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1、摘 要薛定谔方程是物理系统中量子力学的基础方程，它可以清楚地说明量子在系统中随时间变化的规律。通过求解微观系统所对应的薛定谔方程，我们能够得到其波函数以及对应的能量，从而计算粒子的分布概率，进一步来了解其性质。在化学和物理等诸多科学研究领域当中，薛定谔方程求解的结果都与实际很相符。近年来，很多学者通过各种方法研究具有复杂势函数的薛定谔方程，解释了很多重要的物理现象，因此对薛定谔方程的求解具有相当重要的意义。本文主要是用Galerkin-Chebyshev谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程。首先运用Galerkin-Chebyshev谱方法来对空间导数进行近似，离散二维薛定谔方程，从而将原问题转
2、化为复数域上的线性常微分方程组。然后用边界值法求解该方程组，所求得的数值解即为原问题的解，之后进行误差分析。最后利用Matlab进行数值模拟，给出数值解的图像以及误差曲面图像，结果显示此方法精度高且具有很好的稳定性。关键词：薛定谔方程；Galerkin-Chebyshev谱方法；边界值法；数值解；精度高；稳定AbstractThe Schrdinger equation is the basic equations of quantum mechanicsin thephysical system. It can clearly describe the regular of the quan
3、tum evolves over time. By solving the Schrdinger equation which the microsystem correspond, we can getthe wave functionand energy, and thus calculate the probability distribution of the particles, further understand the nature of it.Inchemistry, physicsand otherfields of scientific research,the resu
4、lts of solving the Schrodingerequation are basically consistent with the actual.In recent years,many researchers used a variety of methods toinvestigate the Schrdinger equation with complexpotential function,and explained a lot ofimportant phenomena.Thussolving the Schrdingerequationhas very importa
5、nt significance.The main purpose of this paper is to solve the two dimensionalSchrdinger equation through the Galerkin-Chebyshevspectral methodand theboundary valuemethod. First we use thespectral methodto approximate the spatial derivation, discretize thetwo dimensional Schrdinger equation，and tran
6、sform the originalproblem into a set of linear ordinary differential equations in the complex number field.Then by using the boundary valuemethod to solve the equations,that the numericalsolutions is the solutions of the original problem, and then analyze the error. Finally we useMatlab to conduct t
