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1、内容概述第三讲 绝对值 绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质绝对值 简单的绝对值方程 化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用绝对值的定义及性质绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|0，这是绝对值非常重要的性质； a （a0）（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a0) （3） 若|a|=a，则a0；若|a|=-a，则a0；（4）
2、 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|a，且|a|-a；（5） 若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）（6） |ab|=|a|b|；|=（b0）；（7） |a|=|a|=a；（8） |a+b|a|+|b| |a-b|a|-|b| |a|+|b|a+b| |a|+|b|a-b|例1（1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2） 若ab|ab|，则下列结论正确的是（ ）A.a0，b0 B.a0，b0 C.a0，b0 D.ab0（3） 下列各组判断中，正确的是（ ）A若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|b|,则一定有abC. 若|a|b，则
3、一定有|a|b| D.若|a|=b，则一定有a=(-b) （4） 设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？分析：（1） 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有3，4，有4个（2） 答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。（3） 选择D。（4） 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|0，则|a+b|9，有最小值9巩固 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？：绝对值小于3.1的整数有0，1，2，3，和为0。巩固 有理数a与b满足|a|b|，则下面哪个答案正确（ ） A.ab B.a=b C.ab D.无法确定分析：选择D。巩固 若|x-3|=
4、3-x，则x的取值范围是_分析：若|x-3|=3-x，则x-30，即x3。对知识点3的复习巩固巩固 若ab，且|a|b|，则下面判断正确的是（ ） A.a0 B.a0 C.b0 D.b0分析：选择C巩固 设a，b是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？分析：|a-b|0，-8-|a-b|-8，所以有最大值-8例2（1）（竞赛题）若3|x-2|+|y+3|=0，则的值是多少？（2）若|x+3|+(y-1)=0，求的值分析：（1）|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3，= （2）由|x+3|+（y-1）=0，可得x=-3，y=1。=-1 n为偶数时，原式=1；n为奇
5、数时，原式=-1小知识点汇总：（本源 |a|0 b0） 若(x-a)+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0； 若|x-a|+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0； 若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0； 当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为0，两个非负数互为相反数时，两者均为0简单的绝对值方程【例3】（1） 已知x是有理数，且|x|=|-4|，那么x=（2） 已知x是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=（3） 已知x是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=（4） 如果x，y表示有理数，且x，y满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=
6、y-x，那么x+y的值是多少？分析： （1）4，-4 （2）2，-2， （3）2，-2 （4）x=5，y=2，且|x-y|=y-x，x-y0； 当x=5，y=2时不满足题意；当x=5，y=-2时不满足题意； 当x=-5，y=2时满足题意；x+y=-3；当x=-5，y=-2时满足题意，x+y=-7。【巩固】巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值分析：因为|x|=4，所以x=4，因为|y|=6，所以y=6 当x=4，y=6时，|x+y|=|10|=10； 当x=4，y=-6时，|x+y|=|-2|=2; 当x=-4，y=6时，|x+y|=|2|=2； 当x=-4，y=-6时，|x+y|
