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1、第4课时 不等式证明（二）基础过关证明不等式的其它方法：反证法、换元法、放缩法、判别式法等反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原命题是正确的证明方法换元法：对结构较为复杂，量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式的证明方法放缩法：为证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些代数项，使不等式的一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法叫放缩法判别式法：根据已知的式子或构造出来的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函数的性质等特征，确定其判别式所应满足的不等式，从
2、而推出所证的不等式成立典型例题例1. 已知f(x)x2pxq，(1) 求证：f(1)f(3)2f(2)2；(2) 求证：f(1)、f(2)、f(3)中至少有一个不小于 证明: (1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2(2)用反证法。假设f(1)、f(2)、f(3)都小于，则f(1)+2f(2)+f(3)2，而f(1)+2f(2)+f(3)f(1)f(3)2f(2)2，出现矛盾.f(1)、f(2)、f(3)中至少有一个不小于.变式训练1：设，那么三个数、 （ ）A都不大于2B都不小于2 C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解:D例2. （1） 已知x2y21，
3、求证:.（2） 已知a、bR，且a2b21，求证:.证明:(1)设 (其中) (2)令(其中k21),则故原不等式成立.变式训练2： 设实数x，y满足x2(y1)21，当xyc0时，c的取值范围是（ ）A.B. C.D.解:A例3. 若，求证：证明：当时 即故原不等式成立变式训练3：若f(n)n，g(n)n，(n)，则f (n)，g (n)，(n)的大小顺序为_解:g(n)(n)f(n)例4. 证明：证明：设，则(1y)x2x1y0(1)当y1时，xR，14(1y)20得(2)当y1时，由(1y)x2x1y0得x0待添加的隐藏文字内容1而x0是函数的定义域中的一个值；y1是它值域中的一个值.综
4、合(1)和(2)可知，即变式训练4：设二次函数，若函数的图象与直线和均无公共点(1) 求证：(2) 求证：对于一切实数恒有证明：(1)由ax2(b1)xc0无实根，得1(b1)24ac0由ax2(b1)xc0无实根得2(b1)24ac1(2)4acb210，a(x)与同号，axbxc a(x)2a(x)归纳小结1凡是含有“至少”，“至多”，“唯一”，“不存在”或其它否定词的命题适宜用反证法2在已知式子中，如果出现两变量之和为正常数或变量的绝对值不大于一个正常数，可进行三角变换，换元法证明不等式时，要注意换元的等价性3放缩法证题中，放缩必须有目标，放缩的途径很多，如用均值不等式，增减项、放缩因式等4含有字母的不等式，如果可以化成一边为零，另一边是关于某字母的二次三项式时，可用判别式法证明不等式成立，但要注意根的范围和题设条件的限制