7、he numerical simulation, and give the images ofthe numerical solutions anderrors, which show that the methods have high precision and good stability.Keywords: Schrdinger equation, Galerkin-Chebyshev spectral method, boundary value method, numerical solutions, high precision, stability目 录摘 要IABSTRACT
8、II第1章 绪 论11.1 课题研究的背景和意义11.2 国内外研究现状21.3 本文的主要研究内容2第2章 预备知识42.1 克罗内克积的简介42.2 Chebyshev多项式介绍及其性质52.3 Chebyshev正交逼近的性质62.4 投影算子的性质72.5 本章小结8第3章 GALERKIN-CHEBYSHEV谱方法和边界值法93.1 用Galerkin-Chebyshev谱方法求解椭圆型方程93.2 用边界值法求解常微分方程103.3本章小结14第4章 求解二维薛定谔方程154.1 区域和边界条件的处理154.1.1 区域的处理154.1.2 边界条件的处理174.2 二维薛定谔方程
9、的求解204.3 误差分析214.4 本章小结26第5章 数值模拟27结 论32参考文献33哈尔滨工业大学学位论文原创性声明及使用授权说明37致 谢38第1章 绪 论1.1 课题研究的背景和意义薛定谔方程是一个偏微分方程，它可以清楚地说明量子在物理系统中随时间如何在变化，它是量子力学的一个基本的假设，也是量子力学的基础方程，由物理学家薛定谔提出而得名1。在经典力学和量子力学当中，人们分别是用牛顿第二定律和薛定谔方程来描述物体的运动的，这两者在物理系统当中具有相同的地位。薛定谔方程式可以描述任何的微观系统，通过求解该微观系统所对应的薛定谔方程，我们能够得到其波函数以及对应的能量，从而进一步来了解
10、该微观系统的性质。薛定谔方程可以分为与时间有关和与时间无关两种类型，其中量子系统的波函数随着时间的演化过程是通过与时间有关的薛定谔方程来描述的，而与时间无关的薛定谔方程则描述的是固定状态的量子系统的物理性质，方程的解即是该量子系统固定状态的波函数。本文考虑的是二维与时间有关的薛定谔方程： (1-1) 初始条件为：边界值条件为： (1-2)其中是任意的势函数，是波函数，且在定义域内连续。薛定谔方程是反应微观粒子随着时间变化的非相对论波动函数，它仅适用于速度比较缓慢的非相对论粒子。其中波函数可以很好地描述微观粒子的状态，在势函数中微观粒子运动的薛定谔方程即为方程(1-1)。我们可以通过给定的初始条
11、件和边界值条件以及波函数所满足的条件，来求解出波函数，进而计算粒子的分布概率。薛定谔方程被广泛地应用于化学和物理等领域中，如量子器件的建模2，光纤传播模型3，光电子器件的设计4，电磁波的传播5，天体系统的量子化6，轴近似波动方程的水下声学7，量子动力学计算的应用8,9，化学核外电子的运动状态描述10等。它被应用到原子、核等诸多方面问题中，所得到的结果都与实际很相符。近年来，很多学者通过各种方法研究具有复杂势函数的薛定谔方程所描述的问题11-14，解释了很多重要的物理现象，因此对薛定谔方程的求解具有相当重要的意义。1.2 国内外研究现状到目前为止，对薛定谔方程(1-1)的求解已经有了很多种数值方
12、法， 大多都是采用的有限差分法15-17，或者是用三角正交函数系或幂级数函数展开的谱方法18,19。Subasi给出了具有二阶精度的有限差分方法20，Kalita等人给出了一个隐式的半离散高阶紧凑方法21，Antonie等人给出了一个Crank-Nicolson隐格式方法22，Dehghan给出了不同的有限差分方法包括三个全隐式和两个全显示差分方法以及交替方向隐式法和Barakat和Clark类型的显示方法23，Dehghan和Shokri还给出了使用配置和薄板样条径向基函数的数值方法24，此外Dehghan和Mohebbi还给出了求解方程(1-1)的紧凑有限差分法25，Gao和xie还给出了
13、紧凑的交替方向隐式有限差分法26，该方法在空间上具有四阶精度，在时间上具有二阶精度。Li等人还给出了多元二次（MQ）和薄板样条（TPS）径向基函数的MPS方法求解薛定谔方程，该方法类似于有限差分法27。Dehghan和Taleei还提出了一种紧凑的分布有限差分方法来求解薛定谔方程28，该方法通过使用四阶精度紧致差分格式，来提高分布有限差分方法的准确性，而且还具有无条件稳定的性质。谱方法的思想起源于傅立叶分析，它是一种既古老又新兴的求解偏微分方程的方法。求解偏微分方程的三种最基本的方法分别是谱方法，有限差分方法和有限元方法。谱方法和另两种方法相比，具有“无穷阶”收敛的特点，即它的收敛速度会随着真
