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1、Matlab 数学实验报告一、 实验目的 通过以下四组实验,熟悉MATLAB的编程技巧,学会运用MATLAB的一些主要功能、命令，通过建立数学模型解决理论或实际问题。了解诸如分岔、混沌等概念、学会建立Malthu模型和Logistic模型、懂得最小二乘法、线性规划等基本思想。二、 实验内容2.1 实验题目一2.1.1实验问题Feigenbaum曾对超越函数y=sin()（为非负实数）进行了分岔与混沌的研究，试进行迭代格式xk+1=sin(xk),做出相应的Feigenbaum图2.1.2程序设计clear;clf;axis(0,4,0,4);hold onfor r=0:0.3:3.9 x=0
2、.1; for i=2:150 x(i)=r*sin(3.14*x(i-1); end pause(0.5) for i=101:150 plot(r,x(i),k.); end text(r-0.1,max(x(101:150)+0.05,itr=,num2str(r)end加密迭代后clear;clf;axis(0,4,0,4);hold onfor r=0:0.005:3.9 x=0.1; for i=2:150 x(i)=r*sin(3.14*x(i-1); end pause(0.1) for i=101:150 plot(r,x(i),k.); endend运行后得到Feigenb
3、aum图2.2实验题目二2.2.1实验问题某农夫有一个半径10米的圆形牛栏，长满了草。他要将一头牛拴在牛栏边界的桩栏上，但只让牛吃到一半草，问拴牛鼻子的绳子应为多长？2.2.2问题分析如图所示，E为圆ABD的圆心，AB为拴牛的绳子，圆ABD为草场，区域ABCD为牛能到达的区域。问题要求区域ABCD等于圆ABC的一半，可以设BC等于x,只要求出a和b就能求出所求面积。先计算扇形ABCD的面积，2ax2=2a2，再求AB的面积，用扇形ABE的面积减去三角形ABE的面积即可。2.2.3程序设计f=inline(acos(x/20)*x2+100*pi-200*acos(x/20)-x*sqrt(10
4、0-(x2)/4)-50*pi);a=0;b=20;dlt=1.0*10-3;k=1;while abs(b-a)dlt c=(a+b)/2; if f(c)=0 break; elseif f(c)*f(b)0 a=c; else b=c; end fprintf(k=%d,x=%.5fn,k,c); k=k+1;end2.2.4问题求解与结论k=6,x=11.56250k=7,x=11.71875k=8,x=11.64063k=9,x=11.60156k=10,x=11.58203k=11,x=11.59180k=12,x=11.58691k=13,x=11.58936k=14,x=11.
5、58813k=15,x=11.58752结果表明，要想牛只吃到一半的草，拴牛的绳子应该为11.6米。2.3实验题目三2.3.1实验问题饲养厂饲养动物出售，设每头动物每天至少需要700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素。现有5种饲料可供选用，每种饲料每千克所含营养成分含量及单价如下表。试确定既能满足动物生长的营养需要，又可使费用最省的选用饲料的方案。饲料蛋白质(g)矿物质(g)维生素(mg)饲料A1310.50.2A220.510.7A310.20.20.4A46220.3A5180.50.80.8五种饲料单位质量（1kg）所含营养成分2.3.2问题分析与模型建立设Xj (j=1,2,3,
6、4,5)表示饲料中所含的第j种饲料的数量。由于提供的蛋白质总量必须每天满足最低要求70g，故应有3X1+2X2+1X3+6X4+18X5700同理，考虑矿物质和维生素的需求。应有1X1+0.5X2+0.2X3+2X4+0.5X5300.5X1+1X2+0.2X3+2X4+0.8X5100希望调配出来的混合饲料成本最低，故目标函数f为f=0.2X1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.8X5当来对决策量Xj的要求应为非负。所以该饲料配比问题是一个线性规划模型Min f =0.2X1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.8X53X1+2X2+1X3+6X4+18X57001X1+0.5X2
7、+0.2X3+2X4+0.5X5300.5X1+1X2+0.2X3+2X4+0.8X5100 Xj0,j=1,2,3,4,52.3.3模型评述 一般的食谱问题可叙述为： 设有 n 种食物，每种食物中含有 m 种营养成分。用ija 表示一个单位的第 j 种食物中含有第 i 种营养的数量，用ib 表示每人每天对第 i 种营养的最低需求量，jc 表示第 j 种食品的单价，jx 表示所用的第 j 种食品的数量，一方面满足 m 种营养成分的需要同时使事物的总成本最低。 一般的食谱问题的线性规划模型为 这类线性规划模型还可以描述很多诸如合理下料、最小成本运输、合分派任务等问题，具有很强的代表性。2.3.4
8、模型计算 将该问题化成 Matlab 中线性规划问题的标准形式Min f=0.2X1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.8X5-3X1-2X2-1X3-6X4-18X5-700-1X1-0.5X2-0.2X3-2X4-0.5X5-30-0.5X1-1X-0.2X3-2X4-0/;.8X5-100 j0,j=1,2,3,4,5由MATLAB软件的编辑器构作m文件LF如下：c=0.2,0.7,0.4,0.3,0.8;a=-3,-2,-1,-6,-18;-1,-0.5,-0.2,-2,-0.5;-0.5,-1,-0.2,-2,-0.8;b=-700,-30,-100;lb=0 0 0 0 0;
