正方形中的45度角[1].doc

《正方形中的45度角[1].doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正方形中的45度角[1].doc（21页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、正方形中的45度角5. （2012江苏宿迁12分）(1)如图1，在ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足DBE=ABC(0CBEABC)。以点B为旋转中心，将BEC按逆时针方向旋转ABC，得到BEA（点C与点A重合，点E到点E处），连接DE。求证：DE=DE. （2）如图2，在ABC中，BA=BC，ABC=90，D，E是AC边上的两点，且满足DBE=ABC(0CBE45).求证：DE2=AD2+EC2.【答案】证明：（1）BEA是BEC按逆时针方向旋转ABC得到， BE=BE，EBA=EBC。 DBE=ABC，ABDEBC =ABC。 ABDEBA =ABC，即EBD=ABC。E

2、BD=DBE。 在EBD和EBD中，BE=BE，EBD=DBE，BD=BD， EBDEBD（SAS）。DE=DE。（2）以点B为旋转中心，将BEC按逆时针方向旋转ABC=90，得到BEA（点C与点A重合，点E到点E处），连接DE。 由（1）知DE=DE。 由旋转的性质，知EA=EC，E AB=ECB。 又BA=BC，ABC=90，BAC=ACB=45。 E AD=E ABBAC=90。 在RtDEA中，DE2=AD2+EA2，DE2=AD2+EC2。【考点】旋转的性质，等腰（直角）三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）由旋转的性质易得BE=BE，EBA=EBC，由已知D

3、BE=ABC经等量代换可得EBD=DBE，从而可由SAS得EBDEBD，得到DE=DE。（2）由（1）的启示，作如（1）的辅助图形，即可得到直角三角形DEA，根据勾股定理即可证得结论。2. （2012宁夏区8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且EDF=45。将DAE绕点D逆时针旋转90，得到DCM。（1）求证：EF=FM （2）当AE=1时，求EF的长。【答案】 解：(1) 证明：DAE逆时针旋转90得到DCM，DE=DM，EDM=90。EDF + FDM=90。EDF=45，FDM =EDF=45。DF= DF ，DEFDMF（SAS）。EF=MF。（2）设EF=

4、x 。AE=CM=1 ， BF=BMMF=BMEF=4x 。 EB=2，在RtEBF中，由勾股定理得，即解得， 。 EF的长为。【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，【分析】（1）由旋转可得DE=DM，EDM为直角，可得出EDF+MDF=90，由EDF=45，得到MDF为45，可得出EDF=MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF。（2）由（1）的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用ABAE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BMFM=BMEF=4x

5、，在RtEBF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长。3. （2012广东珠海7分） 如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45得到正方形ABCD（此时，点B落在对角线AC上，点A落在CD的延长线上），AB交AD于点E，连接AA、CE求证：（1）ADACDE；（2）直线CE是线段AA的垂直平分线【答案】证明：（1）四边形ABCD是正方形，AD=CD，ADC=90。ADE=90。根据旋转的方法可得：EAD=45，AED=45。AD=DE。在AD A和CDE中，AD=CD，EDC=ADA=90，AD=DE，ADACDE（SAS）。（2）AC=AC，点C在AA的

6、垂直平分线上。AC是正方形ABCD的对角线，CAE=45。AC=AC，CD=CB，AB=AD。在AEB和AED中，EAB=EAD，AEB=AED，AB=AD，AEBAED（AAS）。AE=AE。点E也在AA的垂直平分线上。直线CE是线段AA的垂直平分线。【考点】正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定。【分析】（1）根据正方形的性质可得AD=CD，ADC=90，EAD=45，则ADE=90，再计算出AED=45，根据等角对等边可得AD=ED，即可利用SAS证明AADCED。（2）首先由AC=AC，可得点C在AA的垂直平分线上；再证明AEBAED，

7、可得AE=AE，从而得到点E也在AA的垂直平分线上，根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA的垂直平分线。（2011湖北咸宁，22，10分）（1）如图，在正方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求的度数（2）如图，在RtABD中，点M，N是BD边上的任意两点，且，将ABM绕点A逆时针旋转至ADH位置，连接，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由A B C F D E G （图） A D B M N H （图） （3）在图中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若，求AG，MN的长【答案】（1）在RtABE和RtAGE中，ABEAGE 1分

