探索实验报告概率.doc

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1、数学实验报告概率班级：数学061学号：0602012010姓名: 杨丽概 率A. 实验指导书解读基本概念：1.随机现象：事前不可预言的现象，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同，或知道事物过去的状况，但未来的发展却不能完全肯定。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做随机现象。例如：以同样的方式抛置硬币却可能出现正面向上也可能出现反面向上；走到某十字路口时，可能正好是红灯，也可能正好是绿灯。2.随机事件：在概率论中,将试验的结果称为事件。 每次试验中,可能发生也可能不发生,而在大量试验中具有某种规律性的事件称为随机事件。3.随机事件的概率：概率是用来度量事件发生可能性大小的量.小概

2、率事件很少发生,而大概率事件经常发生.随机事件A在n次实验中的频率是m/n，随着n的增大，该频率总在一个固定数P的附近摆动，随机事件A的概率即为这个固定数P。4.随机变量及其分布：表示随机现象（在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象）各种结果的变量（一切可能的样本点）。离散型的随机变量的分布：01分布、二项分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布；连续型随机变量的分布：均匀分布、正态分布N(，2)、指数分布。由此，本次实验主要我们主要完成两件事:一概率与频率的关系 实验中，我们首先对随机事件A做理论上的研究，得出随机事件A的频率。其次是要考虑合适的程序，利用计算机模拟随机事件

3、发生的概率，模拟过程主要是通过改变n的值，得到不同的概率值，进而将这些不同的概率值与频率值比较，从而达到验证“频率稳定于概率”这一结论的目的。二探索研究随机变量的分布1.探寻随机变量不同的离散分布之间的联系并证明之；a.超几何分布和二项分布之间的联系；b.二项分布和Possion分布之间的联系。实验需用不同的实例从数和形两个不同角度来探索超几何分布与二项分布的关系，二项分布与Possion分布的关系，继而用随机变量分布的定义加以证明探索结果。2.对随机变量的连续分布（以正态分布为例）作初步研究，通过实例探索其与中心极限定理间的关系.B.实验方案一利用计算机模拟随机事件发生的概率，并将得到的概率

4、与频率进行比较，进而验证频率具有稳定性，且稳定于概率。实验1.1.理论研究a.比赛只需再进行两局，就可以分出胜负，结果无非是下面四种情况之一：甲甲； 甲乙；乙甲；乙乙b.这四种情况中，甲胜的情况有三种，乙胜的情况只有一种每种情况发生的可能性是一样的，故甲最终得到1000元奖金的可能性是0.75,乙最终得到l 000元奖金的可能性是0.25.即甲和乙最终最终得到l 000元奖金的频率分别是0.75和0.25.2. 利用计算机模拟随机事件发生的概率 程序：t1=750;t2=250;jia=0;yi=0;n=10000;k1=0;k2=0;p1=0;p2=0;jiangjia=0;jiangyi=

5、0;Fori=1,i=n,i+, Forj=1,j0,jia=jia+1,yi=yi+1;k1=0;k2=0;p1=jia/n;p2=yi/n;jiangjia=1000*p1;jiangyi=1000*p2;PrintNp1,Njiangjia,Np2,Njiangyi, NAbs t1-jiangjia,NAbst2-jiangyi3. 改变n的值，得到了多组p1,p2的值，将p1的值与0.75比较,p2的值与0.25比较，发现随着n的增大，p1的值接近于0.75，p2的值接近于0.25.即得证概率依概率收敛于频率（服从大数定律）。实验2.1.理论研究掷骰子3次,每次有6种可能,因此共有6

6、3种可能;一次试验中掷出的点数和为9的随机事件为25，故一次试验中掷出的点数和为9的概率为25/216,即为0.1157407;一次试验中掷出的点数和为9的随机事件为27，故一次试验中掷出的点数和为10的概率为27/216,即为0.125;2. 利用计算机模拟随机事件发生的概率程序：n=1000;jiu=0;shi=0;k=0;a1=0;a2=0;b1=0;b2=0;c1=0;c2=0;Fori=1,i=n,i+,s1i=RandomInteger,1,6;s2i=RandomInteger,1,6;s3i=RandomInteger,1,6;ai=s1i ;bi=s2i;ci=s3i ;Fo

