q2=5Q/4D、q1=-Q/2;q2=3Q/22、将某一点电荷Q分成两部分，让它们相距为1米，两部分的电量分别为q1和q2，两部分均看作点电荷，要使两电荷之间的
7、库仑力最大，则q1和q2的关系是：A:q1=2q2B:2q1=q2 C:q1=q2 D:q1q2,思 考,11,10-1 电荷的量子化及电荷守恒定律,3、两个带有等量同号电荷，形状相同的金属小球A和B相互之间的作用力为f，它们之间的距离远大于小球本身的直径。现在用一个带绝缘柄的原来不带电的相同的金属小球C去和小球A接触，再和B接触，然后移去，则球A球B之间的作用力变为(a)f/2(b)f/4(c)3f/8(d)f/10,12,10-2 电场和电场强度,一、电场(electric field),1.在电荷周围空间存在一种特殊物质，它可以传递电荷之间的相互作用力，这种特殊物质称为电场。静止电荷周围
8、存在的电场，称静电场，这就是所谓的近距作用。,2.任何进入该电场的带电体，都受到电场传递的作用力的作用，这种力称为静电场力。,3.当带电体在电场中移动时，电场力对带电体作功,表明电场具有能量。,实验表明电场具有质量、动量、能量，体现了它的物质性。,13,二、电场强度(electric field intensity),物理意义,1.试探电荷：q0 是携带电荷足够小；占据空间也足够小的点电荷，放在电场中不会对原有电场有显著的影响。,2.将正试探电荷q0放在电场中的不同位置，q0受到的电场力 F 的值和方向均不同,但对某一点而言 F 与 q0 之比为一不变的矢量，为描述电场的属性引入一个物理量电场
9、强度(简称为场强）：,10-2 电场和电场强度,14,3.单位：在国际单位制(SI)中,电场是一个矢量场(vector field),电荷在场中受到的力：,电场中某点的电场强度的大小，等于单位电荷在该点所受电场力的大小；电场强度的方向与正电荷在该点所受电场力的方向一致。,10-2 电场和电场强度,15,三、电场强度的计算,1.点电荷的电场强度,10-2 电场和电场强度,思考：r0;E?,16,2.多个点电荷产生的电场,电场中任何一点的总场强等于各个点电荷在该点各自产生的场强的矢量和。这就是场强叠加原理。,若空间存在n个点电荷q1,q2,qn 求它们在空间电场中任一点P 的电场强度：,ri 是点
10、P 相对于第i 个点电荷的位置矢量。,10-2 电场和电场强度,17,3.任意带电体产生的电场,将带电体分成很多电荷元dq,先求出它在空间任意点 P 的场强,对整个带电体积分,可得总场强：,以下的问题是引入电荷密度的概念并选取合适的坐标，给出具体的表达式和实施计算。,10-2 电场和电场强度,18,体电荷分布的带电体的场强,面电荷分布的带电体的场强,线电荷分布的带电体的场强,电荷的体密度,电荷的面密度,电荷的线密度,10-2 电场和电场强度,19,10-2 电场和电场强度,有一球形气球，电荷均匀分布在其表面上，在此气球被吹大的过程中，球内、球外电场强度的变化是：,思 考,虽然球内外电场不变，但
11、球内空间变大，故空间电场分布还是变化的。,20,10-2 电场和电场强度,例5：有两个点电荷，电量分别为5.0107 C和2.8108 C，相距15cm。求：(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度；(2)作用在每个电荷上的力。,例6：有一均匀带电的细棒，长度为L，所带总电量为q。求：(1)细棒延长线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且aL；(2)细棒中垂线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且aL。,21,例7：求两个相距为l,等量异号点电荷中垂线上距离点电荷连线中心任一点Q处的电场强度。,等量异号电荷+q、-q，相距为l(lr)，称该带电体系为电偶极子,解：建立如右图的坐标系,Q点的场
12、强 E 的y分量为零,x 分量是 E+和 E-在x方向分量的代数和:,代入上式,10-2 电场和电场强度,22,结论：电偶极子中垂线上，距离中心较远处一点的场强，与电偶极子的电矩成正比，与该点离中心的距离的三次方成反比，方向与电矩方向相反。,用 表示从 到 的矢量，定义电偶极矩为：,10-2 电场和电场强度,23,10-2 电场和电场强度,24,场强的x分量:,场强的y分量:,10-2 电场和电场强度,25,例9：均匀带电圆环轴线上一点的场强。设圆环带电量为q，半径为R。,10-2 电场和电场强度,一半径为R的半圆细环上均匀分布电荷Q，求环心处的场强。,思 考,26,例11：均匀带电圆盘轴线上