8、同理，2分（2）3分， 又，AMNAHN 5分， 6分ABCFDEG（图）MN（3）由（1）知，设，则，解这个方程，得，（舍去负根）8分在（2）中，9分设，则即10分【思路分析】（1）根据正方形的每个内角是直角，利用“HL”证明ABEAGE，AFGAFD,从而得出；（2）利用旋转过程前后的两个图形全等，得到对应边、对应角相等，从而为证明AMNAHN做好了足够铺垫.将线段MN的长转移为HN的长，从而将三条线段集中于RtHDN中.（3）利用（1）的结论求出AG的长，进而得出BD的长.利用（2）的结论求出MN的长.【方法规律】(1)当条件中没有给出角的度数而要求角的度数时，往往将问题转化为三角形的内

9、角和问题、四边形的内角和问题、平行线的同旁内角问题、平行线同旁内角的角平分夹角问题、邻补角的平分线夹角问题、直角三角形的问题、矩形、正方形的内角问题.（2）当条件中提供的边、角关系较多时一般考虑证明三角形全等；（3）平移、旋转、轴对称对应了图形的全等，里面有太多的边、角相等问题，在证明中要仔细挖掘；（3）如果一个题目有三个问号，前面的问号往往是后面问号解决的跳板，要注意利用前面的结论及时起跳，不要解决最后一个问号时重起炉灶，浪费时间.【易错点分析】因为找不到HDN=90而无法判断三条线段的关系.第（3）问不能很好的与第（2）问发生对接，使线段MN的长计算受阻.【关键词】正方形、等腰直角三角形、

10、旋转、三角形全等、勾股定理以及逆定理【推荐指数】【题型】常规题，新题，好题，难题操作题，阅读题，压轴题（2012山东东营10分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE求证：CECF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE45，请你利用（1）的结论证明：GEBEGD（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC，E是AB上一点，且DCE45，BE4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，BCC

11、D，BCDF，BEDF，CBECDF（SAS）。CECF。（2）证明： 如图，延长AD至F，使DF=BE连接CF。 由（1）知CBECDF，BCEDCF。BCEECDDCFECD，即ECFBCD90。又GCE45，GCFGCE45。CECF，GCEGCF，GCGC，ECGFCG（SAS）。GEGF，GEDFGDBEGD。（3）如图，过C作CGAD，交AD延长线于G在直角梯形ABCD中，ADBC，AB90。又CGA90，ABBC，四边形ABCD 为正方形。 AGBC。已知DCE45，根据（1）（2）可知，EDBEDG。10=4+DG，即DG=6。设ABx，则AEx4，ADx6，在RtAED中，D

12、E2=AD2AE2，即102=（x6）2（x4）2。解这个方程，得：x=12或x=2（舍去）。AB=12。梯形ABCD的面积为108。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。【分析】（1）由四边形是ABCD正方形，易证得CBECDF（SAS），即可得CE=CF。（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知CBECDF，易证得ECF=BCD=90，又由GCE=45，可得GCF=GCE=45，即可证得ECGFCG，从而可得GE=BE+GD。（3）过C作CGAD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长

13、，设AB=x，在RtAED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，从而求得直角梯形ABCD的面积。23（2010年南充市）如图，ABC内接于O，ADBC，OEBC， OEBC（1）求BAC的度数（2）将ACD沿AC折叠为ACF，将ABD沿AB折叠为ABG，延长FC和GB相交于点H求证：四边形AFHG是正方形（3）若BD6，CD4，求AD的长AFCDEGHBOAFCDEGHBO答案：（1）解：连结OB和OCOEBC，BECEOEBC，BOC90，BAC45AFCDEGHBO（2）证明：ADBC，ADBADC90由折叠可知，AGAFAD，AGHAFH90，BAGBA

14、D，CAFCAD，BAGCAFBADCADBAC45GAFBAGCAFBAC90四边形AFHG是正方形（3）解：由（2）得，BHC90，GHHFAD，GBBD6，CFCD4设AD的长为x，则BHGHGBx6，CHHFCFx4 在RtBCH中，BH2CH2BC2，（x6）2（x4）2102解得，x1=12，x22（不合题意，舍去）AD12（2012山东东营10分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE求证：CECF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE45，请你利用（1）的结论证明：GEBEGD（3）运用（1）（

