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1、 大学物理下册课后习题全解第十二章 真空中的静电场121 如图所示，在直角三角形ABCD的A点处，有点电荷q1 = 1.810-9C，B点处有点电荷q2 = -4.810-9C，AC = 3cm，BC = 4cm，试求C点的场强E2EE1q2ACq1B图12.1解答根据点电荷的场强大小的公式，其中1/(40) = k = 9.0109Nm2C-2点电荷q1在C点产生的场强大小为： 方向向下点电荷q2在C点产生的场强大小为，方向向右C处的总场强大小为，总场强与分场强E2的夹角为122 半径为R的一段圆弧，圆心角为60，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别ExxERdsEyOy为+和-
2、，求圆心处的场强解答在带正电的圆弧上取一弧元ds = Rd，电荷元为dq = ds，在O点产生的场强大小为，场强的分量为dEx = dEcos，dEy = dEsin对于带负电的圆弧，同样可得在O点的场强的两个分量由于弧形是对称的，x方向的合场强为零，总场强沿着y轴正方向，大小为dsExxEREyOy123 均匀带电细棒，棒长a = 20cm，电荷线密度为 = 310-8Cm-1，求：（1）棒的延长线上与棒的近端d1 = 8cm处的场强；（2）棒的垂直平分在线与棒的中点相距d2 = 8cm处的场强解答（1）建立坐标系，其中L = a/2 = 0.1(m)，x = L+d1 = 0.18(m)o
3、lxxdlyP1r-LLd1在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq = dl，根据点电荷的场强公式，电荷元在P1点产生的场强的大小为 场强的方向沿x轴正向因此P1点的总场强大小通过积分得 将数值代入公式得P1点的场强为= 2.41103(NC-1)，olxxdlr-LLyP2dEydE2dExd2方向沿着x轴正向（2）建立坐标系，y = d2在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq = dl，在棒的垂直平分在线的P2点产生的场强的大小为 ，由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为 dEy = dE2sin由图可知：r = d2/sin，l = d2cot，所以 dl = -d2d/sin2，
4、因此 ，总场强大小为 将数值代入公式得P2点的场强为= 5.27103(NC-1)方向沿着y轴正向讨论（1）由于L = a/2，x = L+d1，代入式，化简得，保持d1不变，当a时，可得， 这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小（2）由式得，当a时，得 ， 这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式如果d1=d2，则有大小关系Ey = 2E1124 一均匀带电的细棒被弯成如图所示的对称形状，试问为何值时，圆RO图12.4心O点处的场强为零解答设电荷线密度为，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强在圆弧上取一弧元 ds =R d，所带的电量为 dq = ds，在圆心处产生的场强的大
5、小为，由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为ROxddE dEx = -dEcos总场强为OEExR，方向沿着x轴正向再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强根据上一题的公式可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为， 由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生的合场强为，方向沿着x轴负向当O点合场强为零时，必有，可得 tan/2 = 1，PbaQd图12.5因此 /2 = /4， 所以 = /2125 一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为，如图所示试求：（1）平板所在平面内，距薄板边缘为a处的场强（2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强解
6、答（1）建立坐标系在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度为d = d x，根据直线带电线的场强公式，PbaOxdxy得带电直线在P点产生的场强为，其方向沿x轴正向由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为 场强方向沿x轴正向（2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系仍然在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度仍然为d = d x，带电直线在Q点产生的场强为QbdOzdxxyrdE，沿z轴方向的分量为，设x = dtan，则dx = dd/cos2，因此积分得 场强方向沿z轴正向讨论（1）薄板单位长度上电荷为 = b，式的场强可化为，当b0时，薄板就变成一根直
7、线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为， 这正是带电直线的场强公式（2）也可以化为，当b0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为，这也是带电直线的场强公式当b时，可得：， 这是无限大带电平面所产生的场强公式126 （1）点电荷q位于一个边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？解答点电荷产生的电通量为e = q/0（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为1 = e/6 = q/60（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个
