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1、解绝对值不等式题根探讨题根四 解不等式题根4解不等式思路利用f(x)0) -af(x)2；(2)|26|3思路利用f(x)g(x) -g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)或f(x)2或+1或无解，所以原不等式的解集是|(2)原不等式等价于3263即26所以原不等式的解集是|26收获形如|型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：|或x2-3x-4；（2）1解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x2-2x2-3x-4或x-x2-2-(x2-3x-4)解得：1-x-3故原不等式解集为xx-3分析二 x-x2-2x2-x+2而x2-x+2(x-)2+0所以x-x2-
2、2中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x2-x+2x2-3x-4解得：x-3 原不等式解集为x-3（2）分析 不等式可转化为-11求解，但过程较繁，由于不等式1两边均为正，所以可平方后求解.原不等式等价于19x2(x2-4)2 (x2)x4-17x2+160x21或x216-1x1或x4或x-4注意：在解绝对值不等式时，若f(x)中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.第2变 含两个绝对值的不等式变题2解不等式（1）|1|5.思路（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用f(x)g(x)f2(x)g2(x)两边平方去掉绝对值
3、符号。（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。解题（1）由于|1|0，|+|0，所以两边平方后有：|1|+|即有2+11当2+20即1时，不等式的解为(1)；当2+2=0即=1时，不等式无解；当2+20即1时，不等式的解为5.解：当x-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)5-2x6x-3.当-3x555无解.当x2时，原不等式为(x-2)+(x+3)52x4x2.综合得：原不等式解集为xx2或x-3.收获1）形如|型不等式此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|0且1)解析：易知11，换成常用对数得：于是11011(1)00解得012不等式|x+3|-|2x-1|2 当-3x时4x+22故填
4、。3求不等式的解集.解：因为对数必须有意义，即解不等式组，解得又原不等式可化为 (1)当时，不等式化为即 综合前提得：。(2)当1x2时，即. 。(1) 当时，(2) ，结合前提得：。综合得原不等式的解集为第3变 解含参绝对值不等式变题3解关于x的不等式 思路本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对的正负进行讨论。解题原不等式等价于 当即时， 当即时， x-6当即时， xR收获1）一题有多解，方法的选择更重要。2）形如|()型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： 当0时，|或； 当=0时，|0 当0时，|
5、有意义。请你试试431解关于的不等式：分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解：当。2关于的不等式|1|5的解集为|32，求的值。按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于值的不确定，要以的不同取值分类处理。解：原不等式可化为46当0时，进一步化为，依题意有，此时无解。当=0时，显然不满足题意。当0时，依题意有综上，=2。第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题变题4若不等式|4|+|3|0时，先求不等式|4|+|3|有解时的取值范围。
6、令4=0得=4，令3=0得=3 当4时，原不等式化为4+3，即271 当34时，原不等式化为4+31 当3时，原不等式化为4+3即721综合可知，当1时，原不等式有解，从而当01时，|4|+|3|4|+|3|4+3|=1当1时，|4|+|3|恒成立，求的取值范围。思维点拨：要使|+1|2|对任意实数恒成立，只要|+1|2|的最小值大于。因|+1|的几何意义为数轴上点到1的距离，|2|的几何意义为数轴上点到2的距离，|+1|2|的几何意义为数轴上点到1与2的距离的差，其最小值可求。此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察的取值范围。解法一 根据绝对值的几何意义，设
7、数，1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA|PB|成立|AB|=3，即|+1|2|3故当恒成立，从图象中可以看出，只要3即可。故a恒成立，求实数a的取值范围。分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。解： 由绝对值不等式：|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2)0, 即时取等号。故a0,不等式|x-4|+|x-3|a在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围分析（一）|x-4|+|x-3|x-4(x-3)|=1 当|x-4|+|x-3|1（二）如图，实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B
8、则有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|PA|+|PB|1 恒有y1数按题意只须a1 A B P 0 3 4 x（三）令y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其图象由f(x)1 y 3 2 1 0 3 4 x（四）考虑|z-4|+|z-3|1时，表示复平面上以3、4为焦点，长轴长为a的椭圆内部，当z为实数时，a1原不等式有解a1即为所求（五） 可利用零点分段法讨论.将数轴可分为(-，3)，3，4，(4，+)三个区间.当x3时，得(4-x)+(3-x).有解条件为1当3x4时得(4-x)+(x-3)1当x4时，得(x-4)+(x-3)ax4 即a1以上三种情况中任一个均可满足题目要
9、求，故求它们的并集，即仍为a1.变题：1、若不等式|x-4|+|x-3|a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围2、若不等式|x-4|-|x-3|a在R上恒成立，求a的取值范围评注：1、此题运用了绝对值的定义，绝对值不等式的性质，以及绝对值的几何意义等多种方法。4、构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法设0a,若满足不等式的 一切实数x，亦满足不等式求正实数b的取值范围。简析略解：此例看不出明显的恒成立问题，我们可以设法转化: 设集合A， B= 由题设知AB，则： () 于是得不等式组： 又 ，最小值为； 最小值为； , 即 ：b的取值范围是第5变 绝对值三角不等式问题变题5已知函数，当