15、2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC，E是AB上一点，且DCE45，BE4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，BCCD，BCDF，BEDF，CBECDF（SAS）。CECF。（2）证明： 如图，延长AD至F，使DF=BE连接CF。 由（1）知CBECDF，BCEDCF。BCEECDDCFECD，即ECFBCD90。又GCE45，GCFGCE45。CECF，GCEGCF，GCGC，ECGFCG（SAS）。GEGF，GEDFGDBEGD。（3）如图，过C作CGAD，交AD延长线于

16、G在直角梯形ABCD中，ADBC，AB90。又CGA90，ABBC，四边形ABCD 为正方形。 AGBC。已知DCE45，根据（1）（2）可知，EDBEDG。10=4+DG，即DG=6。设ABx，则AEx4，ADx6，在RtAED中，DE2=AD2AE2，即102=（x6）2（x4）2。解这个方程，得：x=12或x=2（舍去）。AB=12。梯形ABCD的面积为108。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。【分析】（1）由四边形是ABCD正方形，易证得CBECDF（SAS），即可得CE=CF。（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知CBECDF，易证得E

17、CF=BCD=90，又由GCE=45，可得GCF=GCE=45，即可证得ECGFCG，从而可得GE=BE+GD。（3）过C作CGAD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在RtAED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，从而求得直角梯形ABCD的面积。一、正方形内的45角（2012福建南平4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【 】A B C D3 【答案】B。【

18、考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。【分析】正方形纸片ABCD的边长为3，C=90，BC=CD=3。根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF。设DF=x，则EF=EGGF=1x，FC=DCDF=3x，EC=BCBE=31=2。在RtEFC中，EF2=EC2FC2，即（x1）2=22（3x）2，解得：。DF= ，EF=1。故选B。（2009益阳市）如图11，ABC中，已知BAC45，ADBC于D，BD2，DC3，求AD的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.BCAEGDF图11请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB

19、、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形； (2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.【答案】(1)证明：由题意可得：ABDABE，ACDACF DABEAB，DACFAC，又BAC45，EAF90又ADBCEADB90FADC90又AEAD，AFADAEAF四边形AEGF是正方形(2)解：设ADx，则AEEGGFxBD2，DC3BE2，CF3BGx2，CGx3在RtBGC中，BG2CG2BC2( x2)2(x3)252化简得，x25x60解得x16，x21（舍）所以ADx6（2011湖北

20、咸宁，22，10分）（1）如图，在正方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求的度数（2）如图，在RtABD中，点M，N是BD边上的任意两点，且，将ABM绕点A逆时针旋转至ADH位置，连接，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由A B C F D E G （图） A D B M N H （图） （3）在图中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若，求AG，MN的长【答案】（1）在RtABE和RtAGE中，ABEAGE 1分同理，2分（2）3分， 又，AMNAHN 5分， 6分ABCFDEG（图）MN（3）由（1）知，设，则，解这个方程，得，（

21、舍去负根）8分在（2）中，9分设，则即10分【思路分析】（1）根据正方形的每个内角是直角，利用“HL”证明ABEAGE，AFGAFD,从而得出；（2）利用旋转过程前后的两个图形全等，得到对应边、对应角相等，从而为证明AMNAHN做好了足够铺垫.将线段MN的长转移为HN的长，从而将三条线段集中于RtHDN中.（3）利用（1）的结论求出AG的长，进而得出BD的长.利用（2）的结论求出MN的长.【方法规律】(1)当条件中没有给出角的度数而要求角的度数时，往往将问题转化为三角形的内角和问题、四边形的内角和问题、平行线的同旁内角问题、平行线同旁内角的角平分夹角问题、邻补角的平分线夹角问题、直角三角形的问

22、题、矩形、正方形的内角问题.（2）当条件中提供的边、角关系较多时一般考虑证明三角形全等；（3）平移、旋转、轴对称对应了图形的全等，里面有太多的边、角相等问题，在证明中要仔细挖掘；（3）如果一个题目有三个问号，前面的问号往往是后面问号解决的跳板，要注意利用前面的结论及时起跳，不要解决最后一个问号时重起炉灶，浪费时间.【易错点分析】因为找不到HDN=90而无法判断三条线段的关系.第（3）问不能很好的与第（2）问发生对接，使线段MN的长计算受阻.【关键词】正方形、等腰直角三角形、旋转、三角形全等、勾股定理以及逆定理【推荐指数】【题型】常规题，新题，好题，难题操作题，阅读题，压轴题（2011年上海市浦