13、一点的场强。设圆盘带电量为，半径为。,10-2 电场和电场强度,例10:用细的不导电的塑料线弯成半径r50cm的圆弧，两端间空隙为d2.0cm，电量为3.12109 C的正电荷均匀分布在线上，求圆心处场强的大小和方向。,27,（1）起于正电荷(或无限远)，止于负电荷(或无限远)；（2）不闭合，也不在没有电荷的地方中断；（3）两条电场线在没有电荷的地方不会相交。,一、电场线(electric line of field),1定义：电场线上各点的切线方向与该点场强的方向一致；在垂直于电场线的单位面积上穿过的曲线条数与该处的电场强度的大小成正比。,2 性质：,10-3 高斯定理,28,29,不导电液
14、体，上面洒上小草籽,未接电源,两个正点电极,正与负点电极,正点电极与负平板电,正电的圆筒电极,30,1.定义,二、电场强度通量(electric flucx),通过任一面积元的电场线的条数称为通过这 一面积元的电场强度通量。（简称电通量）,10-3 高斯定理,31,如果在场强为E的匀强电场中，平面S与场强E不垂直，其法线n与场强E成 角。,如果在非匀强电场中有一任意曲面S，可以把曲面S分成许多小面元dS，dS可近似地看为平面，在dS范围内场强E 可认为处处相同。这样，穿过面元dS的电场线条数可以表示为,10-3 高斯定理,32,通过任一曲面S 的电通量：,通过闭合曲面S 的电通量：,10-3
15、高斯定理,33,2.方向的规定：,闭合曲面的外法线方向为正。(自内向外为正),非闭合曲面电通量的正负取决于E与n正向夹角的余玄值。,10-3 高斯定理,34,例12：一个三棱柱放在均匀电场中，E=200 N/C,沿x方向，求通过此三棱柱体的电场强度通量。,解：三棱柱体的表面为一闭合曲面，由S1、S2、S3、S4、S5 构成，其电场强度通量为：,即：通过闭合曲面的电场强度通量为零。,10-3 高斯定理,35,三、高斯定理（Gauss theorem）,静电场中任何意闭合曲面S 的电通量，等于该曲面所包围的电量除以e 0 而与S以外的电荷无关。,数学表达式,10-3 高斯定理,对该式可以通过以下6
16、种情况进行分析讨论：,注意:,E是高斯面上任意一点的场强，是由空间所有的电荷（包括高斯面内和外的电荷）共同产生的；而qi是面内电荷的代数和为0时，面上的E不一定处处为0，高斯面上场强处处为0时，面内的电荷代数和一定为0.E是空间所有电荷在面上产生的，如果面内的为E/，面外的为E/，那么E、E/、E/分别在高斯定理中占有什么地位？,36,1.包围点电荷q 的同心球面S 的电通量,球面上各点的场强方向与其径向相同。球面上各点的场强大小由库仑定律给出。,此结果与球面的半径无关。即通过各球面的电力线总条数相等。从 q 发出的电场线连续的延伸到无穷远,10-3 高斯定理,37,2.证明包围点电荷q 任意
17、闭合曲面S 的电通量,穿过球面S1和S2的电场线，必定也穿过闭合曲面S。所以穿过任意闭合曲面S的电通量必然为q/0，即,10-3 高斯定理,对于包围着一个点电荷的任意闭合曲面，高斯定理是成立的。,38,3.任意闭合曲面S包围多个点电荷q1,q2,qn 根据电通量的定义和电场强度的叠加原理，其电通量可以表示为,这表示，闭合曲面S 的电通量，等于各个点电荷对曲面S 的电通量的代数和。可见电通量也满足叠加原理。根据以上结论，通过闭合曲面S的电通量应为,10-3 高斯定理,39,4.任意闭合曲面S不包围电荷，点电荷q 处于 S之外：如图所示，由于从q 发出的电场线，凡是穿入S 面的，必定又从S面穿出，
18、所以穿过S 面的电场线净条数必定等于零，曲面S的电通量必定等于零。,10-3 高斯定理,40,5.多个点电荷q1,q2,qn，其中k个被任意闭合曲面S所包围，另外nk个处于S面之外：根据上一条的证明，闭合曲面S外的nk个电荷对S面的电通量无贡献，S面的电通量只决定于其内部的k个电荷，并应表示为,10-3 高斯定理,41,6.任意闭合曲面S包围了一个任意的带电体 这时可以把带电体划分成很多很小的体元d，体元所带的电荷dq=d可看作点电荷，与上面 第3条的结果一致，这时S的电通量可表示为,根据矢量分析，可以将式高斯定理写成下面的微分形式,在静电学中，常常利用高斯定理来求解电荷分布具有一定对称性的电
