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1、平方差公式（一）说课稿扫阿联一、教材分析：（一）教材的地位与作用。平方差公式是北师大版义务教育课程标准实验教科书数学七年级（下）第一章整式的运算第七节的内容。平方差公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识如因式分解，分式等的基础，对整个教科书也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位。本节课主要研究的是平方差公式的推导和平方差公式在整式乘法中的应用。它是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的拓展和再创造，一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运算、培养学生的求简意识。（二）教学重
2、难点、关键：1、重点：平方差公式的探索和应用。2、难点：理解平方差公式的结构特征，准确运用公式。3、关键：准确找到a，b。二、目标分析：学生在前一节课中已经学习了多项式乘以多项式，容易得出(a+b)(a-b)=a2-b2，但理解和掌握公式的结构特征，准确运用公式是难点，所以应该进一步发展学生的观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。因此我觉得本节课应关注学生对公式的探索过程，让学生经历“特例归纳猜想证明”的知识发生过程，有意识的培养学生的推理能力，数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用。参照数学课程标准的要求及教材的特点和学生的认知水平与数学思维特征，确定本节课的教
3、学目标如下： (1)知识与技能目标：了解平方差公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行简单的计算。(2)过程与方法目标：经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、分析、归纳和推理能力，通过讨论几何图形的面积，来验证公式，进而感受数形结合思想。 (3)情感态度目标：让学生在合作探究学习的过程中体验成功的喜悦；在感悟数学美的同时激发学习兴趣和信心；发展学生的符号感和有条理推理的能力。三、教学过程：（一）情景引入s1s2李大爷有一块菜地，如图正方形中的阴影部分。为了创建和谐村庄，欲在此地建一个公园，以供村民休闲，李大爷非常高兴，欣然应允。村里决定另批给李大爷一块长方形菜地，它的一边比原
4、正方形边长多y米，另一边比原正方形边长少y米。你能帮李大爷判断一下，李大爷现在的这块长方形菜地与原来菜地的面积是否发生变化了?（设计说明：以问题形式引入，激发学生探索本节课知识的热情，同时渗透数形结合的思想，为后面的图形验证公式奠定基础）（二）自主探究【看一看】：观察下列各式,它们有什么特征? 你能用字母把这个特征表示出来吗？(1) (x+2)(x-2) (2) (1+3a)(1-3a) (3) (x+5y)( x-5y) (4) (2y+3z)(2y-3z)各式的特征: （a+b）(a-b)【做一做】：计算下列各式,并请你观察它们的运算结果,你发现了什么规律? 把你的发现和同学进行交流,能用
5、字母把这个规律表示出来吗？(1) (x+2)(x-2) (2)(1+3a)(1-3a) (3) (x+5y)( x-5y) (4) (2y+3z)(2y-3z)运算结果的特征: a2-b2【猜一猜】：观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？能不能大胆猜测得出一个一般性的结论？你能将猜测的这个结论写成公式吗? 在算式及其运算结果中左边是两个二项式相乘；在两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边为相同项的平方减去互为相反数的项的平方.规律： 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。（a+b）(a-b) =a2-b2学生活动：快速计算这四道题，为后面讨论做准备。（设计说明：提供一组与推
6、导平方差公式有关的计算题，通过看一看、做一做、猜一猜三步使学生初步感知平方差公式的结构特征及其运算结果规律。分步的好处在于分散难点，循序渐进，更易于学生记忆。）做一做后提出问题：按说两个二项式相乘，应得到四项，为什么这四道题结果只有两项呢？（设计说明：这个问题虽说很简单，但不能小看它的作用，第一，它让学生的思想在问题的启发下变得活跃；第二，为后面的探究活动作一铺垫，起到承上启下的作用。）猜一猜问题化：（1）等式左边的两个多项式有什么特点？（2）等式右边的多项式有什么规律？（3）你能从中猜想出一般性的结论吗？（4）你能将猜测的这个结论用字母表示出来吗? 学生活动：小组合作，解决上面三个问题。并向
7、全班汇报自己小组讨论的成果，提出猜想(a+b) (a-b)=a2 - b2。（设计说明：根据看一看、做一做两步，出示猜一猜，提出四个问题，引领学生进行探究，让学生带着问题探究，进一步发展学生的观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。）（三）验证猜想【代数验证】：运用乘法分配律将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式，进一步体会转化的思想，从而验证猜想。(a+b) (a-b)=a(a+b)-b(a+b)=a2+ ab - ab - b2= a2- b2【归纳公式】：得出平方差公式：(a+b) (a-b)=a2 - b2学生活动：尝试用所学知识验证这一猜想，并用自己的语言叙述平方