7、ri=2,i=n,i+,a1=ai;b1=bi;c1=ci;Forj=1,jI,j+,a2=aj;b2=bj;c2=cj;Ifa2=a1&b2=b1&c2=c1,k=k+1;Ifk1 ;k=0;Fori=1,in,i+, Ai=ai+bi+ci;IfAi=9,jiu=jiu+1;IfAi=10,shi=shi+1;p1=Njiu/n,5;p2=Nshi/n,5;Printn=1000, ,jiu, ,p1, ,shi, ,p23. 改变n的值，得到了多组p1,p2的值，将p1的值与0.1157407，比较,p2的值与0.125比较，发现随着n的增大，p1的值接近于0.1157407，p2的值接

8、近于0.125.即得证概率依概率收敛于频率。不管n怎么变化，都是发生和为10的事件的概率比发生和为9的事件的概率大。实验3.1.a.理论研究掷骰子4次,每次有6种可能,因此共有64种可能,又由于不出现1点的随机事件为54,从而至少有一次出现的随机事件数为64-54.由此得投掷4次骰子至少有一次出现一点的概率为(64-54)/64,即为0.51774691b.利用计算机模拟随机事件发生的概率 程序：n=1000 ;k=0; Fori=1,i=n,i+,s1i=RandomInteger,1,6;s2i=RandomInteger,1,6;s3i=RandomInteger,1,6; s4i=Ra

9、ndomInteger,1,6 Fori=1,i=n,i+, Ifs1i!=1& s2i!=1&s3i!=1&s4i!=1 ,k=k+1; p1=k/n;p=N1-p1,5;Printn=1000, ,pc. 改变n的值, 随着n的增大,所求概率总是在0. 517附近摆动,就可验证我们探索的结论概率依概率收敛于频率.2.a.理论研究掷一对骰子共有6*6=36种可能,其中不出现两个一点的随机事件数为35,因此24次种不出现两个一点的概率为(35/36)4,从而掷一对骰子24次至少有一次出现两个一点的概率为1- (35/36)4,即为0.491404b.利用计算机模拟随机事件发生的概率 程序：n=

10、1000 ;b=0;k=0; Fori=1,i=n,i+,Forj=1,j0,b=b+1;k=0;p=Nb/n,5;Printn=1000, ,p c. 改变n的值, 随着n的增大,所求概率总是在0.491附近摆动,就可验证我们探索的结论概率依概率收敛于频率. 实验4.可以同实验1、2、3做类似地探索以验证“概率依概率收敛于频率”这一结论。二探索研究随机变量的分布（一）、探寻随机变量不同的离散分布之间的联系并证明之；a.超几何分布和二项分布之间的联系；实验思路：1.从形的角度，通过 Mathematica程序对不同参数画出超几何分布的散点图，画出二项分布的散点图，观察这些散点图，以发现超几何分

11、布和二项分布之间的联系。2.从量的角度，改变超几何分布H(n，M，N)中的n，M，N的值，但保持M/N不变，计算并得到超几何分布的概率分布表，与二项分布b(n，p)的概率分布表比较，p=M/N。b.二项分布和Possion分布之间的联系。实验思路：1.从形的角度，通过 Mathematica程序对不同参数画出二项分布的散点图，画出Possion分布的散点图，观察这些散点图，以发现二项分布之间和Possion分布之间的联系。2.从量的角度，改变二项分布b(n,p)中的n,p的值，但保持np不变，计算并得到二项分布的概率分布表，与参数为np的Possion分布的概率分布表比较。3.根据概率论所学的

