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1、动能定理和圆周运动相结合（专题）例题1如图所示，小球用不可伸长的长为L的轻绳悬于O点,小球在最低点的速度必需为多大时,才能在竖直平面内做完整个圆周运动? 变式训练1-1如图所示，质量为m的小球用不可伸长的细线悬于O点，细线长为L，在O点正下方P处有一钉子，将小球拉至与悬点等高的位置无初速释放，小球刚好绕P处的钉子作圆周运动。那么钉子到悬点的距离OP等于多少？例题2课本80页第2题变式训练2-1如图所示，小球自斜面顶端A由静止滑下，在斜面底端B进入半径为R的圆形轨道，小球刚好能通过圆形轨道的最高点C，已知A、B两点间高度差为3R，试求整个过程中摩擦力对小球所做的功。ACDBO例题3如图所示，竖直
2、平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正上方，一个小球在A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道并恰能到达B点。求：释放点距A点的竖直高度；落点C与A点的水平距离。变式训练3-1半径R=1m的1/4圆弧轨道下端与一水平轨道连接，水平轨道离地面高度h=1m，如图所示，有一质量m=1.0kg的小滑块自圆轨道最高点A由静止开始滑下，经过水平轨迹末端B时速度为4m/s，滑块最终落在地面上，试求: (1)不计空气阻力，滑块落在地面上时速度多大？(2)滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做功多少？例题4如图，光滑的水平面AB与光滑的半圆形轨道相接触，直径BC竖直，圆
3、轨道半径为R一个质量为m的物体放在A处，AB=2R，物体在水平恒力F的作用下由静止开始运动，当物体运动到B点时撤去水平外力之后，物体恰好从圆轨道的顶点C水平抛出，求水平力 变式训练4-1如果在上题中，物体不是恰好过C点，而是在C点平抛，落地点D点距B点的水平位移为4R，求水平力。变式训练4-2如图，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB段运动过程中的加速度。 解题步骤：、选取研究对象物体系或物体。、根据研究对象经历的物理过程，进行 分析、 分析，判断机械
4、能是否守恒。、恰当地选取 ，确定研究对象在过程的 、 状态时的 。、根据机械能守恒定律列方程，进行求解。（2）解题技巧：习题1（2）公式左：做受力分析，寻找 做功 的来源。公式右：根据题目出现的 、 、 选择公式。二、习题1、 如图所示把一个质量为m的小球用细线悬挂起来，形成一个摆，摆长为L，最大偏角为，小球从静止释放，求：（1） 小球运动到最低位置时的速度是多大；（2） 小球运动到最低位置时绳子的拉力是多大。OvL2、 如图所示，用长为L的轻绳，一端拴一个质量为m的小球，一端固定在O点，小球从最低点开始运动，若小球刚好能通过最高点，在竖直平面内做圆周运动，求：（1） 小球通过最高点的向心力；
5、（2） 小球通过最高点的速度；（3） 小球通过最低点的速度。（4） 小球通过最低点时受到绳子的拉力。AABCO3、 AB是竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，在下端B与光滑水平直轨道相切，如图所示，一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑。已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，求（1） 小球运动到B点时的速度；（2） 小球经过光滑圆弧轨道的B点和光滑水平轨道的C点时，所受轨道支持力FNB、FNC。4、 一质量m=2Kg的小球从光滑斜面上高h=3.5m处由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径R=1m的光滑圆环，如图所示，试求（g=10m/s2）hR图5-25（1） 小球滑至圆环底部时对环的压力；（2） 小球滑
