2004浙江11市中考数学专题10：存在性问题.doc

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1、2002-2013年浙江11市中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编专题10：存在性问题一、选择题二、填空题1.（2006年浙江金华5分）如图，点M是直线y23上的动点，过点M作MN垂直于轴于点N，轴上是否存在点P，使MNP为等腰直角三角形.小明发现：当动点M运动到（1，1）时，y轴上存在点P（0，1）,此时有MN=MP，能使NMP为等腰直角三角形.那么，在y轴和直线上是否还存在符合条件的点P和点M呢？请你写出其它符合条件的点P的坐标 【答案】（0，0），（0，），（0，3）。【考点】动点问题，等腰直角三角形的判定和性质，分类思想的应用。【分析】由题意，应分M在第二象限和第三象限两类情况讨论：

2、每种情况又分MN为直角边时和MN为斜边两种情况：当M在第二象限，运动到（1，1）时，ON=1，MN=1，MNx轴，由ON=MN可知，（0，0）是符合条件的P点；若MN为斜边时，则NP=MP，MNP=45，设点M（x，2x+3），则OP=ON，而OP=MN，则有，解得。 这时点P的坐标为（0，）。当M运动到第三象限时，若MN=MP，且PMMN，设点M（x，2x+3），则有，解得x=3，这时点P坐标为（0，3）。若MN为斜边，则ONP=45，ON=OP，设点M（x，2x+3），则有，这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点。综上所述，其他符合条件的点P坐标是（0，0），（0， ），（0，3）。三、

3、解答题1.（2004年浙江温州、台州12分）如图甲，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点(不运动至M，C),以AB为直径作O，过点P的切线交AD于点F，切点为E。（1）求四边形CDFP的周长；（2）请连结OF，OP，求证：OFOP；（3）延长DC，FP相交于点G，连结OE并延长交直线DC于H(如图乙)。是否存在点P使EFOEHG（其对应关系是EE，FH，OG）？如果存在，试求此时的BP的长；如果不存在，请说明理由。【答案】解：（1）四边形ABCD是正方形 ，A=B=900。AF、BP都是O的切线。 又PF是O的切线， EF=FA，PE=PB 。 四边形CDFP的

4、周长为AD+DC+CB=23=6。 （2）证明：连结OE，PF是O的切线，OEPF。在RtAOF和RtEOF中，AO=EO，OF=OF，RtAOFRtEOF。AOF=EOF。 同理BOP=EOP。 EOF+EOP=180=90。EOP=90，即OFOP 。（3）存在。EOF=AOF，EHG=AOE=2EOF。当EHG=AOE=2EOF,即EOF=30时，RtEOFRtEHG。此时EOF=30，BOP=EOP=9030=60。BP=OBtan60=。【考点】正方形的性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）根据切线的性质，将所求四边形CDF

5、P的边转化为已知正方形ABCD的边，即可求得。（2）连结OE，根据切线的性质和相似三角形的判定和性质，求出EOF+EOP=180=90，即可根据三角形内角和定理得到EOP=90，即OFOP 。（3）要EFOEHG，必须EHG=EFO=2EOF=60，在直角OBP中，由正切定理可求出BP的长。2.（2004年浙江金华12分）已知：四边形ABCD为圆内接矩形，过点D作圆的切线DP，交BA的延长线于点P，且PD=15，PA=9。（1）求AD与AB的长；（2）如果点E为PD的一个动点（不与运动至P，D），过点E作直线EF，交PB于点F，并将四边形PBCD的周长平分，记PEF的面积为y，PE的长为x，请

6、求出y关于x的函数关系式；（3）如果点E为折线DCB上一个动点（不与运动至D，B），过点E作直线EF交PB于点F，试猜想直线EF能否将四边形PBCD的周长和面积同时平分？若能，请求出BF的长；若不能，请说明理由。【答案】解：（1）如图1连接BD， 四边形ABCD是矩形，ADPB。PAD=BAD=90。PAD与ABD都是直角三角形。PD=15，PA=9，AD=12。DP切O于D，BDDP。PDB=90。PADP=ADPADB=90，P=ADB。，。 AB=ADtanADB= 。（2）如图2，过点E作直线EF，交PB于点F，并将四边形PBCD的周长平分，AB=16，AD=12，四边形PBCD的周长

7、为：15+16+12+16+9=68。PE+PF=34。PE=x，PF=34x， EN=PEsinP=。 。（3）能。理由如下：如图3，若点E在DC上，设CE =x，BF =y，PD=15，PA=9，AD=CB=12， DC=16，PB=25， DE=16x，PF=25y。若直线EF能将四边形PBCD的周长和面积同时平分，则：，即，无解。若点E在DC上，不存在直线EF将四边形PBCD的周长和面积同时平分。如图4，若点E在CB上，设CE =x， BF =y，PD=15，PA=9，AD=CB=12， DC=16，PB=25，BE=12x，PF=25y。若直线EF能将四边形PBCD的周长和面积同时平