8、卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为1 = e/24 = q/240；立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零127 面电荷密度为的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半径作一半球面，RO如图所示求通过此半球面的电通量解答设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面球面内包含的电荷为 q = R2，通过球面的电通量为图12.7 e = q/0，通过半球面的电通量为e = e/2 = R2/20128 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R1 R2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为和-，求（1）r R1；（2） R1 r R2
9、处各点的场强解答由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E = 0，（r R1）（2）在两个圆柱之间做一长度为l，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = l，穿过高斯面的电通量为，根据高斯定理e = q/0，所以， (R1 r R2）S2S1ES1S2EEd2rS0ES0129 一厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为，求板内外各点的场强解答方法一：高斯定理法（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E在板内取一底面积为S，高为2r的圆柱面作为高斯面，场强与
10、上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为，高斯面内的体积为 V = 2rS，包含的电量为 q =V = 2rS，根据高斯定理 e = q/0，可得场强为 E = r/0，(0rd/2)（2）穿过平板作一底面积为S，高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 e = 2ES，高斯面在板内的体积为V = Sd，包含的电量为 q =V = Sd，根据高斯定理 e = q/0，可得场强为 E = d/20，(rd/2) 方法二：场强迭加法（1）由于平板的可视很多薄板迭而成的，以r为界，下面平板产生E2dyryoE1d的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下在下面板中取一薄层dy
11、，面电荷密度为d = dy，产生的场强为 dE1 = d/20，积分得，同理，上面板产生的场强为，r处的总场强为E = E1-E2 = r/0（2）在公式和中，令r = d/2，得E2 = 0、E = E1 = d/20， E就是平板表面的场强平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场迭加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出式1210 一半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为，若在球内挖去一块半径为RR的小球体，如图所示，试求两球心O与O处的电场强度，并证ORaRO图12.10明小球空腔内的电场为匀强电场解答挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为-
12、的小球体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的迭加对于一个半径为R，电荷体密度为的球体来说，当场点P在球内时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程P点场强大小为 当场点P在球外时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程 P点场强大小为 O点在大球体中心、小球体之外大球体在O点产生的场强为零，小球在O点产生的场强大小为OarOrErErEP，方向由O指向OO点在小球体中心、大球体之内小球体在O点产生的场强为零，大球在O点产生的场强大小为，方向也由O指向O证明在小球内任一点P，大球和小球产生的场强大小分别为， ，方向如图所示设两场强之间的夹角为，合场
13、强的平方为 ，根据余弦定理得 ，所以 ，可见：空腔内任意点的电场是一个常量还可以证明：场强的方向沿着O到O的方向因此空腔内的电场为匀强电场1211 如图所示，在A、B两点处放有电量分别为+q和-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验电荷q0从O点经过半圆弧路径移到C点，-q+qOBDCA图12.11求移动过程中电场力所做的功解答正负电荷在O点的电势的和为零：UO = 0；在C点产生的电势为，电场力将正电荷q0从O移到C所做的功为W = q0UOD = q0(UO-UD) = q0q/60R1212 真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A和BA平面的电荷面密度为2，B平面的电荷面密度为
14、，两面间的距离为d当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为多少？ 解答两平面产生的电场强度大小分别为EA = 2/20 = /0，EB = /20，两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为 E = EA - EB = /20，方向由A平面指向B平面两平面间的电势差为 U = Ed = d/20，当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为 W = qU = qd/201213 一半径为R的均匀带电球面，带电量为Q若规定该球面上电势值为零，则无限远处的电势为多少？解答带电球面在外部产生的场强为 ，由于 ，当UR = 0时，1214 电荷Q均匀地分布在半径为R的球体内，试证明离球心r
15、（rR2）证明方法一：并联电容法在外球外面再接一个半径为R3大外球壳，外壳也接地内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为 外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共享一极，所以两个电容并联当R3趋于无穷大时，C2 = 40R2并联电容为 方法二：电容定义法假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q内球的电势是两个电荷产生的迭加的结果由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为，因此感应电荷为根据高斯定理可得两球壳之间的场强为 ，负号表示场强方向由外球壳指向内球壳取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为球面间的电容为138