6、至圆环顶点时对环的压力；（3） 小球至少应从多高处由静止滑下才能刚好越过圆环最高点ABCv5、 如图所示，半径R0.4m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平面相切于圆环的顶点A。一质量m0.10kg的小球以初速度v07.0m/s在水平地面上向左做加速度的大小为3.0m/s2的匀减速直线运动，运动4.0m后，冲上竖直半圆环，求（g=10m/s2）（1） 小球到达端点A时的速度；（2） 小球是否能到达圆环的最高点B；（3） 如果小球能够到达圆环的最高点，求小球通过B点的速度和小球对B点的压力；（4） 小球冲上竖半圆环，最后落在C点，求A、C间的距离。机械能守恒结合圆周运动（3）解题步
7、骤、选取研究对象物体系或物体。、根据研究对象经历的物理过程，进行受力分析、做功分析，判断机械能是否守恒。、恰当地选取参考平面（零势面），确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。、根据机械能守恒定律列方程，进行求解。通过习题1 （1）回顾机械能守恒的解题步骤。2、运用圆周运动向心力公式的技巧：刚才有部分同学完成了习题1（1）后已经进入了第二问的解答，那么解答第二问时是否还是继续用机械能守恒定律？由于模型是圆周，所以要用到之前的圆周运动的公式，习题1（2）（定点A）最低点的向心力由什么力提供？（拉力等于重力吗？）解答计算题时一定要对模型进行受力分析，还要有必要的文字表述（1）公式：公式左公式右
8、（2）解题技巧： 公式左：受力分析，寻找向心力的来源；公式右；根据题目出现的v，T选择公式 二、习题6、 如图所示把一个质量为m的小球用细线悬挂起来，形成一个摆，摆长为L，最大偏角为，小球从静止释放，求：（1） 小球运动到最低位置时的速度是多大；（2） 小球运动到最低位置时绳子的拉力是多大。解：（1）整个过程指向圆心绳拉力不做功，只有小球重力做功 机械能守恒和圆周运动的结合机械能守恒，以最低点（B）为零势面小球离零势面高度为 初状态起始点A点 末状态最低点B点 a) 小球运动到最低点受重力mg，绳子的拉力TOvL2如图所示，用长为L的轻绳，一端拴一个质量为m的小球，一端固定在O点，小球从最低点
9、开始运动，若小球刚好能通过最高点，在竖直平面内做圆周运动，求：（1） 小球通过最高点的向心力；（2） 小球通过最高点的速度；（3） 小球通过最低点的速度。（4） 小球通过最低点时受到绳子的拉力。解：（1）小球恰能通过最高点（A点）在最高点时小球只受重力公式左最高点的向心力 公式右（2）根据 求得 （3）整个过程，小球在重力和绳的拉力作用下做圆周运动，指向圆心拉力不做功，只有重力做功。机械能守恒和圆周运动结合机械能守恒，以最低点（B）点为零势面（4）ABCO3、AB是竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，在下端B与光滑水平直轨道相切，如图所示，一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑。已知圆轨道半径为R，
10、小球的质量为m，求（1） 小球运动到B点时的速度；（2） 小球经过光滑圆弧轨道的B点和光滑水平轨道的C点时，所受轨道支持力FNB、FNC。解：（1）从A下滑到B的过程，轨道对小球指向圆心的支持力不做功，只有小球重力做功机械能守恒和圆周运动结合机械能守恒，以BC为零势面 （2） 从A到B小球做圆周运动 小球从B到C做匀速直线运动 三、小结机械能守恒和圆周运动的结合的解题技巧1、根据题意，确定研究对象，建立模型2、对研究对象进行受力分析，做功分析，判断机械能是否守恒，分析向心力的来源（由那些力提供）3、确定零势面，初、末状态的机械能（定点列出初、末状态的）4、根据机械能守恒和圆周运动的规律列方程联
11、合求解小结：解题中易漏易错点4一质量m=2Kg的小球从光滑斜面上高h=3.5m处由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径R=1m的光滑圆环，如图所示，试求（g=10m/s2）CABhR图5-25（1） 小球滑至圆环底部时对环的压力；（2） 小球滑至圆环顶点时对环的压力；（3） 小球至少应从多高处由静止滑下才能刚好越过圆环最高点解：（1）从A下滑到B的过程，斜面对小球的支持力不做功，只有小球重力做功机械能守恒，以B点所在的水平面为零势面初状态起始点A 末状态最低点B （2）从A到C的过程，只有小球重力做功机械能守恒，以B点所在的水平面为零势面初状态起始点A 末状态圆环最高点C （3）刚好能越过最高点，