23、东新区中考预测）已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，EAF=45.（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想.（2）设BE=x，DF=y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），如图1，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围.（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动.试判断以E为圆心以BE为半径的E和以F为圆心以FD为半径的F之间的位置关系. （4）当点E在BC延长线上时，设AE与CD交于点G，如图2.问EGF与EFA能否相似，若能相似，求出BE的值，若不可

24、能相似，请说明理由.25.（1）猜想：EF=BE+DF. （1分）证明：将ADF绕着点A按顺时针方向旋转90，得ABF，易知点F、B、E在一直线上.图1. （1分） AF=AF， FAE=1+3=2+3=90-45=45=EAF， 又 AE=AE，AFEAFE.EF=FE=BE+DF. （1分）（2）由（1）得 EF=x+y又 CF=1-y，EC=1-x， .（1分）化简可得 .（1+1分）（3）当点E在点B、C之间时，由（1）知 EF=BE+DF，故此时E与F外切； （1分）当点E在点C时，DF=0，F不存在.当点E在BC延长线上时，将ADF绕着点A按顺时针方向旋转90，得ABF，图2.有

25、AF=AF，1=2，FAF=90. FAE=EAF=45. 又 AE=AE，AFEAFE. （1分）来源%:中教网# .（1分）此时E与F内切. （1分）综上所述，当点E在线段BC上时，E与F外切；当点E在BC延长线上时，E与F内切.（4）EGF与EFA能够相似，只要当EFG=EAF=45即可.来#源&:zzst*这时有 CF=CE. （1分）设BE=x，DF=y，由（3）有EF=x- y.由 ，得 . 化简可得 . （1分）又由 EC=FC，得 ，即，化简得 ，解之得 （1分） （不符题意，舍去）. （1分）所求BE的长为.（2012福建宁德13分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如

26、图1，在等腰ABC中，ABAC，BAC90，小敏将一块三角板中含45角的顶点放在点A处，从AB边开始绕点A顺时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E(1)小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分MAB，则AE也平分MAC请你证明小敏发现的结论；(2)当045时，小敏在旋转的过程中发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2CE2DE2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的方法：将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF，连接EF(如图2)；小亮的方法：将ABD绕点A逆时针旋转90得到ACG，连接EG(如图

27、3)请你从中任选一种方法进行证明；(3)小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45135且90时，等量关系BD2CE2DE2仍然成立现请你继续探究：当135180时(如图4)，等量关系BD2CE2DE2是否仍然成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由【答案】解：（1）证明：BAC90，DAEDAMMAE45，BADEAC45。 又AD平分MAB，BADDAM。MAEEAC。 AE平分MAC。 （2）证明小颖的方法： 将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF， AFAB，AFDB45，BADFAD。 又AC=AB，AFAC。 由（1）知，FAECAE。 在AEF和AEC中，AF AC，FAECAE

28、，AEAE， AEFAEC（SAS）。CEFE，AFEC45。 DFEAFD AFE90。 在RtOCE中，DE2FE2DE2，BD2CE2DE2。（3）当135180时，等量关系BD2CE2DE2仍然成立。证明如下： 如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。 将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF， AFAB，AFDABC45，BADFAD。 又AC=AB，AFAC。 又CAE900BAE900（45BAD）45BAD45FADFAE。在AEF和AEC中，AF AC，FAECAE，AEAE， AEFAEC（SAS）。CEFE，AFEC45。又在AGF和BGE中，ABCAFE45，AG

29、FBGE，FAGBEG。又FDEDEF=FDEFAG（ADBDAB）ABC90。DFE90。在RtOCE中，DE2FE2DE2，BD2CE2DE2。【考点】角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角性质，三角形内角和定理。【分析】（1）由角平分线的定义，根据等腰直角三角形和旋转的性质，即可得出结论。 （2）小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到AEFAEC，在RtOCE中应用勾股定理而证明。 小亮的方法是将ABD绕点A逆时针旋转90得到ACG，根据旋转的性质用SAS得到ACEACG，从而在RtCEG中应用勾股定理而证明。（

30、3）当135180时，等量关系BD2CE2DE2仍然成立。仿（2）证明即可。36（2008恩施自治州）如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，BAC =AGF=90，它们的斜边长为2，若ABC固定不动，AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围. （3）以ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图2).在边B