7、=|10|=10【例4】解方程：（1） （2）|4x+8|=12 （3）|3x+2|=-1 （4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x与y互为相反数，求的值分析：（1）原方程可变形为：|x+5|=，所以有x+5=，进而可得：x=-，-； （2）4x+8=12，x=1，x=-5 （3）此方程无解 （4）|x-1|=2，x-1=2，x=3，x=-1，|y|=3，y=3，且x与y互为相反数，所以x=3，y=-3，【例5】 若已知a与b互为相反数，且|a-b|=4，求的值分析：a与b互为相反数，那么a+b=0。 = 当a-b=4时，且a+b=0，那么a=2，b=-2，-ab=4； 当a-b=-4时，且
8、a+b=0，那么a=-2，b=2，-ab=4； 综上可得=4化简绝对式【例6】（1） 已知a=-，b=-，求的值（2） 若|a|=b，求|a+b|的值（3） 化简：|a-b|分析：（1）原式= （2）|a|=b，我们可以知道b0，当a0时，a=-b，|a+b|=0；当a0时，a=b，|a+b|=2b （3）分类讨论。 当a-b0时，即ab，|a-b|=a-b； 当a-b=0时，即a=b，|a-b|=0； 当a-b0时，即ab，|a-b|=b-a。【巩固】 化简：（1）|3.14-| （2）|8-x|（x8） 分析：（1）3.14，3.14-0，|3.14-|=-3.14 （2）x8，8-x0，
9、|8-x|=x-8。【例7】有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|CB0A分析：|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-（a+c）-（c-b）=2b-2c【巩固】已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|a0cb分析：|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a【巩固】数a，b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|a0b分析：|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|=-（a+b）+（b-a）+b-（-2a）=b【例8】（1）若a
10、-b且，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab| （2）若-2a0，化简|a+2|+|a-2| （3）已知x00,|y|z|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值分析：（1）若a-b且，a0,b0,a+b0 |a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a (2)因为-2a0，所以a+20，a-20，|a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4 (3)由x00可得：y0|z|x|,可得：yxz;原式=x+z-y-z-x+y=0【巩固】如果0m10并且mx10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10| 分析：|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=
11、x-m+10-x+m+10-x=20-x【例9】（1）已知x-3,化简|3+|2-|1+x| （2）若a0，试化简分析：（1）当x-3时，|3+|2-|1+x|=|3+|2+1+x|=|3+|3+x|=|3-3-x|=|-x|=-x （2）=-【例10】若abc0，则的所有可能值 分析：从整体考虑： （1）a，b，c全正，则=3； （2）a，b，c两正一负，则=1； （3）a，b，c一正两负，则=-1； （4）a，b，c全负，则=-3【巩固】有理数a，b，c，d，满足，求的值分析：有知abcd0，所以a，b，c，d里含有1个负数或3个负数：（1） 若含有1个负数，则=2；（2） 若含有3个负数
12、，则=-2【例11】化简|x+5|+|2x-3| 分析：先找零点。x+5=0，x=-5；2x-3=0，x=，零点可以将数轴分成几段。 当x，x+50,2x-30，|x+5|+|2x-3|=3x+2； 当-5x，x+50,2x-30，|x+5|+|2x-3|=8-x； 当x-5，x+50,2x-3，|x+5|+|2x-3|=-3x-2【巩固】化简：|2x-1|分析：先找零点。2x-1=0，x=，依次零点可以将数轴分成几段（1） x,2x-1，2x-10，|2x-1|=2x-1。也可将（2）与（1）合并写出结果【例12】求|m|+|m-1+|m-2|的值 分析：先找零点，m=0，m-1=0，m-2
13、=0，解得m=0,1,2 依这三个零点将数轴分为四段：m0,0m1,1m2，m2。 当m0时，原式=m（m-1）-（m-2）=-3m+3 当0m1时，原式=m-（m-1）-（m-2）=-m+3 当1m2时，原式=m+（m-1）-（m-2）=m+1 当m2时，原式m+(m-1)+（m-2）=3m-3绝对值几何意义的应用|a|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离|a-b|的几何意义：在数轴上，表示数a，b对应数轴上两点间的距离【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值分析：由上题可知，本题中的式子值应为x所对应的点分别到3,5,2，-1，-7所对应