12、小球在最高点只受重力 根据 求得 ABCv5、如图所示，半径R0.4m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平面相切于圆环的顶点A。一质量m0.10kg的小球以初速度v07.0m/s在水平地面上向左做加速度的大小为3.0m/s2的匀减速直线运动，运动4.0m后，冲上竖直半圆环，求（g=10m/s2）（1） 小球到达端点A时的速度；（2） 小球是否能到达圆环的最高点B；（3） 如果小球能够到达圆环的最高点，求小球通过B点的速度和小球对B点的压力；（4） 小球冲上竖半圆环，最后落在C点，求A、C间的距离。解：（1）小球在水平面做匀减速直线运动 a3.0m/s2 （2）假设小球能冲上光滑圆
13、环，根据机械能守恒定律代入数字可得设小球到达最高点B的最小速度为，此时小球重力充当向心力根据 求得 小球能到达最高点B（3） 根据牛顿第三定律 N=N=1.25N 方向：竖直向上（4）小球冲上半圆环从B点以水平速度抛出，在重力的作用下，做平抛运动，最终落在C点动能定理2、 将质量m=2kg的一块石头从离地面H=2m高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g取10m/s2）hH2-7-23、 一质量为0.3的弹性小球，在光滑的水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前速度的大小相同，则碰撞前后小球速
14、度变化量的大小v和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为（ ）A .v=0 B. v=12m/s C. W=0 D. W=10.8J4、 在h高处，以初速度v0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为（ ）A. B. C. D. 2-7-3FOPQl5、 一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点。小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图2-7-3所示，则拉力F所做的功为（ ）A. mglcos B. mgl(1cos) C. Flcos D. Flsin2-7-47、 如图2-7-4所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v02m/s的速度匀速运行，传送带
15、与水平地面的夹角30，现把一质量ml0kg的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送至h2m的高处。已知工件与传送带间的动摩擦因数，g取10m/s2。(1)试通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动?(2)工件从传送带底端运动至h2m高处的过程中摩擦力对工件做了多少功?8、 如图4所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，BC处的摩擦系数为=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。 9、 电动机通过一条绳子吊起质量为8kg的物体。绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1200W，要将此
16、物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m（已知物体在被吊高90m以前已开始以最大速度匀速上升），所需时间为多少？（g取10 m/s2）机械能守恒 例1、相同例2、 例3.6.6.7、16、13、6、匀速圆周运动3、A 4、C 5、B 6、D7（1）T3N （2）T7N8解析：(1)小球做平抛运动在竖直方向 hgt2 t在水平方向：sv1tv0 R 所以v0R(2)因为tnTn 即 n 所以2n (n1，2，)图D-1答案：(1)R(2)2n (n1，2，)9、简解：（1）mg+TA=m2 LTA= m2 L-mg=0.88N 方向向下（2）mg+ TB -TA=m2 L/2 TB = TA