14、解的光滑程度变高而变快，从而谱方法就能用限制自由度的方式来得到较高的精度29，另两种方法在这一点上是无法比拟的。1.3 本文的主要研究内容本文主要是用Galerkin-Chebyshev谱方法和边界值法求解二维Schrdinger方程，运用Galerkin-Chebyshev谱方法对空间导数进行近似,离散薛定谔方程(1-1)，从而将原问题转化为复数域上的线性常微分方程组，然后再用边界值法求解该方程组，所求得的数值解即为原问题的解，之后再进行误差分析，得到误差分析结果，最后再通过Matlab进行数值模拟，给出数值解的图像以及误差曲面图像。谱方法求解偏微分方程具有高精度的性质，边界值法求解常微分方
15、程同样具有高精度和稳定的特点，这样问题即得到解决。在第一章中我们阐述了薛定谔方程在当前科学研究中的应用，表明求解薛定谔方程具有很深远的意义，还介绍了现阶段求解该方程的主要方法，以及本文即将采用的方法。紧接着在第二章中，我们介绍了本论文所需要的一些预备的基础知识，为后面论文的顺利进行做好准备工作。在第三章当中，我们采用Galerkin-Chebyshev谱方法求解椭圆型方程，以及用边界值法求解常微分方程，并给出求解特殊常微分方程组的求解格式，这两个方法求解微分方程都具有很高的精度和很好的稳定性。第四章中，先对原问题进行区域映射处理，以及对边界条件进行齐次化处理以后，然后运用Galerkin-Ch
16、ebyshev谱方法对二维薛定谔方程进行离散，将其转化成常微分方程组，然后对该微分方程组进行求解，得到数值解，接着对该方法进行误差分析，得到误差估计结果。第五章进行数值模拟，根据前面的内容，编程得到问题的数值解，并和相应的精确解进行比较，分析其误差，画出误差曲面图像。 最后是本文的一个总结，以及研究此问题的意义和前景展望。第2章 预备知识2.1 克罗内克积的简介定义2.130：设是一个行列的矩阵，是一个行列的矩阵，克罗内克积可以表示成：它是一个的分块矩阵。克罗内克积具有如下的一些性质：性质1：满足结合律与双线性的性质：如果矩阵存在，则 ；如果矩阵存在，则； ，其中是常数；.性质2：，和是四个矩
17、阵，如果矩阵乘积和存在，那么就有性质3：是可逆的当且仅当和是可逆的，其逆矩阵是：性质4：.定义2.2：设是一个行列的矩阵，那么把矩阵按列将后一列堆在前一列后面，形成的一个新的列的向量记为，即：定理2.1：设是一个行列的矩阵，是一个行列的矩阵，是一个行列的矩阵，也是一个行列的矩阵，那么有：证明：先将矩阵,写成如下的形式：其中,分别是矩阵,第列的列向量，则有：,从而原题得证。2.2 Chebyshev多项式介绍及其性质定义2.3：在区间上的权函数以递归的形式定义的正交多项式称为Chebyshev多项式，它可写成：。Chebyshev多项式具有如下的性质：性质(1) 31：正交性性质(2) 31：递
18、推关系性质(3) 31：是阶多项式，是阶多项式，是阶多项式，满足：，其中 。定理2.232：设，则:2.3 Chebyshev正交逼近的性质我们讨论Chebyshev逼近问题，需要借助带权的Sobolev空间，下面记以为权的阶空间为，它的内积和范数定义分别为 记。设区间是一个非空集，且是Lebesgue可测的，记的范数为：当时，。 接下来定义空间，设空间是有界的，且，有在空间和上的全体次连续可微的函数所构成的集合分别记为和。记，其中是广义导算子，接下来定义弱导数。定义2.433：设，满足上面的式子，称是的阶弱导数，记为，如果有时又称在弱的意义下。下面定义空间，设区域是有界的，是非负整数，有：其
19、中为空间上面的范数。 在空间上的闭包记为，当时，。定理2.3（Gronwall不等式）34：设和是上的非负的连续函数，并且在是可微的，如果存在常数满足，使得对任意的，都有：或者等价的还有：那么就有：2.4 投影算子的性质记是一个多项式空间，其最大自由度是，是到的正交投影算子，是到的椭圆投影算子，则有如下的定义和性质定理：定义2.535：空间 中从到的正交投影算子为：定义2.635: 空间 中从到的椭圆投影算子为：定理2.436：对任意的非负整数，都有下面的不等式：定理2.537：对任意的非负整数，都有下面的不等式：2.5 本章小结本章给出了完成这篇论文所需要的一些必备的基础知识，首先介绍了克罗