9、ub=;aeq=;beq=;x,fval=linprog(c,a,b,aeq,beq,lb,ub)在MATLAB命令窗口键入LF，回车，计算结果显示如下x= 0.0000 0.0000 0.0000 39.7436 25.6410fval = 32.4359其结果显示x1=0 x2=0 x3=0 x4=39.7436 x5=25.6410,则表示该公司分别购买第四种第五种饲料39.7436(kg), 25.6410（kg）配成混合饲料；所耗成本32.4359（元）为满足营养条件下的最低成本。2.3.5模型思考：线性规划的本质特点一. 目标函数是决策变量的线性函数二. 约束条件是决策变量的线性等
10、式或不等式，它是一种较为简单而又特殊的约束极值问题。三. 能转化为线性规划问题的实例很多如：生产决策问题，一般性的投资问题，地址的选择，运输问题等等。2.4实验题目四2.4.1 实验题目描述1790年到1980年各年美国人口数的统计数据如下表：年份1790180018101820183018401850186018701880统计3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.2年份1890190019101920193019401950196019701980统计62.072.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5试根据以上数据
11、，(1) 分别用Malthu模型和Logistic模型建立美国人口增长的近似曲线(设美国人口总体容纳量为3.5亿);(2) 预测2000年，2005年，2010年，2015年，2020年人口数;(3) 对两种预测结果进行比较.2.4.2问题的分析 2.4.2.1 Malthu模型1798年，Malthus提出对生物繁殖规律的看法。他认为，一种群中个体数量的增长率与该时刻种群的的个体数量成正比。设x(t)表示该种群在t时刻个体的数量，则其增长率（dx/dt）=rx(t),或相对增长率1/x*dx/dt=r.其中常数r=B-D,B和D分别为该种群个体的平均生育率与死亡率。 2.4.2.2 Logi
12、stic模型1838年，Verhulst指出上述模型未考虑“密度制约”因素。种群生活在一定的环境中，在资源给定的情况下，个体数目越多，个体所获资源就越少，这将抑制其生长率，增加死亡率。所以相对增长率1/x*（dx/dt）不应为一常数r,而应是r乘上一个“密度制约”因子。此因子随x单调减小，设其为(1-x/k)，其中k为环境容纳量。于是Verhulst提出Logistic模型：dx/dt=rx(1-x/k)。2.4.3实验设计的流程 2.4.3.1 Malthu模型源代码clear;clfx=10:10:200;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6
13、 50.2 62.0 72.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5;plot(x+1780,k-,markersize,20);axis(1780,2020,3,800);grid;hold onn=20;a=sum(x(1:n);b=sum(x(1:n).*x(1:n);c=sum(log(y(1:n);d=sum(log(y(1:n).*x(1:n);A=n a;a b;B=c;d;P=inv(A)*B;t=10:10:800;f=exp(P(1)+P(2)*t);plot(t+1780,f,ro-,linewidth,2);k=2
14、000 2005 2010 2015 2020;f=exp(P(1)+P(2)*(k-1780);fprintf(f=%.1f,f);2.4.3.2 Logistic模型程序源代码clc;clear;x=9:28;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.0 72.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5;plot(x*10+1700,y,k.,markersize,15);grid;hold on;axis(1790 2015 0 400);m=1000*y./(1000-y)
15、;a1=sum(x);a2=sum(x.2);a3=sum(log(m);a4=sum(x.*log(m);A=20,a1;a1,a2;B=a3;a4;p=inv(A)*B;t=9:0.1:55;s=1./(0.001+exp(-p(1)-p(2)*t);plot(t*10+1700,s,r-);k=30 30.5 31 31.5 32;l=k*10+1700;1./(0.001+exp(-p(1)-p(2)*k);2.4.4上机实验结果的分析与结论Malthus模型结果 Logistic 模型结果对比预测结果与实际数据，可看出Logistic模型更符合自然规律。三、 实验小结与体会通过以上四
16、组数学实验、我们熟悉了解了许多MATLAB的方法及理论、并尝试了将其运用到了实际问题中去，解决实际问题。比如，在实验一中，了解了方程的迭代以及分岔、混沌的概念；实验二中通过简单的MATLAB程序解决数学问题；实验三中尝试通过线性规划建立数学模型，从而解决生产生活中的实际问题，了解了最大最小化问题的求解及其MATLAB指令；实验四中通过人口预测问题的分析求解，了解运用最小二乘法进行数据拟合的基本思想，掌握了建立人口增长数学模型的思想方法，学会建立Malthu模型和Logistic模型。此外，通过这几次数学实验，就个人而言，不仅思维得到了锻炼、提升，而且让我们感觉到数学的乐趣。用MATLAB编出的程序不仅算得快，画出的图形、得出的结论也很有意思。就团队而言，这门课程很讲究相互配合、团队合作，不仅让我们更有团队精神，更增进了友谊。而且，通过实验不仅仅只是解决了几道题而已，更重要的是学习解决数学问题的思维方式。最后，感谢老师开设这门课程，给了我们更多机会，让我们从中受益匪浅，收获良多。谢谢老师的悉心教导。