17、+m2 L/2-mg=0.32N 方向向下轴O受力方向向上，大小也为0.32N动能定理2、石头在空中只受重力作用；在泥潭中受重力和泥的阻力。对石头在整个运动阶段应用动能定理，有。所以，泥对石头的平均阻力N=820N。3、解答 由于碰撞前后速度大小相等方向相反，所以v=vt-(-v0)=12m/s,根据动能定理答案：BC4、解答 小球下落为曲线运动，在小球下落的整个过程中，对小球应用动能定理，有，解得小球着地时速度的大小为 。正确选项为C。5、解答 将小球从位置P很缓慢地拉到位置Q的过程中，球在任一位置均可看作处于平衡状态。由平衡条件可得F=mgtan，可见，随着角的增大，F也在增大。而变力的功
18、是不能用W= Flcos求解的，应从功和能关系的角度来求解。小球受重力、水平拉力和绳子拉力的作用，其中绳子拉力对小球不做功，水平拉力对小球做功设为W，小球克服重力做功mgl(1cos)。小球很缓慢移动时可认为动能始终为0，由动能定理可得 Wmgl(1cos)=0， W= mgl(1cos)。正确选项为B。7、解答 (1)工件刚放上皮带时受滑动摩擦力，工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律可得m/s2=2.5m/s2。设工件经过位移x与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律可得 m=0.8m4m。故工件先以2.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8m与传送带达到共同速度2m/s后做匀
19、速直线运动。(2)在工件从传送带底端运动至h2m高处的过程中，设摩擦力对工件做功Wf，由动能定理 , 可得 JJ=220J。8、解答：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、BC段的摩擦力共三个力做功，WG=mgR，fBC=umg，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W外=0，所以mgR-umgS-WAB=0即WAB=mgR-umgS=1100.8-1103/15=6(J)9、解答 起吊最快的方式是：开始时以最大拉力起吊，达到最大功率后维持最大功率起吊。在匀加速运动过程中，加速度为m/s2=5 m/s2，末速度 m/s=10m/s， 上升时间 s=2s，
20、上升高度 m=10m。在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速度为m/s=15m/s，由动能定理有 ，解得上升时间s=5.75s。所以，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m，所需时间为t=t1+t2=2s+5.75s=7.75s。1、长为L的轻绳的一端固定在O点，另一端拴一个质量为m的小球，先令小球以O为圆心，在竖直平面内做圆周运动，小球能通过最高点，如图则： A小球通过最高点时速度可能为零B小球通过最高点时所受轻绳的拉力可能为零C小球通过最低点时速度大小可能等于D小球通过最低点时所受轻绳的拉力可能等于6mgABCv0R图82、（14分）如图8所示，半径R=0.40m的光滑半圆环轨道处
21、于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A。一质量m=0.10kg的小球，以初速度v0=7.0m/s在水平地面上向左作加速度a=3.0m/s2的匀减速直线运动，运动4.0m后冲上竖直半圆环，最后小球落在C点。（重力加速度g=10m/s2）（1）判断小球能否过半圆环轨道的最高点B；（2）求A、C间的距离。3、(14分)如图所示，粗糙的水平面与竖直平面内的光滑弯曲轨道BC在B点吻接(即水平面是弯曲轨道的切线)，圆轨道的半径R=40cm,质量为m=100g的小球从A点以vA=7m/s的初速度由直轨道向右运动，物块与水平面间的动摩擦因数0.2，AB长为6m，求：（1）小物块滑到B点时的速度
22、多大及小物块对B点的压力大小 (2) 小物块能否过C点，若能，求出小物块对C点的压力，若不能，请说明原因。（3）要使小物体从C点脱离轨道，小球在A点的初速度必须满足什么条件？L6、如图，固定于小车上的支架上用细线悬挂一小球线长为L小车以速度V0做匀速直线运动，当小车突然碰到障障碍物而停止运动时小球上升的高度的可能值是 ( ) A. 等于 B. 小于 C. 大于 D等于2L ACDAHR小OBCDE7、 （18分）如图所示，四分之三周长圆管的半径R=0.4m，管口B和圆心O在同一水平面上，D是圆管的最高点，其中半圆周BE段存在摩擦，BC和CE段动摩擦因数相同，ED段光滑；直径稍小于圆管内径、质量