20、内克积的定义以及性质，然后介绍了切比雪夫多项式性质以及一些重要的关系定理，之后介绍了Chebyshev正交逼近的性质，其中包括内积和范数的定义，空间的定义和性质，最后还介绍了投影算子的定义和不等式性质，为论文的进行做好准备工作。第3章 Galerkin-Chebyshev谱方法和边界值法3.1 用Galerkin-Chebyshev谱方法求解椭圆型方程 考虑用Galerkin-Chebyshev谱方法来求解如下的椭圆型方程 (3-1)边界条件是：由Chebyshev多项式的定义和性质，设，则方程(3-1)的Galerkin-Chebyshev谱方法是求使得对任给的都满足其中，。令,取则有将上式
21、用矩阵表示即可写成其中：，和满足定理2.2中的条件关系，且。 由定理2.1有 (3-2)对方程(3-2)进行求解，就可以求出其数值解，从而得到方程(3-1)的数值解。3.2 用边界值法求解常微分方程边界值法是最近求解常微分方程数值解的常用方法，简称为BVMs，它是线性多步法的一个推广，和其他常微分初值问题的数值解法相比较，BVMs具有高精度和无条件稳定的特点38-41，是一个很好的方法。考虑下面的初值问题 (3-3)用步线性多步法离散上面的方程即可得到 (3-4)其中，为系数。由泰勒展开有：从而令：则有： (3-5)如果有次的连续微商，那么就可以选取和使得，即选取使其满足 (3-6)此时就有其
22、中为截断误差，略去，就得到了线性多步法(3-4)，该方法的精度是阶的。求解方程(3-4)需要个初始边界条件和个结尾边界条件，即我们需要和，初始边界条件可以由方程(3-3)得到。个初始边界条件和个结尾边界条件则来自于以下等式 (3-7)和 (3-8)其中系数和的选择，要满足使基于最初与最后的边界条件的方法的截断误差与基于公式(3-6)的方法具有相同的阶。方程(3-4)(3-8)用矩阵形式表示可以写为其中.用代替矩阵中的，即为矩阵，并且.对进行划分将第一列分离出来，可以得到的等价式 (3-9)其中是一个未知量，且有在这里我们用四阶BVMs近似方程(3-3)，并取，由(3-6)得到求解该方程组，得到
23、其基础解系，取其中的三组解，一组代入到方程(3-4)，另两组分别代入到(3-7)和(3-8)，即可以得到下面的关系式 (3-10)其中。其对应的初始边界条件和结尾边界条件分别为 (3-11)其中。 (3-12)其中。把上面的三个式子化为等式(3-9)的形式，则其中的分别为, 如果我们考虑的是特殊的线性常微分方程组 (3-13)其中是的矩阵,且那么我们可以将(3-13)化为矩阵形式如下 (3-14)其中是的单位矩阵，且如果线性常微分方程组可以化为下面的形式 (3-15)其中是的非奇异矩阵, 那么用四阶BVM法可以将方程(3-15)化为 (3-16)3.3本章小结本章给出了利用Galerkin-C
24、hebyshev谱方法求解椭圆型方程的数值方法格式，利用该方法将偏微分方程进行离散以后得到常微分方程组，再利用常微分方程的解法对其进行求解即可达到将偏微分方程进行求解的目的，谱方法精度很高，稳定性也很好，对于求解偏微分方程是一个非常好的方法。还给出了利用边界值法求解微分方程组的过程，并给出了几种特殊形式的微分方程组的边界值法求解的数值格式，边界值法求解微分方程具有很高的精度，对于求解常微分方程组也是一个很好的方法。第4章 求解二维薛定谔方程4.1 区域和边界条件的处理由于Galerkin-Chebyshev谱方法只能解决齐次边值条件的问题，故针对本文的二维Schrdinger方程问题，需要先进
25、行区域的映射处理，对非齐次的边值问题进行齐次化处理，将其转化成方程的一般形式，再进行求解。4.1.1 区域的处理原问题中，我们在这里对其进行一定的变换处理，使区域变成。令， 于是方程(1-1)就转化为 (4-1)初始条件为：边界值条件为： 对方程(4-1)进行简化，可以将其表示为 (4-2)初始条件为：边界值条件为：其中4.1.2 边界条件的处理在本文中对边界条件的处理过程，就是一个对边界条件进行齐次化的过程。由方程(4-2)，我们很容易得到，于是令，则有令，即可得到同理可得从而有再令，则有同理有，即由可以得到于是方程(4-2)就转化为下面的方程即可写成 (4-3)初始条件为：边界值条件为：其
26、中于是原问题就转化成了标准问题。接下来我们需要去复数域，令：,带入方程(4-3)得到根据复数的性质，即可以得到 (4-4) 初始条件为：边界值条件为：4.2 二维薛定谔方程的求解对上面的方程组(4-4)进行移项变换，得到 (4-5)令，令，由第三章的方法即可以得到解的弱形式 (4-6) 将(4-6)用矩阵表示即可写成 (4-7)，其中，利用定理2.1，方程组(4-7)等价于 (4-8)然后利用第三章的边界值法对上面的常微分方程组进行求解，所得的数值解即为原问题的数值解。4.3 误差分析由定理2.4可以得到 ，那么问题(4-4)的弱形式是求使得 (4-9)Galerkin-Chebyshev谱方