10、时，求证：；，则当时，求证：。思路本题中所给条件并不足以确定参数，的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用 、来表示,。因为由已知条件得，。解题证明：(1)由，从而有(2)由 从而 将以上三式代入，并整理得收获1） 二次函数的一般式中有三个参数. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 2）本题变形技巧性强，同时运用公式，及已知条件进行适当的放大。要求同学们做题时要有敏锐的数学观察能力。请你试试451已知函数f(x)=，a,bR，且，求证|f(a)-f(b)|a-b|。分析：要证，考察左边，是否能产生|a-b|。证明：|f(a
11、)-f(b)|= （其中，同理）回顾：1、证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们的共同点是证题成功的第一步。此外，综合运用不等式的性质是证题成功的关键。如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质，以及“三角形不等式”等等。2、本题的背景知识与解析几何有关。函数是双曲线，的上支，而（即），则表示该图象上任意两点连线的斜率的绝对值。（学过有关知识后），很显然这一斜率的范围是在（-1，1）之间。2（1）已知不等式|x-3|+|x+1|a，的解集为空集，求a的取值范围；（2）已知不等式|x-3|+|x+1|a有解，求a的取值范围。分析：“有解”即“解集非空”，可见（1）（2）两小题的答案（集合）
12、互为补集（全集为R）当然可以用|x-3|+|x+1|=这种“去绝对值”的方法来解，但我们考虑到“三角形不等式”：|a|-|b|ab|a|+|b|知|x-3|+|x+1|x-3-x-1|=4这样|x-3|+|x+1|4。解（略）回顾：本题是“绝对值不等式性质定理”（即“三角形不等式”）的一个应用。发展题：（1）已知不等式|x-3|+|x+1|a的解集非空，求a的取值范围。（2）已知不等式|x-3|+|x+1|a的解集非空，求a的取值范围。3已知f(x)的定义域为0,1，且f(0)=f(1)，如果对于任意不同的x1,x20,1，都有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|，求证：|f(x1)-f(x
13、2)|分析：题设中没有给出f(x)的解析式，这给我们分析f(x)的结构带来困难，事实上，可用的条件只有f(0)=f(1) ，与|f(x1)-f(x2)|x1-x2|两个。首先，若|x1-x2|，那么必有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|即|f(x1)-f(x2)|呢？考虑到0|x1-x2|1，则1-|x1-x2|，看来要证明的是|f(x1)-f(x2)|1-|x1-x2|成立！证明：不妨设x1x2，则0x1x21（1）当|x1-x2|时，则有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|即|f(x1)-f(x2)|时，即x2-x1时，0x2-x11 必有1-|x1-x2|即1- x2+x1 也可写
14、成|1- x2|+|x1| (*) 另一方面|f(x1)-f(x2)|=|f(1)-f(x2)+f(x1)-f(0)|f(1)-f(x2)|+|f(x1)-f(0)|1- x2|+|x1-0| 则由（*）式知|f(x1)-f(x2)|成立 综上所述，当x1,x20,1时都有|f(x1)-f(x2)|成立。 已知二次函数，当时，有，求证：当时，有.分析：研究的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑，这样做的好处有两个：一是的表达较为简洁，二是由于正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次
15、函数范围的目的. 要考虑在区间上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑在区间端点和顶点处的函数值.证明：由题意知：， ， .由时，有，可得 . ,.（1）若，则在上单调，故当时， 此时问题获证. （2）若，则当时，又， 此时问题获证. 综上可知：当时，有.评析：因为二次函数在区间和区间上分别单调，所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得. 第6变 绝对值不等式与其它知识的横向联系变题6（2003年全国高考试题）已知.设函数在R上单调递减.不等式的解集为R.如果和有且仅有一个正确，求的取值范围.思路 此题虽是一道在老教材之下
16、的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则.解题:函数在R上单调递减，不等式的解集为R函数在R上恒大于1，函数在R上的最小值为，不等式的解集为R，即，若正确，且不正确，则；若正确，且不正确，则；所以的取值范围为.收获“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化
17、.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答，是这个命题的基本特征，在求解时则主要以化归思想为解题切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.请你试试461（2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件和条件，请选取适当的实数的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.分析 本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的，也能先猜后证，所找到的实数只需满足，
18、且1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.解答 已知条件即，或，或，已知条件即，或；令，则即，或，此时必有成立，反之不然.故可以选取的一个实数是，A为，B为，对应的命题是若则，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.2 已知；是的必要不充分条件，求实数的取值范围.分析 本题实为上一命题的姊妹题，将命题的表述重心移至充要条件，使用了学生较为熟悉的语言形式.充要条件是一个十分重要的数学概念，新教材将这一内容的学习放在第一章，从而也可能利用第一章的知识内容来命题考查这一概念.本例是一道揉绝对值不等式、二次不等式的求解与充要条件的运用于一起的较好试题，要求学生能正确运用数学符号，规范数学学习行为，否则连读题审题都感困难.解答 由得，由，得，即，或，而即，或；由是的必要不充分条件，知，设A=，B=，则有A，故且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，解得，此即为“是的必要不充分条件”时实数的取值范围.
