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1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)掌握递推裂项模型.解决一类求和问题一类递推数列求和或求和不等式的母题 关于二次数列an;a1=a,an+1=Aan2+Ban+C是高考与竞赛的热点数列模型,其中,所使用的递推关系式的裂项方法值得关注,构造母题如下.母题结构:己知数列an,则:()an2=a(an-an+1);()an2=a(an+an+1)-a2;()an2=(a-b)an+1-(a+b)an-b2.解题程序:这里 1.着意递推裂项 子题类型:(2006年山东高考试题)己知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+
2、2x的图像上,其中n=1,2,3.()证明:数列lg(1+an)是等比数列; ()设Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an),求Tn及数列an的通项;()记bn=.求数列bn的前n项和Sn,并证明:Sn+=1.解析:()由a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图像上an+1=an2+2anan+1+1=(an+1)2lg(1+an+1)=2lg(1+an)数列lg(1+an)是首项为lg3,公比为2的等比数列;()由()知,lg(1+an)=2n-1lg31+an=3an=3-1,且Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an)=333=3.()由an+1=an2+2anan
3、+1=an(an+2)=(-)bn=2(-)Sn=2(-)=1-Sn+=(1-)+=1.点评:若数列an:an+1=an2+aan,则+=-,取a=2,就得本题.着意于对递推关系式的裂项是解题的关键. 2.递推裂项求和 子题类型:(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知数列an满足递推关系式:an+1=an2-an+2,n1,nN.()若a1=4,证明:(i)当n2时,有an+12an;()当n1时,有an+1()nan;()若a1=1,证明:当n5时,有0,即当n2时,an+12an;()由于n2时,an+12anan+12n-2a2=32n-1.由an+1=an2-an+2可得=an
4、+-1,an+1()nanan+-1()n(n3)an()n+1,用数学归纳法证明,假设ak()k+1ak+1ak2()k+1()k+1+1.()由于a1=1,而数列an为递增数列,故an1.由an+1=an2-an+2可得=-=-=-1,所以,当n5时,有n-1-1n-1an2-.假设ak1时为增函数,所以ak+1(2-1)2+2-.点评:本题是裂项模型:an2=a(an+an+1)-a2的子题(特例),利用递推裂项模型可以研究数列前n项和的取值范围. 3.递推裂项证通项不等式 子题类型:(2006年第二届北方数学奥林匹克邀请赛试题)已知数列an满足:ak+1=ak+ak2,a0=,kN.求
5、证:1-a2006akak+1ak+akak+1-2=(-)+(-)+(-)+当1k2006时,ak1; 又由ak1ak+1=ak+ak2ak+1=ak+ak2ak+ak-2=(-)+(-)+(-)+ak当1k2006时,ak.令k=2006得:1-a2006an(nN*); (ii)1+2(n2,nN*).4.(2003年第2届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题)定义数列an如下:a1=2,an+1=an2-an+1,n=1,2,.证明:1-+1.5.(2005年中国国家队测试题)数列an定义如下:a1=,且an+1=(n=1,2,).证明:对每一个正整数n,都有a1+a2+an1.6.(
6、2010年全国高中数学联赛试题B)数列an满足a1=,an+1=(nN*).求证:-a1+a2+a3+an-.7.(1980年芬兰、英寺国、匈牙利和瑞典四国数学奥林匹克试题)数列a0,a1,an,满足:a0=,ah+1=ak+ak2(k=0,1,2,n-1).证明:1-an1.8.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知数列an满足a1=,an+1=an+(nN*).证明:对一切nN*,有:()anan+1-.9.(2008年第八届中国西部数学奥林匹克试题)实数数列an满足a00,1,a1=1-a0,an+1=1-an(1-an)(n=1,2,).证明:对任意的正整数n,都有a0a1an
7、(+)=1.10.(2006年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知数列an满足a1=1,an+1=an+2n(n=1,2,3,),bn满足b1=1,bn+1=bn+(n=1,2,3,),证明:an,=-+=2-(1,2).4.解:由an+1=an2-an+1an+1-1=an(an-1)=-=-+=-=1-(由an+1=an2-an+1an+1-an=(an-1)20an+1anan20)nn:当n=12.3时,成立;假设当n3时,a1a2annn成立.则an+1-1=a1a2annnan+1nn+1a1a2anan+1nn(nn+1),而nn(nn+1)(n+1)n+1nn+1(n+1)(1+
8、)nnn+13(n+1)成立.由an+1-1nn1-1-.5.解:由an+1=()2-+1-1=(-1)=-=-anan=-a1+a2+an=-=1-;由=()2-+1=3,-=(-1)20=30a1+a2+an1.6.解:由an+1=(注意到特征根为0,1)=an+1+=an+an=-a1+a2+a3+an=-=-,所以,-a1+a2+a3+an-+1+1.用数学归纳法证:假如+1(+1)+1=()2+1=+1+1;由=3为整数及=()2-+1为整数,由+1(-1)+1=-+10ak+1akah+1=ak+ak2ak+akak+1-k=2-2-1=1anak,an1ak1ah+1=ak+ak
9、2ak+akah+1ak+1ah+1=ak+ak2ak+akak+1=ak+akak+1-k=2-=1-1-.8.解:()显然an0,所以an+1=an+an;所以,对一切kN*,ak+1=ak+ak+akak+1,所以-,所以,当n2时,-1+1an-;由an1,知ak+1=ak+ak+1ak+1=ak+ak+akak+1=ak+akak+1-.当n2时,-=1-an-.9.解:由an+1=1-an(1-an)an=a1a2an=(an+1-1)=-(an+1-1)a0a1a2an=1-an+1;由an+1-1=an(an-1)=-+=+(-)=a0a1an(+)=1.10.解:an=(n-1)n+1,bn+1=bn+=-=-.记xn=数列xn为递增数列xnx1=,1.