27、法是求,使得 (4-10)令，,，,则有，定理4.1：假设，满足上面的关系，那么对任意的都有其中证明：由定理2.5可以得到由定理2.4可以得到同理可得接下来估计和，令由方程组(4-9)，(4-10)可以得到 从而有同理得到由投影算子的性质，我们可以得到即同理有分别取，分别带入到上面两个式子中，就有由于，且故得到从而由Cauchy-Schwarz不等式有得到对上面的式子两边同时积分即得到其中从而得到由于所以有即有从而得到最后的误差分析的结果为即有其中从而得证，得到最优误差估计。4.4 本章小结在本章中，首先是对二维薛定谔方程进行区域映射以及对边界条件进行齐次化处理，使其换化成便于Galerkin
28、-Chebyshev谱方法进行求解的标准格式，接着利用Galerkin-Chebyshev谱方法离散空间变量得到常微分方程组，再利用边界值法对该方程组进行求解，即可以得到问题的数值解。最后再对本文所给出的方法进行误差分析，得到误差分析结果。第5章 数值模拟在这一章中，我们列举了两个实例进行数值模拟，通过Matlab求出其数值解，然后和精确解进行比较，来验证该方法的精度和稳定性。对于微分方程(1-1)，数值模拟实例1当中，我们考虑的是，相应的初始条件是：此问题的精确解是： (5-1)通过精确解(5-1)式即可很快得到此问题的边界值条件，即为， 针对上述问题，采用Galerkin-Chebyshe
29、v谱方法和边界值法对该问题进行求解，取，利用matlab编程在实部处求得该问题的数值解见下图5-1，以及得到绝对误差分析曲面图像见下图5-2，再取，利用matlab编程在虚部处求得该问题的数值解见下图5-3，以及得到绝对误差分析曲面图像见下图5-4。图5-1：时刻实部的数值解图像图5-2：时刻实部的绝对误差分析曲面图像图5-3：时刻虚部的数值解图像图5-4：时刻虚部的绝对误差分析曲面图像对于微分方程(1-1)，数值模拟实例2当中，我们考虑的是，相应的初始条件是：此问题的精确解是： (5-2)通过精确解(5-2)式即可很快得到此问题的边界值条件，即为， 针对上述问题，采用Galerkin-Che
30、byshev谱方法和边界值法对该问题进行求解，取，利用matlab编程在实部处求得该问题的数值解见下图5-5，以及得到绝对误差分析曲面图像见下图5-6，再取，利用matlab编程在虚部处求得该问题的数值解见下图5-7，以及得到绝对误差分析曲面图像见下图5-8。图5-5：时刻实部的数值解图像图5-6：时刻实部的绝对误差分析曲面图像图5-7：时刻虚部的数值解图像图5-8：时刻虚部的绝对误差分析曲面图像上面两个实例的数值模拟，很好的表明了Galerkin-Chebyshev谱方法和边界值法求解问题(1-1)具有很高的精度和很好的稳定性。结 论本文主要研究的是用Galerkin-Chebyshev谱方
31、法和边界值法求解二维薛定谔方程，先用Galerkin-Chebyshev谱方法求解椭圆型方程，以及用边界值法求解常微分方程，并给出求解格式，之后结合这两个方法对二维薛定谔方程进行求解，先对它进行区域映射处理，再对边界条件进行齐次化的处理来实现对二维薛定谔方程进行求解，得到其数值解，然后进行误差分析，在离散的加权的范数下我们得到半离散格式的谱精度，得到最优误差估计，最后再进行数值模拟，在数值模拟中所得到的结果显示我们的方法在离散空间具有高阶收敛性以及很好的稳定性。薛定谔方程化学和物理等领域中都有非常广泛的应用，求解薛定谔方程具有相当重要的意义，本文所采用的方法所求得的数值解的误差很小，为二维薛定
32、谔方程的提供了一个很好的解决方法，为物理和化学等领域的研究提供了一个很好的解决办法。本文所给出的方法求得的数值解已经具备了较高的精度，文中所采用的边界值法给出的是定步长的格式，要是能实现变步长的边界值法来进行求解，效果应该能达到更好。参考文献1 E.Schrdinger. An Undulatory Theory of the mechanics of atoms and moleculesJ. Physical Review, 1926, 28(6): 1049-1070.2 Anton Arnold. Numerically absorbing boundary conditions fo
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