31、C上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BDCE=DE.Gyx图2OFEDCBA （4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BDCE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.G图1FEDCBA 待添加的隐藏文字内容3【答案】解:(1)ABEDAE, ABEDCA 1分 BAE=BAD+45,CDA=BAD+45 BAE=CDA 又B=C=45 ABEDCA 3分 (2)ABEDCA 由依题意可知CA=BA= m= 5分 自变量n的取值范围为1n2. 6分 (3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n m=m=n=OB=OC=BC=1OE=OD=1D(1, 0) 7分

32、BD=OBOD=1-(1)=2=CE, DE=BC2BD=2-2(2)=22BDCE=2 BD=2(2)=128, DE=(22)= 128BDCE=DE 8分(4)成立 9分证明:如图,将ACE绕点A顺时针旋转90至ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,FDHAGECBABH=C=45,旋转角EAH = 90.连接HD,在EAD和HAD中AE = AH, HAD =EAH -FAG = 45=EAD, AD =AD.EADHADDH = DE又HBD=ABH +ABD = 90BD+HB=DH即BDCE=DE 12分【解析】解决问题（1）（2）的关键是利用图中的相似三角形；解决问题（3）时

33、利用（2）中的m、n的关系求出点D的坐标，进而分别求出BD2、CE2、DE2的值；解决问题（4）时，通常方法是先猜想其结论成立，根据结论的特征，尝试构造直角三角形，则问题可轻松获解点拨：运动是变换是近年来各地中考压轴题的两大主要趋势，运动与变换问题在直角坐标系的背景下设置问题，通常需要经过建模、计算与构造等多种途径进行求解（2011广东汕头，21，9分）如图（1），ABC与EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，BACDEF90，固定ABC，将EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（

34、或它的延长线）于G、H点，如图（2）.（1）问：始终与AGC相似的三角形有 及 ；（2）设CGx，BHy，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，AGH是等腰三角形？题21图（1） 题21图（2）【答案】解：（1）HGA及HAB； （2）由（1）可知AGCHAB，即，所以，（3）当CG时，GAC=HHAC，ACCHAGAC，AGGH又AHAG，AHGH此时，AGH不可能是等腰三角形；当CG=时，G为BC的中点，H与C重合，AGH是等腰三角形；此时，GC=，即x=当CG时，由（1）可知AGCHGA所以，若AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH若AG=AH

35、，则AC=CG，此时x=9综上，当x=9或时，AGH是等腰三角形【思路分析】在HGA与AGC中，公共角HGA=AGC,GAH=CAG=45，根据“两角对应相等的两个三角形相似”判定HGA与AGC相似；在HGA与HAB中，公共角H=H,GAH=HAB=45，根据“两角对应相等的两个三角形相似”判定HGA与HAB相似,故AGCHGAHAB；（2）由AGCHAB，根据相似三角形的性质，从而确定；（3）分CG，CG=，CG三种情况分别考虑.【方法规律】本题是一个动态图形中的问题，也是一个典型的分类讨论的问题，关键是能否考虑全面，如果考虑不全面就解不完整，本题个不可多得的一个分类讨论和动态结合的题，有利

36、于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度.【易错点分析】考虑问题不全面造成结果不完整.【关键词】旋转，相似三角形，【推荐指数】【题型】新题，难题，动态题. 二、正方形外的45角18（2010湖北随州，18，6分）如图，一个含45的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EFAE交DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.【分析】想寻找线段AE与EF的数量关系可放到两个三角形HAE和CEF中去考虑，根据条件可推导出这两个三角形两角和一边对应相等，可证出HAECEF，从而得到AEEF.【答案】HBE是一含45的直角三形，HHEB45，HBEB，又四边形ABCD为正方形，BDCBDCE90，ABCB.HBABEBCB，即HACE.EFAE，AEF90B，HAEB+AEB，CEFAEF+AEB，HAECEF，又CF平分DCEECFDCE=45H，HAECEF（ASA）.AEEF. 【涉及知识点】全等三角形的判定与性质.【点评】本题实际就是全等三角形的判定，学生要能把已知条件中进行适当转换从中找到可以证明全等的条件，从而来判定两三角形全等.【推荐指数】（2011内蒙古巴彦淖尔）如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在