12、知识加以证明。（二）、对随机变量的连续分布（以正态分布为例）作初步研究，探索中心极限定理。实验原理：a.主要通过计算机模拟，验证随机变量的概率密度函数f(x)，在n取不同值时的函数图像的特征。 b.做N次实验，将所得的结果称为。可以预计到在0附近摆动，离0越近的越多，离0越远的越少。取一个短的区间长d。对每个正实数x，算出落在区间xd/2,x+d/2)内的的个数，以作为随机变量X在点x的概率密度f(x)。取N和n足够大，计算出足够多的f(x)，在坐标系中画出所得的数据点（x,f(x)）,连成光滑曲线。c.令 将函数 的图像与f(x)的图像相比较，发现两条曲线基本吻合。C实验过程与结果一利用计算

13、机模拟随机事件发生的概率，并将得到的概率与频率进行比较，进而验证频率具有稳定性，且稳定于概率。实验1.在甲已经两胜一负的基础上，在计算机上模拟两位棋手以后的比赛，计算他们应得的奖金(该比赛的总奖金为1000元)（一）理论值研究：比赛只需再进行两局，就可以分出胜负，结果无非是下面四种情况之一：甲甲； 甲乙；乙甲；乙乙分析：1.这四种情况中，甲胜的情况有三种，乙胜的情况只有一种 2. 每种情况发生的可能性是一样的，故甲最终得到1000元奖金的可能性是0.75,乙最终得到l 000元奖金的可能性是0.25.结论：从理论上来看，合理的分法应该是：甲得750，乙得250。（二）编程思想: 1.两位棋手的

14、棋艺相当，可假定他们在以下每一局的比赛中胜负的机会各半2.Mathematica中有产生0或1随机数的函数“RandomInteger”用这个函数可以产生随机数0或1，0与1出现的机会各占一半用随机数1表示甲棋手胜，而随机数0表示乙胜(或用0，1中的随机实数束模拟两人的胜负，随机数0.5表示甲胜，否则乙胜)连续模拟10000或更多的次数，每次模拟到甲乙两方有一方胜了三局为止，按所说方案分配奖金10000模拟结束后，计算两棋手每次的平均奖金，就是该棋手应得的奖金（三）程序: t1=750;t2=250;jia=0;yi=0;n=10000;k1=0;k2=0;p1=0;p2=0;jiangjia

15、=0;jiangyi=0;Fori=1,i=n,i+, Forj=1,j0,jia=jia+1,yi=yi+1;k1=0;k2=0;p1=jia/n;p2=yi/n;jiangjia=1000*p1;jiangyi=1000*p2;PrintNp1,Njiangjia,Np2,Njiangyi, NAbs t1-jiangjia,NAbst2-jiangyi 输入以上程序得到数据：0.7546 754.6 0.2454 245.4 4.6 4.6则有： 甲赢的概率p1甲得到的奖金乙赢的概率P2乙得到的奖金甲实验值与理论值的误差乙实验值与理论值的误差07546754.602454245.44.6

16、4.6改变上述程序中n的值n=100000时，得到数据：0.74858 748.58 0.25142 251.42 1.42 1.42则有：甲赢的概率P1甲得到的奖金乙赢的概率P2乙得到的奖金甲实验值与理论值的误差乙实验值与理论值的误差0.74858748580.2514225142142142n=1000000时，得到数据：0.750448 750.448 0.249552 249.552 0.448 0.448则有：甲赢的概率P1甲得到的奖金乙赢的概率P2乙得到的奖金甲实验值与理论值的误差乙实验值与理论值的误差0.750448750.4480.249552249.5520.448 0.44

17、8 结果分析：数据对比，随着n的增大，p1的值接近于0.75，p2的值接近于0.25,甲和乙得到的奖金的实验值与理论值的误差减小。概率依概率收敛于频率（服从大数定律）。实验2.在计算机上列举出同时抛掷三颗骰子的所有可能结果，比较在一次试验中掷出的点数和为9与和为10这两个事件何者更容易发生1.理论研究 掷骰子3次,每次有6种可能,因此共有63种可能;一次试验中掷出的点数和为9的随机事件为25，故一次试验中掷出的点数和为9的概率为25/216,即为0.1157407; 一次试验中掷出的点数和为9的随机事件为27，故一次试验中掷出的点数和为10的概率为27/216,即为0.125;2. 程序：n=