19、场问题。,10-3 高斯定理,42,例13：一无限长均匀带电细棒，其线电荷密度为，求距细棒为a处的电场强度。P266,10-3 高斯定理,例14：求半径为R的均匀带电球体在球内外各点的场强分布。设球体电荷密度为r，总电量为Q。P267,例15：一个半径为R的球面均匀带电，面电荷密度为。求球面内、外任意一点的电场强度。,求球形电荷分布的电场？,思 考,43,10-3 高斯定理,例16:设半径为R的球体内,其电荷为对称分布,电荷体密度为(1)=kr(0rR);(2)=0(rR),k为一常量,试用高斯定理求电场强度E与r的关系(可否用电场强度叠加原理),思 考,1.电荷Q均匀分布在半径为R的导体球表
20、面，求：（1）球外空间任一点(rR)的场强。,2.一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳,总电荷为Q1,球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面,球面带电荷为Q2,求电场分布.电场强度是否是场点与球心的距离r的连续函数?试分析.,44,10-3 高斯定理,例17：一个半径为R的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为。求圆柱体内、外任意一点的电场强度。,两个截面不同的铜杆串联在一起，两端加上电压为U，设通过细杆和粗杆的电流、电流密度大小、杆内的电场强度大小分别为：I1、J1、E1与I2、J2、E2，则：A.I1=I2、J1J2、E1E2B.I1=I2、J1J2、E1E2D.I1I2、J1J2、E
21、1E2,思 考,45,解：由于电荷分布对于求场点 p到平面的垂线 op 是对称的，所以 p 点的场强必然垂直于该平面。,又因电荷均匀分布在无限大的平面上，所以电场分布对该平面对称。即离平面等远处的场强大小都相等、方向都垂直于平面，当 场强指离平面。当 场强方向指向平面。,例18：求无限大均匀带电平板的场强分布。,设面电荷密度为。,10-3 高斯定理,46,由于圆筒侧面上各点的场强方向垂直于侧面的法线方向，所以电通量为零；又两个底面上场强相等、电通量相等，均为穿出。,选一其轴垂直于带电平面的圆筒式封闭面作为高斯面 S，带电平面平分此圆筒，场点 p 位于它的一个底面上。,10-3 高斯定理,47,
22、场强方向指离平面;,场强方向指向平面。,10-3 高斯定理,场强方向垂直于带电平面。,48,(C.F.Gauss,17771855),10-3 高斯定理,49,一、静电场属于保守场(conservative field),点电荷 从 P 经任意路径到 Q点，电场所作的功为：,在点电荷q的场中移动试探电荷q0，求电场力作的功：,电场力所做的功只与始点和末点的位置有关,10-4 电势及其与电场强度的关系,50,任何一个带电体都可看成是由无数电荷元组成，由场强叠加原理可得到电场强度 E=E1+E2+En，试探电荷q0从P 移动到Q，电场力作的功为：,任何静电场中，电荷运动时电场力所作的功只与起始和终
23、了的位置有关,而与路径无关。这一特性说明：静电场是保守场。,10-4 电势及其与电场强度的关系,51,在静电场中，场强沿任意闭合路径的环路积分等于零。称为静电场的环路定理。,因为保守力的数学形式为,可以证明在静电场中有,10-4 电势及其与电场强度的关系,52,二、电势能、电势差和电势 静电场是保守场，可引入仅与位置有关的电势能概念。用WP和WQ分别表示 试探电荷q0在电场中P点和Q点的电势能。电场力对试探电荷q0所作的功可以表示为,10-4 电势及其与电场强度的关系,53,电场中P、Q两点间的电势差就是单位正电荷在这两点的电势能之差，等于单位正电荷从点P移到点Q电场力所作的功。电势差也称电压
24、。,由于电势能的减小与试探电荷之比，完全由电场在P、Q两点的状况所决定。可把(WP/q0)-(WQ/q0)称为电场中P、Q两点的电势差，并用VP VQ来表示，于是有,实际中为了确定q0在电场中一点的电势能，必须选择一个电势能为零的参考点。,10-4 电势及其与电场强度的关系,54,我们把VP 和VQ 称为点P 和点Q 的电势，显然它们分别等于单位正电荷在点P和点Q的电势能。,零电势：1、当电荷分布在有限空间时，可选择无限远处的电势为零。2、在实际问题中，常选择大地的电势为零。3、电势能零点的选择与电势零点的选择是一致的,电场中某点P 的电势，等于把单位正电荷从P 点经任意路径移动到无限远处时，
