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1、高二数学二项式定理教学目标(一)教学知识点1二项式定理及有关概念，公式2二项式系数性质(二)能力训练要求1了解二项式定理在整除性的判断等方面的应用2掌握解决与二项式定理有关的综合问题的思想方法(三)德育渗透目标1提高综合素质2培养应用能力教学重点二项式定理及有关概念，公式的应用教学难点二项式定理与其他学科知识综合问题的分析与求解教学方法讲练相结合法教学过程复习回顾二项式定理：(ab)nCanCan-1b1Can-rbrCbn通项公式：Tr1Can-rbr二项式系数：C二项式系数性质：CC，即对称性当n为偶数时，最大当n为奇数时，且最大各项系数之和：CCCC2n讲授新课师请同学们结合例题掌握以上
2、知识例1已知()n展开式中第五项的系数与第三项的系数比是101，求展开式中含x的项分析：先根据已知条件求出二项式的指数n，然后再求展开式中含x的项因为题中条件和求解部分都涉及指定项问题，故选用通项公式解：T5C()n-4()4C24，T3C()n-2()2C22，即：C2210C化简，得n2-5n-240n8或n-3(舍)Tr1C()8-r()rC2r由题意：令1，r2展开式中含x的项为第3项T3C22x112x例2如果12C22C2nC2187，求CCC的值分析：12C22C2nCC1n2C1n-122C1n-22nC(12)n3n解：12C22C2nC3n，3n218737n7CCCC2n
3、，CCC2n-1原式CCC27-1127评述：要注意观察二项式系数的特征例3求(12x-3x2)5展开式中x5的系数分析：由于三项式的展开式无现成公式，因此应把它转化为二项式的展开式，然后再求x5的系数解法一：(12x-3x2)51(2x-3x2)515(2x-3x2)10(2x-3x2)210(2x-3x2)35(2x-3x2)4(2x-3x2)515x(2-3x)10x2(2-3x)210x3(2-3x)35x4(2-3x)4x5(2-3x)5x5的系数为上式各项中含x5的项系数和即：10C21(-3)25C23(-3)12592解法二：(12x-3x2)5(1-x)5(13x)5(1-5
4、x10x2-10x35x4-x5)(115x90x2270x3405x4243x5)展开式中x5的系数为243-540527010-1090515-192课堂练习1求(-)9的展开式中的有理项分析：因为只需求出展开式中的有理项，所以可运用通项公式求解解：Tr1C()9-r(-)r(-1)rCx，其中r0，1，2，9由题意得应为整数，r0，1，2，9经检验，知r3和r9，展开式中的有理项为T4-Cx4-84x4；T10-Cx3-x32已知(1-2x)7a0a1xa2x2a7x7，求(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6分析：由(1-2x)7a0a1xa2x2a7x7对
5、于x而言是一个恒等式，于是通过x的取值可进行求解解：(1)(1-2x)7a0a1xa2x2a7x7，令x1，得a0a1a2a7-1令x0得a01，a0a1a2a7-2(2)令x-1，得a0-a1a2-a3a6-a7372187由上式得a1a3a5a71094；a0a2a4a61093评述：在解决与系数有关的问题时，常用“赋值法”，这种方法是一种重要的数学思想方法课时小结应熟练掌握二项式定理及有关公式、性质的应用基本掌握解决与此有关的问题的思想方法课后作业课本P111习题1047、9、10板书设计1043 二项式定理应用例题讲解复习回顾课时小结备课资料一、有关二项式定理的高考试题分类解析高考中二
6、项式定理试题几乎年年有，主要是利用二项展开式的通项公式求展开式的某一项的系数，求展开式的常数项；利用二项式系数的性质，求某多项式的系数和，证明组合数恒等式和整除问题及近似计算问题，考查的题型主要是选择题和填空题，多是容易题和中等难度的试题，但有时综合解答题也涉及到二项式定理的应用(一)求多个二项式的积(和)的展开式中条件项的系数例1(2003年全国高考)(x2-)9展开式中x9的系数是_分析：此题体现抓“通项”的思路解：Tr1C(x2)9-r(-)r(-1)r2-rCx18-2rx-r(-1)r2-rCx18-3r当18-3r9时，得r3，所以x9系数为(-1)32-3C-例2(1998年全国