18、1000;jiu=0;shi=0;k=0;a1=0;a2=0;b1=0;b2=0;c1=0;c2=0;Fori=1,i=n,i+,s1i=RandomInteger,1,6;s2i=RandomInteger,1,6;s3i=RandomInteger,1,6;ai=s1i ;bi=s2i;ci=s3i ;Fori=2,i=n,i+,a1=ai;b1=bi;c1=ci;Forj=1,jI,j+,a2=aj;b2=bj;c2=cj;Ifa2=a1&b2=b1&c2=c1,k=k+1;Ifk1 ;k=0;Fori=1,in,i+, Ai=ai+bi+ci;IfAi=9,jiu=jiu+1;IfAi

19、=10,shi=shi+1;p1=Njiu/n,5;p2=Nshi/n,5;Printn=1000, ,jiu, ,p1, ,shi, ,p2改变n=10000,100000点数和为9的概率p1点数和为10的概率p2n=10000.11620.1243n=100000.11360.1254n=1000000.11770.1261结果分析:由上表数据显示, 随着n的增大，p1总是稳定在0.115附近，p2总是稳定在0.125附近.不管n怎么变化，都是发生和为10的事件的概率比发生和为9的事件的概率大。实验3.试计算下列两个事件的概率: （一）.掷4次骰子，至少有一次出现一点。1.理论值分析：掷骰

20、子4次,每次有6种可能,因此共有64种可能,又由于不出现1点的随机事件为54,从而至少有一次出现的随机事件数为64-54.由此得投掷4次骰子至少有一次出现一点的概率为(64-54)/64,即为0.517746912.Mathematica程序：n=1000 ;k=0; Fori=1,i=n,i+,s1i=RandomInteger,1,6;s2i=RandomInteger,1,6;s3i=RandomInteger,1,6; s4i=RandomInteger,1,6 Fori=1,i=n,i+, Ifs1i!=1& s2i!=1&s3i!=1&s4i!=1 ,k=k+1; p1=k/n;p

21、=N1-p1,5; Printn=1000, ,p改变n=5000,10000可得到下表：4次至少有一次出现一点的概率N=10000.5184N=50000.5172N=100000.5162由上表可以看到：随着n的增大,所求概率总是在0.517附近摆动。（二）抛掷一对骰子24次，至少有一次出现两个一点1.理论值分析： 掷一对骰子共有6*6=36种可能,其中不出现两个一点的随机事件数为35,因此24次种不出现两个一点的概率为(35/36)4,从而掷一对骰子24次至少有一次出现两个一点的概率为1- (35/36)4,即为0.4914042.Mathematica程序： n=1000 ;b=0;k

22、=0; Fori=1,i=n,i+, Forj=1,j0,b=b+1;k=0;p=Nb/n,5;Printn=1000, ,p 改变n=5000,10000可得到下表：24次至少有一次出现两个一点的概率n=10000.4944n=50000.4894n=100000.4955由上表可以看到：随着n的增大,所求概率总是在0.491附近摆动.结果分析:从上面两组实验中我发现用计算机模拟的概率都在某一固定的值附近摆动,这显示了频率的稳定性.实验4.1.设p是区间0，1内任一实数在区间0，1取随机数l，则lp的概率应等于p取n= 1000,5000,10000个这样的随机数l ，计算lp的次数m，看m