23、m=0.5kg的小球从距B正上方高H=2.5m处的A处自由下落，到达圆管最低点C时的速率为6m/s，并继续运动直到圆管的最高点D飞出，恰能再次进入圆管，假定小球再次进入圆管时不计碰撞能量损失，取重力加速度g=10m/s2，求（1） 小球飞离D点时的速度（2） 小球从B点到D点过程中克服摩擦所做的功（3） 小球再次进入圆管后，能否越过C点？请分析说明理由8、倾角为37的光滑导轨，顶端高H=1.45m，下端通过一小段光滑圆弧与薄壁细管做成的玩具轨道相接于最低端B。玩具轨道由间距为x0=1m的若干个相同圆环组成，圆环半径R=0.5m，整个玩具轨道固定在竖直平面内。第一个圆环记作0号，第二个圆环记作1
24、号，其余依次类推，如图所示。一质量m=0.5kg的小球在倾斜导轨顶端A以v02m/s速度水平发射，在落到倾斜导轨上P点后即沿轨道运动（P点在图中未画出）。假设小球落到轨道时平行轨道方向速度不变，玩具轨道圆环部分内壁光滑，水平段的动摩擦因数0.2，取g10m/s2，求：（1）小球落到倾斜导轨上的P点位置和开始沿倾斜导轨运动的速度大小vP？（2）小球最终停在什么位置？x0=1mH=1.45mv0=2m/s01n37B0P1、（16）如图所示，质量为m的小球用不可伸长的细线悬于O点，细线长为L，在O点正下方P处有一钉子，将小球拉至与悬点等高的位置无初速释放，小球刚好绕P处的钉子作圆周运动。那么钉子到
25、悬点的距离OP等于多少？ 3L/524如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正上方，一个小球在A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道并恰能到达B点。求：释放点距A点的竖直高度；落点C与A点的水平距离。(3)小球落到C点的速度。ACDBO25、如图所示，半径R = 0.4m的光滑半圆轨道与粗糙的水平面相切于A点，质量为 m = 1kg的小物体（可视为质点）在水平拉力F的作用下，从C点运动到A点，物体从A点进入半圆轨道的同时撤去外力F，物体沿半圆轨道通过最高点B后作平抛运动，正好落在C点，已知AC = 2m，F = 15N，g取10m
26、/s2，试求：（1）物体在B点时的速度以及此时半圆轨道对物体的弹力（2）物体从C到A的过程中，摩擦力做的功7、解（1）小球飞离D点做平抛运动，有 （1） （2）由（1）（2）得 （3）（2）设小球从B到D的过程中克服摩擦力做功Wf1，在A到D过程中根据动能定理，有 （4）代入计算得， Wf1=10J （5）（3）设小球从C到D的过程中克服摩擦力做功Wf2，根据动能定理，有 （6）代入计算得， Wf2=4.5J （7）小球从A到C的过程中，克服摩擦力做功Wf3，根据动能定理，有Wf3=5.5J小球再次从D到C的过程中，克服摩擦力做功Wf4，根据动能定理，有 （8） （9）小球过BE段时摩擦力大小
27、随速度减小而减小，摩擦力做功也随速度减小而减少。第二次通过BC段与CE段有相等的路程，速度减小 （10）所以 Wf40，即小球能过C点。25.解（1）小球从A做平抛运动，经过时间t落到倾斜导轨上的P点，水平位移x，竖直位移y，有 （1） （2） （3） （4） （5）由上述式子得 x=0.6m或P点位置，即距抛出点l=0.75m （6） （7）（2）设小球到B点的动能为EkB，从P到B机械能守恒，有 （9）设小球射入某一圆环低端时动能为Ek0，则要使小球能通过圆环，必须有 （10）小球每次通过水平段轨道时克服摩擦力做功Wf，有 （11）设小球通过N号圆环后，剩余能量为EN，共克服水平段轨道摩擦力做功n*1J，当其能量E大于1J且小于5J时，就只能到达N+1号圆环，但不能通过该圆环，它将在N号圆环与N+1号圆环间来回运动有 （12）n2.89 （13）即当小球通过2号圆环后就不能通过3号圆环，只能在2号、3号圆环间来回运动 （14）小球刚通过2号圆环时具有的能量E3=7.89-3=4.89J （15）E3=mgx，即x=4.89m （16）所以，最终小球将停在2、3号圆环之间，离2号圆环底端0.11m位置 （17）说明：共18分，其中（17）式2分，其余每式1分，即完成（14）式得14分，其余类推。