7、高考题)(x2)10(x2-1)展开式中含x10的系数为_(用数字作答)分析：(x2)10(x2-1)展开式中含x10的项由(x2)10展开式中含x10的项乘以-1再加上(x2)10展开式中含x8的项乘以x2得到，即Cx10(-1)Cx822x2，故所求的x10的系数为：C(-1)C22179例3(1998年上海高考题)在(1x)5(1-x)4的展开式中，x3的系数为_分析：(1x)5(1-x)4(1x)(1-x2)4，其中(1-x2)4展开的通项为C(-x2)r，故展开式中x3的系数为-C-4例4(1990年全国高考题)(x-1)-(x-1)2(x-1)3-(x-1)4(x-1)5的展开式中
8、x2的系数等于_分析：求较复杂的代数式的展开式中某项的系数，常需对所给代数式进行化简，减小计算量原式只需求(x-1)6展开式中x3的系数即可，Tr1Cx6-r(-1)r令r3得系数为-20(二)求多项式系数和例5(1999年全国高考题)若(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2-(a1a3)2的值为()A1B-1C0D2分析：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解：欲求式可变为：(a0a2a4)2-(a1a3)2(a0a1a2a3a4)(a0-a1a2-a3a4)实际上，a0a1a2a3a4和a0-a1a2-a3a4分别为已知式在x1，x-1的值令x1得，(2)4a0
9、a1a2a3a4，令x-1得，(2-)4a0-a1a2-a3a4(a0a2a4)2-(a1a3)2(2)4(2-)4(2)(2-)4(4-3)41(三)求幂指数n例6(1995年上海高考题)若(x1)nxnax3bx21(nN)，且ab31，那么n_分析：x3的系数aC，x2的系数bC，依题意ab31，即CC31，解得n11即n11满足题意(四)求二项式中有关元素此类问题一般是根据已知条件列出等式，进而解得所要求的元素例7(1997年全国高考题)已知()9的展开式中x3的系数为，则常数a的值为_分析：通项Tr1C()9-r(-)rCa9-r(-)rx令r-93，解得r8，故Ca9-r(-)r解
10、得a4例8(1998年上海高考题)设nN，(1)n的展开式中x3的系数为，则n_分析：Tr1C()rxr令x3的系数为：C展开整理得：，解得n4(五)三项式转化成二项式问题例9(1997年全国高考题)在(x23x2)5的展开式中，x的系数为()A160B240C360D800分析：原式写成二项式(x22)3x5，设第r1项为含x的项则Tr1C(x22)5-r(3x)r(0r5)要使x指数为1，只有r1才有可能，即T2C(x22)43x15x(x842x664x448x224)x的系数为1524240答案：B(六)求整除余数例10(1992年“三南”高考题)9192除以100的余数是_分析：91
11、92(901)92C9092C9091C90C由此可见，除后两项外均能被100整除而C90C82818210081故9192被100整除余数为81(七)利用二项展开式证明不等式例11(2001年全国高考题)已知i，m，n是正整数，且1imn(1)证明：niAmiA；(2)证明：(1m)n(1n)m证明：(1)略(2)由二项式定理知(1m)nmiC，(1n)mniC由(1)知niAmiA，又C，C，niCmiC(1imn)，故niCmiC，又n0Cm0C，nCmnmCniCmiC，即(1n)m(1m)n(八)求近似值例12某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减小多少公顷(精确到1公顷)？(粮食单产，人均粮食占有量)分析：此类试题是利用二项式定理的展开式求近似值，主要考查利用二项式定理进行近似计算的能力解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷(hm2)，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷(t/hm2)依题意得不等式(110%)，化简得：x1031-，1031-1031-(1C0.01C0.012)1031-1.10454.1，x4(公顷)
