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1、 空间平面法向量方向的判定 张 良 兵(温州中学,浙江 325000) 用传统的综合法求二面角的大小时,要看能否用三垂线定理、能否作二面角棱的垂面,还要挖空心思地想能否把各种关系转化到平面问题中去.建立空间坐标系后,我们把求二面角的大小转化为求二面角的法向量的夹角,用坐标向量法节省了思维,上手快.文1介绍了二面角的大小与法向量夹角的关系：同内同外互补,一内一外相等,但法向量方向的判定却没有指出具体方法.我们知道当平面与空间坐标系中三个坐标平面平行或重合时,平面的法向量的方向是很容易知道的,除此外又如何判定平面的法向量的方向呢?1.二面角的法向量方向的判定方法二面角法向量方向的判定应该选定一个向
2、量作为参照向量(这个参照向量不能和平面垂直或平行).如图1:设平面的法向量分图1别为n1、n2,在二面角内的一个参照向量为n0,当向量n1n00时显然n1与n0的夹角为锐角,我们称法向量n1的方向指向二面角的外部. 如图2,当向量n1n00时, 显然n1与n0的夹角为钝角,我们称法向量n1的方向指向二面角的图2内部. 于是我们能够判定二面角法向量方向,再利用文1能轻而易举求出二面角的大小了. 2.判定方法的运用 例1.(2005福建高考题)如图3,已知ABCD是上、下底边长分别为2和6,高为的等腰梯形,将它沿对称轴OO1折成直二面角.图3（）证明：ACBO1;（）求二面角OACO1的大小. 解
3、 （）略 （）建立如图坐标系,则A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,1,),O1(0,0,). 设平面AOC的法向量为n1=(x,y,z),由n1, n1得:设z=-1,得,所以n1=,又(取为参照向量),n1=,所以平面AOC的法向量指向二面角OACO1的内部.同理求得平面AO1C的法向量n2=(1,0,),又,n2=,所以平面AO1C的法向量指向二面角OACO1的内部.由同内同外互补,我们知道二面角的大小为cos=所求二面角的大小为:. 例2.(2005全国高考题)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形, ABDC,底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点,如图4
4、.（）证明：面PAD面PCD;（）求AC与PB所成的角;（）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.图4 解 （）,（）略（）建立如图坐标系,则P(0,0,1),B(0,2,0),C(1,1,0).由P、B的坐标得M坐标为(0,1,). ,设平面AMC的法向量为n1=(x,y,z), 由n1, n1得,令z=-2,得n1=(-1,1,-2). 取为参照向量, =(0,2,0),则n1=2. 所以平面AMC的法向量指向二面角AMCB的外部. 同理求得平面BMC的法向量n2=(2,1,1). 取为参照向量, =(0,-2,0),则n2=-2, 所以平面BMC的法向量指向二面角AMCB的内部. 由一内一外相等,我们知道二面角AMCB大小为. cos= 二面角AMCB大小为. 说明：在具体的问题中参照向量的起点通常放在二面角的半平面上,这样有助于二面角法向量方向的判定.参考文献：1 竺美月.同内同外互补,一内一外相等二面角及其法向量所成角关系的判定.数学通讯2004(17).4