14、的点距离和。通过数轴可以看到，当x=2时，五段距离的和有最小值16。这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解： 【小学奥数相关题目】如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？ABCDE分析：我们来分析以下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的哪一点，A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD。最后，只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了。那么当然也就是
15、把邮筒放在C点了。这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”题后小结论： 求|x-a|+|x-a|+|x-a|的最小值： 当n为奇数时，把a、a、a从小到大排列，x等于最中间的数值时，该式子的值最小。 当n为偶数时，把a、a、a从小到大排列，x取最中间两个数值之间的数（包括最中间的数）时，该式子的值最小。【巩固】探究|a|与|a-b|的几何意义 分析：|a|即为表示a的点A与原点之间的距离，也即为线段AO的长度。 关于|a-b|，我们可以引入具体数值加以分析： 当a=3，b=2时，|a-b|=1； 当a=3，b=-2时，|a-b|=5； 当a=3，b=0时，|a-b|=3； 当a=-3，b=-2时，
16、|a-b|=1； 从上述四种情况分别在数轴上标注出来，我们不能难发现：|a-b|对应的是点A与点B之间的距离，即线段AB的长度。【巩固】设a、a、a、a、a为五个有理数，满足a a a a a,求|x- a|+|x- a|+|x- a|+|x- a|+|x- a|的最小值分析：当x= a时有最小值，a+ a- a- a【例14】设abcbc,那么a+b-c=分析：根据题意可得：a=1，b=-2，c=-3，那么a+b-c=0或2【例2】 已知(a+b)+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=分析：因为(a+b)+|b+5|=b+5,我们可以知道b+50，所以原式可以表示为：(a+
17、b)+b+5=b+5，(a+b)=0，a=-b，又因为|2a-b-1|=0，进而2a-b-1=0，进而2a-b-1=0,3a=1，a=，b=-，ab=-【例3】 对于|m-1|，下列结论正确的是（ ）A.|m-1|m| B.|m-1|m| C. |m-1|m|-1 D. |m-1|m|-1 分析：我们可以分类讨论，但那样对于做选择题都过于麻烦了。我们可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要带入正数、负数、0,3种数帮助找到准确答案。易得答案为C。 【例4】 设a，b，c为实数，且|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|分析：|a
18、|+a=0，|a|=-a，a0；|ab|=ab，ab0；|c|-c=0，|c|=c，c0。所以可以得到a0，b0，c0；|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=-b+（a+b）-（c-b）-（a-c）=b【例5】 化简：|x-1|-2|+|x+1| 分析：先找零点。x-1=0，x=1，|x-1|-2=0，|x-1|=2，x-1=2或x-1=-2，可得x=3或者x=-1；x+1=0，x=-1；综上所得零点有1.，-1,3，依次零点可以将数轴分成几段。（1） x3，x-10，|x-1|-20，x+10, |x-1|-2|+|x+1|=2x-2；（2） 1x3，x-10，|x-1|-20，|x-
19、1|-2|+|x+1|=4；（3） -1x1，x-10，|x-1|-20，x+10，|x-1|-2|+|x+1|=2x+2；（4） x-1,x-10,|x-1|-20,x+10, |x-1|-2|+|x+1|=-2x-2【例6】 已知有理数a，b，c满足，求的值 分析：对于任意的整数a，有，若，则a，b，c中必是两正一负，则abc0，则x+y的值为多少？ （2）解方程：|4x-5|=8分析：（1）x=2，y=3， 当x=2，y=3时，不满足x-y0； x=2，y=-3时，满足x-y0，那么x+y=-1； x=-2，y=3时，不满足x-y0； x=-2，y=-3时，满足x-y0，那么x+y=-5
20、。 综上可得x+y的值为-1，-5（2）4x-5=8，x=，x=-3、（1）有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|ac0b （2）若ab，求|b-a+1|-|a-b-5|的值 （3）若a0，化简|a-|-a|分析：（1）a-b0，b-c0，a+b0 |a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|=-（a-b）+（a+b）+（b-c）+c=3b （2）|b-a+1|-|a-b-5|=b-a+1+a-b-5=-4 （3）|a-|-a|=|a+a|=|2a|=-2a4、已知a是非零有理数，求的值分析：若a0，那么=1+1+1=3； 若a0，那么=-1+1-