16、球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，其间一半充满相对介电常量为oR2R1r图13.8r的均匀电介质，求电容C为多少？解答球形电容器的电容为对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半：当电容器中充满介质时，电容为：由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：139 设板面积为S的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为1和2，厚度分别为d1和d2，d212d1图13.9求电容器的电容解答假设在两介质的界面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别为 C1 = 1S/d1和C2 = 2S/d2总电容的倒数为 ，总电容为 1310 圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的
17、内半径为R2的导体圆筒构成的，其长为l，其间充满了介电常量为的介质设沿轴线单位长度导线上的电荷为，圆筒的电荷为-，略去边缘效DS1S2S0rR2R1l应求：（1）两极的电势差U；（2）介质中的电场强度E、电位移D；（3）电容C，它是真空时电容的多少倍？解答介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2通过高斯面的电位移通量为，高斯面包围的自由电荷为 q = l，根据介质中的高斯定理 d = q，可得电位为 D = /2r，方向垂直中心轴向外电场强度为 E = D/ = /2r，方向也垂直中心轴向外取一条电力线为积
18、分路径，电势差为电容为 在真空时的电容为 ，所以倍数为C/C0 = /01311 在半径为R1的金属球外还有一层半径为R2的均匀介质，相对介电常量为r设金属球带电Q0，求：（1）介质层内、外D、E、P的分布；（2）介质层内、外表面的极化电荷面密度解答（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的在内外半径之间作一个半径为r的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为高斯面包围的自由电荷为q = Q0，根据介质中的高斯定理 d = q，可得电位为 D = Q0/4r2，方向沿着径向用向量表示为 D = Q0r/4r3电场强度为 E = D/0r = Q0r/40rr3，方向沿着径向由于D
19、= 0E + P， 所以 P = D - 0E = 在介质之外是真空，真空可当作介电常量r = 1的介质处理，所以D = Q0r/4r3，E = Q0r/40r3，P = 0（2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q0产生的场为 E0 = Q0r/40r3；极化电荷q1产生的场强为E = q1r/40r3；总场强为 E = Q0r/40rr3由于 E = E0 + E，解得极化电荷为 ，介质层内表面的极化电荷面密度为 在介质层外表面，极化电荷为 ，面密度为 1312 两个电容器电容之比C1:C2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们
20、的静电能之比又是多少？解答两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W = Q2/2C，得静电能之比为 W1:W2 = C2:C1 = 2:1两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W = CU2/2，得静电能之比为 W1:W2 = C1:C2 = 1:21313 一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，接在电源上维持其电压为U将一块厚度为d相对介电常量为r的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？解答平行板电容器的电容为 C = 0S/d，当面积减少一半时，电容为C1 = 0S/2d；另一半插入电介质时，电容为C2 = 0
21、rS/2d两个电容器并联，总电容为 C = C1 + C2 = (1 + r)0S/2d，静电能为 W = CU2/2 = (1 + r)0SU2/4d1314 一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，两板竖直放着若电容器两板充电到电压为U时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为r的液体中求：（1）电容器的电容C；（2）浸入液体后电容器的静电能；（3）极板上的自由电荷面密度解答（1）如前所述，两电容器并联的电容为 C = (1 + r)0S/2d（2）电容器充电前的电容为C0 = 0S/d， 充电后所带电量为 Q = C0U当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静
22、电能为W = Q2/2C = C02U2/2C = 0SU2/(1 + r)d（3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为 C1 = 0S/2d；介质中的一半的电容为 C2 = 0rS/2d设两半的所带自由电荷分别为Q1和Q2，则Q1 + Q2 = Q 由于C = Q/U，所以U = Q1/C1 = Q2/C2 解联立方程得，真空中一半电容器的自由电荷面密度为同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为1315 平行板电容器极板面积为200cm2，板间距离为1.0mm，电容器内有一块1.0mm厚的玻璃板(r = 5)将电容器与300V的电源相连求：（1）维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？（2）断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？解答平行板电容器的电容为 C0 = 0rS/d，静电能为 W0 = C0U2/2玻璃板抽出之后的电容为 C = 0S/d（1
