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1、安徽霍邱一中2012届第二次教学质量检测数学试题（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.参考公式：若随机变量，则，.第卷（选择题，共50分）一、选择题:本大题共10个小题，每小题5分，共50分.请把答案填在答题卡的相应位置.1.若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.2.在样本的频率分布直方图中，一共有个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余个小矩形面积和的0.25，且样本容量为100，则第3组的频数是（ ）A.10 B.25 C. 20 D. 403.已知圆的直角坐标方程为在以原点为极点，轴正半轴为极轴
2、的极坐标系中，该圆的方程为（ ）A. B. C. D.4.“”是“函数有零点”的（ ）A.充分非必要条件 B.充要条件 C.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件5.已知函数，则是（ ）A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数6.已知变量满足约束条件则的最大值为（ ）A.16B.32C.4D.2开 始 结 束输出NY7.已知数列，其中,利用如图所示的程序框图输出结果为该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（ ）A. B. C. D.8.皖西七校高三联考中，理科学生的数学成绩服从正态分布.已知参加本次考试的理科学生约9458人.某学生在
3、这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在前多少名左右？（ ）A.1500 B.1700 C.4500 D.80009.已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.10.在边长为1的正三角形中，且，则的最大值为（ ）A. B. C. D.第卷（非选择题，共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请把答案填在答题卡的相应位置.11.若双曲线的一个焦点是，则实数 . 12.设集合，若，把的所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集.
4、则的所有奇子集的容量之和为 .13.在中，边上的高为，则 . 14.若，则 .（用数字作答）15.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么正方体的8个顶点构成的四面体是“三节棍体”的概率是 . 三、解答题:本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16.已知函数.（1）求在处的切线方程；（2）设，对任意，求实数的取值范围.17.2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，某地公安交警部门在321国道沿线设立了多个长
5、途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所. 交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图所示：（1）问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？（2）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？（3）在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求抽取的2名驾驶人员中四川籍人数的分布列及其均值.18.已知的面积为，内角的对边分别为，已知 .（1）求的值； （2）求的值；（3）求向量的数量积.19.如图，在三棱柱中，侧面、为全等的矩形，并且,侧面，为棱上异于、
6、的一点，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.20.如图，椭圆的顶点为，焦点为，.（1）求椭圆的方程；（2）设是过原点的直线，是与垂直相交于点，与椭圆相交于两点的直线，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21.顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过点，过点作抛物线的切线交轴于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，过点作抛物线的切线交轴于点，过点作抛物线的切线交轴于点（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为求证:；（3）设，若对于任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围参考答案一、选择题题号12345678910答案DCBCABDADB二、填空题11、
7、 12、7 13、 14、 15、三、解答题16. （本小题满分12分）【解】：（1）定义域为 1分，且切点为 4分 故在处的切线方程-6分（2）由已知，因为，所以当时，不合题意 8分当时，由，可得设，则，设，方程的判别式若，在上是增函数，又，所以， 10分若，所以存在，使得，对任意，在上是减函数，又，所以，综上，实数的取值范围是 12分17.【解】：（1）交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法.（3分）（2）从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有：人，四川籍的有：人，（4分）设四川籍的驾驶人员应抽取名，依题意得，解得即四川籍的应抽取2名. （7分）（3） 的所有可能
8、取值为0，1，2；（8分），（10分）的分布列为：012 （11分）均值.（12分）18.【解】：（1）由，即，得 （2分） ，（4分）（2）由（1）得，（5分） （6分）（7分） （9分）（3）， （10分）设向量与所成的角为，则（11分） （12分） 19.（1）【证明】：依题意，可知两两垂直，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，则设，则，从而，平面；（2）【解】：由题意，又，设二面角的大小为则，即二面角的大小为余弦值为.【解法2】：简证（1）平面平面平面（2）连接相交于，取中点，中点，连接则可判断二面角的平面角，且易知.20.【解】：（1）由,知， 由，知，又，由解得，故椭圆的方程为.（2）设两点的坐标分别为，假设使成立的直线存在，当不垂直于轴时，设的方程为，由与垂直相交于点且得，即，即，将代入椭圆方程，得，由求根公式可得，将代入上式并化简得将代入并化简得，矛盾.即此时直线不存在.（2）当垂直于轴时，满足的直线的方程为或，当时，的坐标分别为，当时，同理可得，矛盾.即此时直线也不存在.综上可知，使成立的直线不存在.21、（1）由已知得抛物线方程为 2分则设过点的切线为令，故又，所以， 4分（2）由（1）知所以+1+ 6分由，得所以)7分从而，即9分（3）由于，故对任意正整数，不等式成立，即恒成立设，10分则故=所以，故递增12分则故14分
