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1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)极坐标系中的基本公式及其直解方法建立直解极坐标问题的方法体系 对于极坐标问题,人们(老师一直这样教)习惯于把极坐标问题转化成直角坐标问题求解,实质上,根据与的几何意义,许多极坐标问题无须转弯,可直接求解.母题结构:(基本公式):两点之间的距离公式:设P1(1,1),P2(2,2),则|P1P2|=;点到直线的距离公式:点P(0,0)到直线l:cos(-)=p的距离d=|0cos(0-)-p|;点P(0,0)到直线l:sin(-)=p的距离d=|0sin(0-)-p|;三角形面积公式:点P(1
2、,1),Q(2,2),则SOPQ=12|sin(1-2)|.母题解析:由极径和极角的几何意义知:的实质是余弦定理;转化为直角坐标方程,由点到直线的距离公式可证;可由三角形面积公式直接得到. 1.两点之间的距离 子题类型:(2015年课标高考试题)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t0),其中0,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin,C3:=2cos.()求C2与C3交点的直角坐标;()若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.解析:()由C2:=2sinx2+y2=2y,C3:=2cosx2+y2=2x;由x=y=0或x=,y=C2
3、与C3交点的直角坐标为(0,0),(,);()由曲线C1:xsin=ycoscossin=sincos=曲线C1的极坐标方程:=A的极坐标是(2sin,),B的极坐是(2cos,)|AB|=|2sin-2cos|=4|sin(-)|当=时,|AB|取最大值4.点评:若P1(1,1),P2(2,2),则|P1P2|=;特别地,若P1(1,),P2(2,),则|P1P2|=|1-2|. 2.点到直线的距离 子题类型:(2014年陕西高考试题)在极坐标系中,点(2,)到直线sin(-)=1的距离是 .解析:由点(2,)到直线sin(-)=1的距离d=|2sin(-)-1|=1.点评:点P(0,0)到
4、直线l:cos(-)=p的距离d=|0cos(0-)-p|;点P(0,0)到直线l:sin(-)=p的距离d=|0sin(0-)-p|;特别地,点P(0,0)到直线=的距离d=|0sin(0-)|. 3.三角形面积公式 子题类型: (2015年课标高考试题)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.()求C1,C2的极坐标方程;()若直线C3的极坐标方程为=(R),设C2,C3的交点为M,N,求C2MN的面积.解析:()因,所以,直线C1:x=-2直线C1的极坐标方程:cos=-2;圆C2:(x-1)2+(
5、y-2)2=1x2+y2-2x-4y+4=0圆C2的极坐标方程:2-2cos-4sin+4=0;()将=代入2-2cos-4sin+4=0得:2-3+4=01=,2=2|MN|=|1-1|=;又圆C2的半径r=1圆C2的圆心C2到直线MN的距离d=C2MN的面积=|MN|d=.点评:若点P(1,1),Q(2,2),则SOPQ=12|sin(1-2)|;特别地,若P(,),A(1,0),P2(2,0),则SPAB=|1-1|sin(-0)|. 4.子题系列:1.(2011年安徽高考试题)在极坐标系中,点(2,)到圆=2cos的圆心的距离为( )(A)2 (B) (C) (D)2.(1992年全国
6、高考试题)极坐标方程分别是=cos和=sin的两个圆的圆心距是( )(A)2 (B) (C)1 (D)3.(2013年天津高考试题)已知圆的极坐标方程为=4cos,圆心为C,点P的极坐标为(4,),则|CP|= .4.(2007年广东高考试题)在极坐标系中,直线l的方程为sin=3,则点(2,)到直线l的距离为 .5.(2013年北京高考试题)在极坐标系中,点(2,)到直线sin=2的距离等于 .6.(1997年全国高考试题)己知直线的极坐标方程为sin(+)=,则极点到该直线的距离是 .7.(2012年安徽高考试题)在极坐标系中,圆=4sin的圆心到直线=(R)的距离是 .8.(2006年上
7、海高考试题)在极坐标系中,O是极点,设点A(4,),B(5,-),则OAB的面积是 .9.(2010年广东高考试题)在极坐标系(,)(002)中,曲线(cos+sin)=1与(sin-cos)=1的交点的极坐标为 .10.(2014年广东高考试题)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为sin2=cos和sin=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为 .11.(2012年陕西高考试题)直线2cos=1与圆=2cos相交的弦长为 .12.(2012年江苏高考试题)在极坐标系中,已知圆C经过点P(,),圆心为直线sin(-)=-与极
8、轴的交点,求圆C的极坐标方程.13.(2013年课标高考试题)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=2sin.()把C1的参数方程化为极坐标方程;()求C1与C2交点的极坐标(0,00,sin0,且sin=cos=交点的极坐标(,)交点的直角坐标(1,1).11.解:由:=1,cos=弦的两端点对极点的角=1200弦长=.12.解:在sin(-)=-中,令=0得:=1圆心C(1,0)圆C:=2cos.13.解:()将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y+5)2=25x2+y2-8x-10y+16=0;将代入x2+y
9、2-8x-10y+16=0得:2-8cos-10sin+16=0C1的极坐标方程为:2-8cos-10sin+16=0;()由=2sin00;将=2sin代入2-8cos-10sin+16=0得:sincos+sin2=1sincos=cos2cos=0或sin=cos=或=2或C1与C2交点的极坐标分别为(2,),(,).14.解:()设P(x,y),由M(2cos,2+2sin),=2C2的参数方程为(为参数);()曲线C1的极坐标方程为=4sin,曲线C2的极坐标方程为=8sin;射线=与C1的交点A的极径为1=4sin=2,射线=与C2的交点A的极径为2=8sin=4|AB|=|2-1|=2.