23、/n是否接近于p。程序:n=1000 ;p=0.2;m=0;a=0;Fori=1,i=n,i+, si=Random ;a=si; Ifa=p,m=m+1; p1=Nm/n,5; Printn=1000, ,p1, ,Absp-p1 得到：p1Absp-p1n=10000.1850.015n=50000.1910.009n=100000.2020.002结果分析:随着n的增大p的值越来越趋向与一个固定的值(0.2),从而它服从大数定律.(当n 趋于无穷时频率p(A)趋于同一个数)2.用计算机进行下面的模拟：在线段0，1中随机地取一点(即产生区间0，1内的一个随机数)，共取次(分别取100，50

24、0，1 000 )将线段0，1分成个互不相交但长度相等的线段，而后计算各小线段中含有中取出的点的个数计算小线段中合有点数恰好为(取为0，1，2，3，4，5)的频率分析最后的结果程序：n=100;a=0;h=0;b=0;c=0;q=0;Fori=0,i=5,i+,mi=0;Fori=0,i=n,i+,ki=0;Fori=1,i=n,i+,si= Random;a=si;Forj=1,j=b&a=c,q=j;kq=kq+1;q=0;Fori=0,i=5,i+,Forj=1,j=n,j+,h=kj;Ifh=i,mi=mi+1;Fori=0,i=5,i+,pi=Nmi/n,5;Printp0, ,p1

25、, ,p2, ,p3, ,p4, ,p5 得到：含有点数为0的概率含有点数为1的概率含有点数为2的概率含有点数为4的概率含有点数为4的概率含有点数为5的概率n=1000.3500000.410000.150000.070000.020000n=5000.380000.350000.186000.062000.018000.00400n=10000.382000.349000.179000.070000.017000.00300结果分析：对于固定的n小线段中含有点数为0,1,2,3,4,5,的概率越来越小,且含有点数为0,1的概率相对与点数2,3,4,5的概率要大的多.并且随着n的增大含有点数为

26、0（1,2,3,4,5）的概率趋于稳定。通过上面四个实验的探索，可得出结论：频率稳定于概率（即服从大数定律）。二探索研究随机变量的分布1.探寻随机变量不同的离散分布之间的联系并证明之；a.超几何分布和二项分布之间的联系；实验5.（一）考虑如下问题：1.将一枚硬币抛掷5次，恰好等到2次国徽朝上的概率是多少?2.抛掷一颗骰子9次，恰好等到4个2点的概率是多少？3.一个盒子中装有2个红球和3个白球，有放回的随机抽取6次，恰好有2次取到红球的的概率是多少?程序1.n=100 ;b=0;b1=0;Fori=1,i=n,i+,Forj=1,j=5,j+,aij=RandomInteger;b1=b1+ai

27、j;Ifb1=2,b=b+1;b1=0;p1=Nb/n,5;Printn=100, ,p1Null结果为：n=100 0.334.999999999999999 改变n的值：n=1000 0.3084.999999999999998 n=10000 0.30845. 程序2.p=21875/839808;n=100;b=0;b1=0;Fori=1,i=n,i+, Forj=1,j=9,j+, a=RandomInteger,1,6; Ifa=2,b1=b1+1; Ifb1=4,b=b+1; b1=0;p2=Nb/n,5;Printn=100, ,p2, ,NAbsp2-p Null结果为：n=

28、100 0.020000 0.00604762改变n的值：n=1000 0.042000 0.0159524 n=10000 0.038900 0.0128524 n=100000 0.038940 0.0128924 n=1000000 0.039088 0.0130404 程序3.n=100 ;b=0;b1=0;Fori=1,i=n,i+,Forj=1,j=6,j+,sij=RandomInteger,1,5;a=sij;Ifa!=3&a!=4&a!=5,b1=b1+1;Ifb1=2,b=b+1;b1=0;p3=Nb/n,5;Printn=100 , ,p3Null结果为：n=100 0.