8、分，则：，即。将代入得，即。解得，。时，不合题意，舍去。BF =。若点E在CB上，存在直线EF将四边形PBCD的周长和面积同时平分，此时，。【考点】动点问题，圆内接矩形的性质，由实际问题建立函数关系式，解二元方程组，分类思想的应用。【分析】（1）由四边形是圆内接矩形可知，PAD=90根据勾股定理便可求出AD的长。因为PD是O的切线，所以根据切线的性质和直径所对的圆周角是90构造直角三角形，应用三角函数即可求出AD与AB的长。（2）因为PE=x，所以根据EN=PEsinP=，建立起EN和x之间的关系，利用三角形的面积公式求出y关于x的函数关系式。（3）分点E在DC上和点E在CB上两种情况讨论即可

9、。3.（2004年浙江衢州14分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（2，0）,C(m，0),其中m0.以OB，OC为直径的圆分别交AB于点E，交AC于点F，连结EF。（！）求证：AFEABC 。（2）是否存在m的值，使得AEF是等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。（3）观察当点C在x轴上移动时，点F移动变化的情况。试求点C1（，0）移动到点C2（3，0）点F移动的行程。【答案】解：（1）根据题意，由切割线定理，得：，即。 又EAF=CAB（公共角），AFEABC 。 （2）存在。 A（0，3），B（2，0）,C(m，0)，即OA=3，OB

10、=2，OC= m，BC=2m 根据勾股定理，得。 由（1）AFEABC，若要使AEF是等腰三角形，必须ABC是等腰三角形。 若要AE=AF，则要AC=AB，即，解得（2舍去）。 若要AE=FE，则要AC=CB，即，解得。 若要AF=FE，则要AB=CB，即，解得。 综上所述，存在m的值，使得AEF是等腰三角形，m 的值为2，。（3）连接OF，则CFO=900。 AFO始终为直角，且OA为定值OA=3。 点F移动的行程在以AO的中点D为圆心，AO的一半为半径的圆上（如图）。 连接DF1，DF2，则点F移动的行程为。 OC1= ，。 OAC1=300。OC1=3 ，。 OAC2=600。C1AC2

11、=300。F1DF2=600。点F移动的行程为 ：。【考点】动点问题，切割线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，弧长的计算，分类思想的应用。【分析】（1）根据切割线定理，得到相应线段成比例，再加上公共角相等，可得到两三角形相似。 （2）按边相等的不同情况讨论。（3）因为CO为直径，则OFC=90，可得到AFO=90，并且OA为定值，即可得到点F移动的行程为以OA的直径上的一段弧长。4.（2005年浙江金华14分） 如图，抛物线经过点O(0,0)，A(4,0)，B(5,5)，点C是y轴负半轴上一点，直线经过B,C两点，且（1

12、）求抛物线的解析式；（2）求直线的解析式；（3）过O,B两点作直线，如果P是直线OB上的一个动点，过点P作直线PQ平行于y轴，交抛物线于点Q。问：是否存在点P，使得以P,Q,B为顶点的三角形与OBC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。【答案】解：（1）抛物线经过点（0，0），（4，0），可设抛物线解析式为。把B（5，5）代入，得，解得a=1。抛物线解析式为，即。 （2）过点B作BDy轴于点D，点B的坐标为（5，5），BD=5，OD=5。，CD=9。OC=CDOD=4。点C坐标为（0，4）。设直线l的解析式为，把B（5，5）代入，得5=5k4，解得。直线l的解析式为。（3）

13、当点P在线段OB上（即0x5时），PQy轴，BPQ=BOC=1350。当时，PBQOBC，这时，抛物线与直线l的交点就是满足题意的点Q，则，解得x1=5（舍去），x2=。P1（，）。当时，PQBOBC，OC=4，整理得。解得x1=5（舍去），x2=。P2（，）。当点P在点O左侧（即x0=时），PQy轴，BPQ=45，BPQ中不可能出现135的角，这时以P，Q，B为顶点的三角形不可能与OBC相似。当点P在点B右侧（即x5）时，BPQ=135，符合条件的点Q即在抛物线上，同时又在直线l上；或者既在抛物线上，同时又在Q2，B所在直线上（Q2为上面求得的P2所对应）。直线l（或直线Q2B）与抛物线的交

14、点均在0x5内，而直线与抛物线交点不可能多于两个，x5时，以P，Q，B为顶点的三角形也不可能与OBC相似。综上所述，符合条件的点P的坐标只有两个：P1（，），P2（，）。【考点】二次函数综合题，动点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，平行的性质，分类思想的应用。【分析】（1）依题意设抛物线解析式为，把B（5，5）代入求得解析式。（2）过点B作BDy轴于点D，求出点C的坐标设直线l的解析式为y=kx4，把点B的坐标代入求出k值之后可求出直线l的解析式。（3）分点P在线段OB上，点P在点O左侧，当点P在点B右侧三种情况讨论即可。5.（2005年浙