25、静电场力所作的功。,电势(electric potential)是标量，单位为伏特（V）也称为焦耳/库仑，即1V=1 J/C,10-4 电势及其与电场强度的关系,55,三、电势的计算(electric potential)1.点电荷产生的电场中的电势分布 可用场强分布和电势的定义直接积分。,负点电荷周围的场电势为负离电荷越远，电势越高。,正点电荷周围的场电势为正离电荷越远，电势越低。,10-4 电势及其与电场强度的关系,56,2.在多个点电荷产生的电场中任意一点的电势：空间有n个点电荷q1,q2,qn，求任意一点P的电势。由于点P的电场强度E等于各个点电荷单独在点P产生的电场强度的矢量之和。所
26、以点P的电势可以用电势的叠加原理表示。,在多个点电荷产生的电场中,任一点的电势等于各个点电荷单在该点所产生的电势的代数和。,10-4 电势及其与电场强度的关系,57,可以把带电体看为很多很小电荷元的集合体。它在空间某点产生的电势，等于各个电荷元在同一点产生电势的代数和。,3.在任意带电体产生的电场中任意一点的电势,10-4 电势及其与电场强度的关系,58,59,10-4 电势及其与电场强度的关系,60,规定两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。,10-4 电势及其与电场强度的关系,61,62,例19：将q=1.710-8c的点电荷从电场中A
27、点移到B点，外力需作功5.010-6 J，则：A.UBUA=-2.94102V B点电位低 B.UBUA=-2.94102V B点电位高 C.UBUA=2.94102V B点电位低 D.UBUA=2.94102V B点电位高,10-4 电势及其与电场强度的关系,63,五、电势与电场强度的关系,设电荷q0在场强为E的电场中作位移dl，在dl的范围内电场是匀强的。若q0完成位移dl 后，电势增高了dV，则其电势能的增量为q0 dV，这时电场力必定作负功，,电场强度在任意方向的分量，等于电势沿该方向的变化率的负值。,dV=E dl cos,等号左边Ecos 就是E在位移dl方向的分量，用El 表示；
28、等号右边是V沿dl方向的方向微商，负号表示E指向电势降低的方向。于是可以写为,10-4 电势及其与电场强度的关系,64,电势梯度 是一个矢量，它的方向是该点附近电势升高最快的方向。,10-4 电势及其与电场强度的关系,65,电势梯度的物理意义:图中所画曲面是等势面，其法线方向单位矢量用n表示，指向电势增大的方向。电场强度E的方向沿着n的反方向。根据前式，电场强度的大小可以表示为,结论：电势梯度是一个矢量，它的大小等于电势沿等势面法线方向的变化率，它的方向沿着电势增大的方向。,电场强度矢量必定可以表示为,10-4 电势及其与电场强度的关系,66,例20：求半径为R均匀带电球面的电势分布。已知球面
29、总带电量为Q。,10-4 电势及其与电场强度的关系,带电球壳是个等势体。在球面处场强不连续，而电势是连续的。思考：若是球体呢？,67,例21：计算电偶极子的电势和电场的分布。,解:因为电偶极子的电势可写为,在一般情况下，r1、r2和r都比 l 大得多，可近似地认为 r1 r2=r2，r2r1=l cos,式中 p=ql 是电偶极子的电矩。,10-4 电势及其与电场强度的关系,68,例22：一半径为R的无限长带电细棒,其内部的电荷均匀分布,电荷的体密度为,现取棒表面为零电势,求空间电势分布并画出分布曲线。,10-4 电势及其与电场强度的关系,例23：两无限长平行带电导线，各带有电荷密度为、-，试
30、求空间任意一点P的电位.,69,10-4 电势及其与电场强度的关系,例24:一个半径为R的圆盘均匀带电，面电荷密度为。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电势，再由电势求该点的电场强度。,例25：如图10-26所示，金属球A和金属球壳B同心放置，它们原先都不带电。设球A的半径为R0，球壳B的内、外半径分别为R1 和R2。求在下列情况下A、B的电势差：(1)使B带+q；(2)使A带+q；(3)使A带+q，使B带q；(4)使A带q，将B的外表面接地。,70,例26：两平行的金属平板a和b，相距d=5.0 mm，两板面积都是S=150cm2，带有等量异号电荷Q=2.6610-8 C，正极板a接地，如图所示。忽略边缘效应，问：(1)b板的电势为多大？(2)在a、b之间且距a板1.0 mm处的电势为多大？,10-4 电势及其与电场强度的关系,71,
