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1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话:13965261699)数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(17-16):焦点三角形(434) 1121 焦点三角形 母题(17-16):(2006年江西高考试题)己知F1、F2为双曲线(a0,b0),且ab)的两个焦点,P为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O为坐标原点,下面四个命题:(A)PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上;(B)PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=b上;(C)PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上;(D)PF1F2的内切圆必通过点(a,0).其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号).解析:设PF1F
2、2的内切圆分别与F1F2、PF1、PF2相切于点A、B、C,如图,由|PF2|-|PF1|=2a(|PC|=|PB|)|F2C|-|F1B|=2a(|F2C|=|F2A|,|F2B|=|F1A|)|F2A|-|F1A|=2a,由双曲线的定义知,点A在双曲线的右支上A(a,0)(A),(D)正确,(B)错误;若内切圆的圆心在直线OP上PO平分F1PF2|PF2|:|PF1|=|F2O|:|OF1|=1:1|PF2|=|PF1|,矛盾.故选(A),(D).点评:关于焦点三角形:定义:椭圆或双曲线上任意一点和两个焦点的连线所形成的三角形,叫做焦点三角形;性质:椭圆C:+=1(ab0),双曲线C:-=
3、1(a0,b0):椭圆C的焦点三角形的两个旁切圆的圆心横坐标是a或-a;双曲线C的焦点三角形的内切圆的圆心横坐标是a或-a;椭圆C的焦点三角形的内切圆的圆心I和点P的连线交F1F2于点M，则IM:IP=e;双曲线C的焦点三角形的的旁切圆的圆心I和点P的连线交F1F2于点M,则IM:IP=e;设l是椭圆C的焦点三角形的过点P的外角平分线,过F1或F2作l的垂线,则垂足的轨迹是以原点为圆心,a为半径的圆;设l是双曲线C的焦点三角形的过点P的内角平分线,过F1或F2作l的垂线,则垂足的轨迹是以原点为圆心,a为半径的圆. 子题(1):(2014年全国高考试题)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2
4、,点P在C上,若|F1P|=2|F2P|,则cosPF2F1=( ) (A) (B) (C) (D)解析:由e=2c=2a;又由|F1P|=2|F2P|PF2|=2a,|PF1|=4acosPF2F1=.故选(A). 注:焦点三角形中的基本关系:在椭圆中,|PF1|+|PF2|=2a,在双曲线中,|PF1|-|PF2|=2a. 子题(2):(2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)如图,F1、F2分别是双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点,过F1的直线与C的左、右两支分别交于A、B两点,若|AB|:|BF2|:|F2A|=3:4:5,则C的离心率是 .解析:由|AB|:
5、|BF2|:|F2A|=3:4:5ABF2=900;又由|BF1|-|BF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a|BF2|=4a,|BF1|=6a;在RtBF1F2中,|BF1|2+|BF2|2=|F1F2|2(4a)2+(6a)2=(2c)2e=. 注:利用特殊形状的焦点三角形是构造该类试题的基本方法,解答该类试题的关键是灵活运用基本关系. 子题(3):(2013年全国高中数学联赛新疆预赛试题)已知P为椭圆+=1上的动点,F1,F2为左右焦点,M为F1PF2的内心,连结PM交x轴于点N,则= .解析:由三角形内角平分线定理:=2. 注:与焦点三角形的内切圆或旁切圆有关的问题:利用切线长定理
6、;利用三角形内、外角平分线定理. 1122 母题(17-16):焦点三角形(434) 子题系列:1.(2009年北京高考试题)椭圆=1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|= ,F1PF2的大小为 .2.(2012年全国高考试题)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cosF1PF2= .3.(2012年辽宁高考试题)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点，若PF1PF2,则|PF1|+|PF2|= .4.(2011年全国高考试题)已知F1、F2分别为双曲线C:-=1的左、右焦点,
7、点AC,点M的坐标为(2,0),AM为F1AF2的平分线,则|AF2|= .5.(2012年全国高中数学联赛浙江预赛试题)已知F1、F2分别为双曲线C:-=1的左、右焦点,点A的坐标为(,),则F1AF2的平分线与x轴交点M的坐标为( ) (A)(2,0) (B)(-2,0) (C)(4,0) (D)(-4,0)6.(2007年全国高考试题)设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,若点P在双曲线上,且=0,则|=( ) (A) (B)2 (C) (D)27.(2010年浙江高考试题)设O为坐标原点,F1，F2是双曲线-=1(a0,b0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足F1PF2=60
8、0,|OP|=a,则该双曲线的渐近线方程为( ) (A)xy=0 (B)xy=0 (C)xy=0 (D)xy=08.(2009年四川高考试题)己知双曲线=1(b0)的左、右焦点分别为F1、F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在该双曲线上,则=( ) (A)-12 (B)-2 (C)0 (D)49.(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设P是椭圆+=1上异于长轴端点的任意一点,F1、F2分别是其左、右焦点,O为中心,则|PF1|PF2|+|OP|2= .10.(2010年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)已知F1,F2是双曲线x2-y2=1的两个焦点,M是该双曲线右支上的点,O为坐
9、标原点.若|MF1|+|MF2|=|MO|,则点M的坐标为 .11.(2014年全国高中数学联赛福建预赛试题)已知F1、F2为双曲线C:x2-的左、右焦点,P为双曲线C上一点,且点P在第一象限.若=,则PF1F2内切圆半径为 .12.(2010年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异于长轴端点的一点,F1PF2=2,F1PF2的内心为M,则|PM|cos= . 子题详解:1.解:由|PF2|=2;|F1F2|=2F1PF2=. 2.解:由|PF2|=2,|PF1|=4,|F1F2|=4cosF1PF2=.3.解:由|PF1|=+1,|PF2|=
10、-1|PF1|+|PF2|=2. 4.解:由|AF1|:|AF2|=8:4|AF2|=6.5.解:由|AF1|=2|AF2|M(2,0).故选(A). 6.解:由=0|=2|=2c=2.故选(B).7.解:由+=2c2=3a2.故选(D). 8.解:由渐近线:y=xb2=2y02=1=3-4+y02=0,故选(C).9.解:由|PF1|2+|PF2|2=2|OP|2+2c2|PF1|PF2|+|OP|2=a2+b2=25. 10.解:由|MO|2=2b2=2x2+y2=2M(/2,/2).11.解:由|PF1|-|PF2|=2|PF1|=8,|PF2|=6,|F1F2|=10PF1F2为直角三角形r=2.12.解:设内切圆切三边PF1,PF2,F1F2分别为A,B,C,则|PM|cos=|PA|=2a-(|AF1|+|BF2|)=(2a-|F1F2|)=a-c=2-.