29、37000 n=1000 0.33100 n=10000 0.31880 n=100000 0.31109上面的三个实验都符合超几何分布,并且有:第一个实验中的N=2*5=10,M=5*1=5, M/N=0.5;第二个实验中的N=9*6=54,M=9*1=9, M/N=1/6;第三个实验中的N=6*5=30,M=6*2=12, M/N=12/30; 结果分析：三个实验中的M/N值与p值非常接近,所以超几何分布的极限分布是二项分布b.二项分布和Possion分布之间的联系。1. 如果p不随n变化时，利用计算机模拟来说明： 程序：n=1000 ; p=0.002; u1= ;u2= ;Bk_:=

30、(n)!*p(k)*(1-p)(n-k)/(n-k)!*k!) ;Pk_:= (n*p)(k)* Exp-n*p /k! ;Fork=0,k10,k+,AppendTou1,k,Bk ; AppendTou2,k,Pk ;u=u1-u2;ListPlotu ,PlotStyle PointSize0.02改变n的值得到下面的一组散点图： n=1000 n=500 n=2000 结果分析：1.从散点图中我发现这些点(二项分布与Possion分布的差)都接近于O点，因而二项分布可以用Poisson分布作近似。证明：2.当n很大时，对k20，30，40，50，分别近似做出(其中i取一切可能的值)的图

31、形（以i/k作为横坐标），从这四张图中得出什么？ 程序如下：n=10000;k=20;p=0.01;g=1;a=0;b=0;u= ;c=Ceiling1-n0.5*p*k+1;d=Floorn0.5*k-n0.5*p*k;Px_,y_:=k*NSumgj*Exp-g/j!,j,x,y,5;Fori=c,i=d,i+=100,hi=i/k;a=Ceilingn*p+(i-1)*n0.5/k;si=Pa,b;u=Appendu,hi,si;ListPlotu,PlotStyleRGB0,1,0,PointSize0.02取不同的K值得到： K=20 K=30 K=40 K=50结果分析：从图中可以

32、看出，当n很大时,随着k的增加，图中各段上的点越密集。2.从量的角度 k 二项分布泊松分布n=10p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01np=10123450.3490.3850.1940.0570.0110.0040.3580.3770.1890.0600.0130.0030.3630.3720.1860.0600.0140.0050.3660.3700.1850.0610.0150.0030.3680.3680.1840.0610.0150.004结果分析：从上表可以看出，np固定，随着n的增大，二项分布近似于泊松分布。结论：超几何分布的极限分布是二项分

33、布，二项分布可以用Poisson分布作近似。三.正态分布 例题：设T是在区间0，1内均匀分布的随机变量让T连取个值，则这n个值的平均值应当接近于0.5，它们的和S=t1+t2+.tn应当接近于0.5n但真要去做实验，就会发S现并不真正等于0.5，而是有一个偏差d=S-0.5n下面我们就来考虑这个问题:定义：从区间0，1取出n个随机数，并计算 这称为一次实验，得到的X称为这次实验的结果。程序如下：m=1000;n=1000 ;T=0;d=0.1;a=0;b=0;c=0;w=0;u=0,0;Fori=1,im,i+,Forj=1,jn,j+,tj=Random;T=T+tj; Xi=(T-0.5*

34、n)/n0.5;T=0;Fori=-1,i1,i+=0.1,a=i-d/2;b=i+d/2; Forj=1,jm,j+,y=Xj; Ifya&yb,c=c+1; gi=c;c=0;Forj=1,jm,j+,y=Xj; Ifyd/2&y3*d/2,w=w+1;Fori=-1,i1,i+=0.1,fi=gi/w;Fori=-1,i1,i+=0.1,rdmi=i,fi;Fori=-1,im=1000 ;改变m的值，得到图形： 结果分析：观察比较图像得出随着n的增大,f(x)越来越来趋向于服从中心极限定理. （概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。）D.教师评语评阅内容ABCDE实验指导书解读准确到位基本到位不到位实验方案合理较合理不合理不可行实验过程完整基本完整较完整不完整探索结论与证明结论深刻，证明正确结论深刻，证明部分正确有部分探索结论，证明正确有部分探索结论，证明部分正确无探索结论实验报告结构前后一致基本一致不一致拼凑评阅成绩评阅日期