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1、例谈巧解一元二次方程的两种方法 【摘 要】一元二次方程的常规解法一般是配方法、因式分解法和公式法。有些一元二次方程的系数和常数项数学较大，用公式法去解，计算量过大，用配方法去解会出现复杂的分数计算，用因式分解法去解难以入手，特别是没有理数根的方程无法分解，本文介绍两种解一元二次方程的特殊解法。 【关键词】一元二次方程 特殊解法 中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2014.01.098 一、根的和、差、积法 这个方法一般用在一次项系数和常数项较大而二次项系数为1的方程上。 例1：解方程x2+14x-207=0 设：方程的两个根x1x2，且
2、x1-x2=k（k0） 根据根与系数的关系可知x1+x2=-14，x1x2=-207 那么（-14）+k=2x，-14-k=2x2 （-14+k）（-14-k）=4x1x2=4x（-207） （-14+k）（-14-k）=4x1x2=4（-207） 即142-k2=4（-207），k2=142-4（-207）=4（72+207）=4256 k=216=32 因此，2x1=-14+32，x1=9，2x2=-14-32，x2=23。 例2：解方程x2-3x-16=0 解：设x1-x2=k 那么x1+x2=3 那么 k+3=2x1 k-3=2x2 （k+3）（k-3）=-4x1x2=4（-16） k
3、2-9=416 k2=64+9=73 k= 因此 2x1=3=，x1=，2x2=3-，x2= 用上述两例的解题方法可以推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式。 设x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根。 由根与系数的关系定理知道 x1+x2=-b/a x1x2=c/a 若x1-x2=k（k0） -得2x2=-b/a+k 得（-b/a+k）（-b/a-k）=4x1x2 代入得（-b/a+k） （-b/a-k）=4c/a 即（）-k2=4 k2=-4= a=将它代入和得 2x=，2x=- 所以x1=，x2= 二、新配方法 新配方法可避免复杂的分数运算，对于二次项系数不为1的一
4、元二次方程用此方法最好。 例1：解方程49x+28x-12=0 分析：本方程的特点是二次项系数49是7的完全平方数，并且一次项系数28有因数7，方程可变形为： （7x）2+4（7x）-12=0 解：对方程（7x）2+4（7x）-12=0进行配方 （7x）2+4（7x）+4=12+4 （7x+2）2=16， （7x+2）2-16=0 分解因式得（7x+2+4）（7x+2-4）=0 即（7x+6）（7x-2）=0 x1=-，x= 例2：解方程 12x2-16x-11=0 分析：方程的二次项系数12不是完全方数，若方程两边都乘以3，则方程变为： 36x2-48x-33=0，再按例1的方法变形为（6x
5、2）-8（16x）-33=0 配方求解：（6x）2-8（6x）+16=33+16 即（6x-4）2=49，（6x-4）2-49=0 分解因式（6x-4-7）（6x-4+7）=0 即（6x-11）（6x+3）=0 x=，x=-3 例3：17x2-38x+5=0 分析：方程的二次项系数17是质数，方程两边只能乘以它本身才能使二次项系数成为完全平方数，就是：1717x2-3817x+517=0再写 （17x）2-38（17x）+517=0 配方求解：（17x）2-38（17x）+192=192-517 即（17x-19）2=361-85=469 （17x-19）2-469=0 分解因式得（17x-1
6、9+2）（17x-19-2）=0 x1=，x2= 新配方法解一元二次方程同样可以推导它的求根公式 方程ax2+bx+c=0（a0）的二次项系数a不是一个完全平方的形式。如果两边都以a，则方程变为a2x2+abx+ac=0，这时二次项系数虽然成为完全平方的形式，但一次项系数ab没有2年因数，所以配方时分式的出现仍不可避免，为了即使二次项系数为完全平方数，又要使一次项系数有因数2，我们给原方程两边都乘以4a，则方程成为： 4a2x2+4abx+4ac=0 移常数项，配新常数项，得： 4a2x2+4abx+b2=b2-4ac 即（2ax+b）2=b2-4ac，或（2ax+b）2-（b2-4ac）=0 分解因式（2ax+b+）（2ax+b-）=0 由2ax+b+=0得x= 由2ax+b=0得x= 推导过程没有分式运算，这样比较简要。