21、1=-15、化简|x-1|-|x-3|分析：先找零点。x-1=0,，x=1；x-3=0，x=3，依照零点可以将数轴分成几段。（1） x3，x-10，x-30，|x-1|-|x-3|=x-1-（x-3）=2；（2） 1x3，x-10，x-30 ，|x-1|-|x-3|=x-1+（x-3）=2x-4；（3） x1，x-10，x-30，|x-1|-|x-3|=-（x-1）+（x-3）=-26、设abc，求当x取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值分析：|x-a|+|x-b|+|x-c|实际表示x到a，b，c三点距离和，画图可知当x=b时，原式有最小值c-a用绝对值的几何意义解题大家知道，
22、|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；|ab|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍一、求代数式的最值 例1 已知a是有理数，| a2007|+| a2008|的最小值是_.解：由绝对值的几何意义知，| a2007|+| a2008|表示数轴上的一点到表示数2007和2008两点的距离的和，要使和最小，则这点必在20072008之间（包括这两个端点）取值（如图1所示），故| a2007|+| a2008|的最小值为1. 例2 |x2| x5| 的最大值是_，最小值是_解：把数轴上表示x的点记为P由绝对值的几何意义知，|x2
23、| x5|表示数轴上的一点到表示数2和5两点的距离的差，当P点在2的左边时，其差恒为3；当P点在5的右边时，其差恒为3；当P点在25之间（包括这两个端点）时，其差在33之间（包括这两个端点）（如图2所示），因此，|x2| x5|的最大值和最小值分别为3和3二、解绝对值方程 例3 方程|x1|+|x2|4的解为_ 解：把数轴上表示x的点记为P，由绝对值的几何意义知，当2x1时，|x1|+|x2|恒有最小值3，所以要使|x1|+|x2|4成立，则点P必在2的左边或1的右边，且到表示数2或1的点的距离均为个单位（如图3所示），故方程|x1|+|x2|4的解为：x 2，x 1+ 三、求字母的取值范例4
24、 若 |x+1|+|2x|3，则x的取值范围是_解：由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x2|的最小值为3，此时x在12之间（包括两端点）取值（如图4所示），故x的取值范围是1x2例5 对于任意数x，若不等式|x2|+|x4|a恒成立，则a的取值范围是_解：由绝对值的几何意义知，|x2|+|x4|的最小值为6，而对于任意数x，|x2|+|x4|a恒成立，所以a的最值范围是a6 四、解不等式例6 不等式|x2|+|x3|5的解集是_解：由绝对值的几何意义知，|x2|+|x3|的最小值为5，此时x在23之间（包括两端点）取值，若|x2|+|x3|5成立，则x必在2的左边或3的右边取值（如图5所示）
25、，故原不等式的解集为x2或x3五、判断方程根的个数例7 方程|x+1|+|x+99|+|x2|1996共有（ ）个解A.4； B 3； C 2； D1解：当x在991之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x+99|98，|x2|98此时，|x+1|+|x+99|+|x2|1996，故|x+1|+|x+99|+|x2|1996时，x必在991之外取值，故方程有2个解，选（C）六、综合应用例8（第15届江苏省竞赛题，初一）已知|x2|+|1x|9|y5|1+y|，求x+ y最大值与最小值解：原方程变形得|x2|+|x1|+|y5|+|y+1|9， |x2|+|x1|3，
26、|y5|+|y+1|6，而|x2|+|x1|+|y5|+|y+1|9，|x2|+|x1|3，|y5|+|y+1|6，2x1，1y5，故x+ y的最大值与最小值分别为6和3m-n的几何意义是：数轴上表示数m,n,的两点之间的距离。利用绝对值的几何意义思考有关绝对值的问题，可使某些利用绝对值的代数定义难以解决的问题，简明直观地获得妙解。例1 求x-1+x-2的最小值。析解：由绝对值的几何意义知x-1表示x到1的距离，x-2表示x到2的距离。012CAB如上图，设点A，点B表示1，2，点C表示x，点C可移动。当点C在A的左侧时，x-1CA，x-2CB1；当点C在A的右侧时，x-1CA1，x-2CB；
27、当点C在A、B之间时，x-1CA，x-2CB；有CA+CBAB1.显然，要使x-1+x-2最小，点C应在点A与点B两点之间，即1x2。这时，x-1+x-2（x-1）+（x-2）x1+2x1例2 求x-1+x-2+x-3的最小值。析解：根据绝对值的几何意义知，x-1，x-2，x-3分别表示x到1，x到2，x到3的距离。由例1的分析知，x-1+x-2+x-3是在x处于1和3之间（包括1和3）时有最小值，即当1x3时。又因为2处于1和3之间，所以x-1+x-2+x-3的最小值是在x-1+x-3取最小值的基础上x-2取最小值，即x-20，则x2.这时，x-1+x-2+x-32-1+2-2+2-32例3 求x-1+x-2+x-3+x-4的最小值。析解：根据绝对值的几何意义知，x-1，x-2，x-3，x-4分别表示x到1，x到2，x到3 ，x到4的距离。由例1的分析知，x-1+x-4是在1x4之间有最小值，x-2+x-3是在2x3之间有最小值。所以x-1+x-2+x-3+x-4是在2x3之间有最小值。这时，x-1+x-2+x-3+x-4x-1+x-2+（x-3）+（x-4）=4.点评：解最小值问题时，利用数轴把抽象的数学语言（如x-1）用直观的图形表示，解题思路豁然开朗。同时例2，例3的解决体现了数学“万变不离其宗”的学科特点！