8、差公式。（设计说明：让学生经历“特例归纳猜想证明”的知识发生过程，用所学知识解决问题，有意识的培养学生的推理能力和语言表达能力，从而真正理解公式的来源。）【几何验证】在一块边长为a 的正方形纸板上，因实际需要在一角上剪去一块边长为b 的正方形，剩下部分的面积是多少？方法一：用大正方形面积减去小正方形面积，即a2-b2方法二：割补法。可以把剩下的部份分割成两个矩形，然后拼成一个矩形来计算。得到新矩形的面积为(a+b)(a-b)利用面积相等推得平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2学生活动：教师启发引导，演示剪拼动画，学生动脑思考。（设计说明：让学生用面积相等来验证平方差公式的准确性，更好
9、地理解和掌握公式，培养学生多角度思考问题的习惯，教会学生一种计算面积的方法割补法，渗透数形结合思想。）（四）公式分析使用平方差公式可以简化运算，那什么样的多项式相乘才能用平方差公式来计算呢？也就是说，平方差公式具有什么样的特征？（1）公式的结构特征：左边是两个二项式相乘；在两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边为相同项的平方减去互为相反数的项的平方.（2）字母的广泛含义：公式中的a，b可以表示数，也可表示单项式或多项式（即a，b表示代数式），只要符合公式的结构特征，就可用此公式来计算。学生活动：尝试用语言来叙述，总结公式的结构特征，并加以理解掌握，以便能够准确运用。（设计说明：理解
10、并掌握公式的结构特征，是这节课的重点，也为下一个环节：平方差公式的准确应用打下基础。因此，应让学生充分思考，体会，发表自己的看法，达到真正理解的目的。）（五）知识运用【试一试】：寻找a，b现在我们已经知道什么样的运算可以用平方差公式来做了，那么下一步的关键是要解决什么问题？运算的结果是a2-b2，要套用公式，必须要知道谁是a，谁是b。（a+b)(a-b)aba2-b2最后结果（2+y)(2-y)(1+5b)(1-5b)(2m+3n)(2m-3n)(-x+1)(x+1)反思：如何寻找a，b？两个多项式中，a前的符号相同，b前的符号相反。找a，b的关键是找符号相同的项和符号相反的项。谁是a，谁是b
11、，并不以先后为准，而是以符号为准。学生活动：思考，口答，填充表格，总结规律。（设计说明：以填表的形式让学生初步尝试运用公式，分清结构，找准a、b，学会公式的应用，有效地进行难点突破。）【练一练】：运用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5-6x) (2) (ab+8)(ab-8) (3) (-x-y)(-x+y) (4) (m+n)( m-n)+3n2学生活动：独立练习，并有同学上台板演。（设计说明：通过一组例题，逐渐加深题目难度，让学生能够熟练利用公式计算，从而完善学生认知结构。同时，让学生初步感知换元、整体代换的思想方法，通过思考解法的多样性，培养学生的创新精神。）【想一想】：判断正误
12、(1) (-a-b)(a-b)=-a2+b2 (2) (-a+b)(a-b)=-a2-b2 (3) (2x+3)( 3-2x)=2x2-9 (4) (y3+z3)( y3-z3)= y9-z9(5) (x2+y)( x-y2)=x3-y3学生活动：独立思考，举手回答，在疑难处进行适当讨论。（设计说明：通过练习，帮助学生总结解决问题过程中的经验教训，理顺思路。从而进一步明确平方差公式的结构特征，完善学生的认知结构。）【想一想】：思维拓展在(-3a+2b)( )的括号内，填入怎样的式子，才能用平方差公式计算。（设计说明：通过拓展练习，提高学生认知水平，进一步深化对平方差公式的理解，培养学生逆向思维
13、和发散思维能力。）问题解决：解决情景引入中的问题。（设计说明：达到前后呼应，使学生产生成就感，进一步调动学生学习数学的积极性。）（六）反思小结【议议说说】：本节课你学到了什么，你能给自己和同学一个客观的评价吗？学生活动：认真回顾，总结本节课所学到的知识及数学思想方法并对自己和同学进行评价。（设计说明：小结是构建和完善学生认知结构的重要环节，先让学生总结本节课收获，再让学生自己及互相之间进行评价，体现新课标提出的多元化评价，利于学生养成良好的课堂学习习惯，最后教师对公式的掌握和运用作最后强调。）（七）、课外作业：P36知识技能: 第 1大题 P37联系拓广: 第1题P57 选做 第6题课后问题探
14、究：你还能利用几何拼图给出平方差公式一个几何解释吗?（设计说明：前两道题为基础型题要求全体完成，后两道题针对学有余力的学生完成，体现差生能消化，中等生吃的好，优等生吃得饱。课后问题探究进一步体会数形结合思想，培养学生发散思维。）四、教学反思这一课时的重点是要学生明白平方差公式的推导，并能应用平方差公式简化运算。而其中的关键是要学生明确平方差公式的结构特征，准确找到a、b。为了让学生对平方差公式有个全面的认识和了解，我在教学设计方面打破了教材原来的安排，把第二课时中的几何解释融入第一课时。先让学生从代数的角度入手，利用多项式乘多项式的知识，推导出平方差公式，紧接着从几何角度加以解释。在此基础上，
15、通过分析公式的结构特征，加深对公式的理解。之后，设计了一个“寻找a、b”的环节，通过这个练习进行难点突破。引导学生反思练习过程，得出“谁是a，谁是b，并不以先后为准，而是以符号为准”这一结论。紧接着给出两组例题，考察学生对公式的应用。最后通过一组判断题和补充练习，拓展学生的思维水平。为了给学生渗透数形结合的思想，要从代数、几何两个角度证明平方差公式，但是从哪个角度入手，有利于知识的衔接，便于学生理解。最终决定给让学生猜想结论，再用代数方法加以证明，后给出几何解释，符合知识的发生过程。对于课本中的公式文字说明是“两数和与这两数差的积”的理解：公式中“a、b不仅表示一个数或字母，还可以表示代数式”。但这里说的是“两数”，原因是所有的规律最初都是在具体的数字中发现的，然后才推广到字母。所以这里说的数不再是具体的数，而是代表一个整体；公式中说的“两数和与两数差的积”，从这个角度说，这两项应是完全相同的，差别只在于运算符号上。但由于我们之前介绍过“代数和”，（a+ b）（a-b）也可以理解为（a+ b）a（-b），就像许多教参上说的，是相同项与互为相反数的项，这样就与课本定义发生矛盾。为了避免这个问题，我在介绍公式结构特征时，只说“有一项完全相同，另一项只有符号不同”，学生可以自己去理解。我对教材的理解和把握是否妥当，还请各位专家同仁给以指点。