15、江衢州12分）已知，ABC中，B=90，BAD=ACB，AB=2，BD=1，过点D作DMAD交AC于点M，DM的延长线与过点C的垂线交于点P（1）求sinACB的值；（2）求MC的长；（3）若点Q以每秒1个单位的速度由点C向点P运动，是否存在某一时刻t，使四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积；若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）在RtABD中，AB=2，BD=1， 根据勾股定理得：。BAD=ACB，。（2）DMAD，MDC=900MDC=BAD=MCD。MD=MC。BAD=ACB，B=B，ABDCBA。，即。设MC=x，则DM=x，AM=ACMC=，在RtADM中

16、，由勾股定理得：，即，解得： 。MC=。（3）存在。 在RtABC中，由勾股定理得：， DC=3。BAD=CDP，ABD=DCP，ABDDCP。，即。连接AP、AQ、DQ，设CQ=t时，四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积，则PQ=。， ，由解得。当点Q从点c向点P运动s时，存在四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积。【考点】动点问题，勾股定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）根据AB=2，BD=1，B=90，根据勾股定理得到AD的长，根据BAD=ACB得到sinACB=sinBAD，在RtABD中，根据三角函数的定义就可以求出sinACB的值（2）设M

17、C=x，则DM=x，AM=ACMC=，在RtADM中，由勾股定理就可以求出CM的长。（3）根据即可求出t的值。6.（2005年浙江台州14分）如图，在平面直角坐标系内，C与y轴相切于D点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限.（1）求点C的坐标；（2）连结BC并延长交C于另一点E，若线段BE上有一点P，使得AB2BPBE，能否推出APBE？请给出你的结论，并说明理由； （3）在直线BE上是否存在点Q，使得AQ2BQEQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，也请说明理由.【答案】解：（1）如图，过点C作CHAB于点H， A（2，0）、B（8，0），H（5，0），BH=3。

18、C的横坐标为5，即圆的半径为 5。BC=5。 HC=4。C（5，4）。（2）能。连结AE ，BE是O的直径， BAE=90。在ABE与PBA中，AB2BP BE , 即。又ABE=PBA，ABEPBA 。BPA=BAE=90, 即APBE 。（3）存在。 当点Q1与C重合时，AQ1=Q1B=Q1E, 显然有AQ12BQ1 EQ1 ,Q1(5, 4)符合题意。 当Q2点在线段EB上， ABE中，BAE=90，点Q2为AQ2在BE上的垂足。Q2点的横坐标是2+ AQ2BAQ2= 2+3.84=5.84又AQ2BAQ2=2.88，点Q2（5.84，2.88）。若符合题意的点Q3在线段EB外，则可得点

19、Q3为过点A的C的切线与直线BE在第一象限的交点。由RtQ3BRRtEBA，EBA的三边长分别为6、8、10，故不妨设BR=3t，RQ3=4t，BQ3=5t，由RtARQ3RtEAB得，即得t=。Q3点的横坐标为8+3t=， Q3点的纵坐标为4t =。Q3（，）。 综上所述，在直线BE上存在点Q，使得AQ2BQEQ，点Q的坐标为 (5, 4)或（5.84，2.88）或（，）。【考点】垂径定理，勾股定理，圆周勾股定理，射影定理，相似三角形的判定和性质，切割线定理，锐角三角函数的定义，分类思想的应用。【分析】（1）根据题意，根据圆心的性质，可得C的AB的中垂线上，易得C的横坐标为5；进而可得圆的半

20、径为5；利用勾股定理可得其纵坐标为-4；即可得C的坐标。 （2）连接AE，由圆周角定理可得BAE=90，进而可得AB2=BPBE，即 ，可得ABEPBA；进而可得BAE=90，即APBE。（3）分三种情况讨论，根据相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数的定义，易得Q到x、y轴的距离，即可得Q的坐标。7.（2006年浙江金华14分）如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD轴于点D.（1）求直线AB的解析式;（2）若S梯形OBCD,求点C的坐标;（3）在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与O

21、BA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意，解得。直线AB的解析式为。（2）点C为线段AB上的一动点，设点C的坐标为。则OB=，DC=，OD= d， S梯形OBCD，即。解得：。当时，；当时，不合题意，舍去。点C的坐标为（3）存在。由A(3，0)，B(0，)可得OAB=300，OBA=600，AB=2。若OBP=900，BOP=600，则OBABOP，此时，两三角形全等，P1（3，）。若OBP=900，BOP=300，则OBABPO，即。BP=1。P2（1，）。若OPB=900，BOP=300，则OBAP

22、BO，如图，易知，点P在直线AB：和直线OP2上，直线OP2上的解析式为。联立得，解得：。P3（）。若OPB=900，BOP=600，则OBAPOB，过点P作PHx轴，在含30度角的RtPOB中，OB=，则OP=，在含30度角的RtPOB中，HP=，OH=。P4（）。综上所述，符合条件的点有四个：（3，），（1，），（），（）。【考点】一次函数综合题，动点问题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，待定系数法，相似三角形的判定和性质，分类思想的应用。【分析】（1）用待定系数法求解。（2）因为点C为线段AB上的一动点，所以可设点C的坐标为，从而根据条件S梯形OBCD列方程求解

23、。（3）分OBP=900和OPB=900两种情况，每种情况又分BOP=600和BOP=300两种情况讨论。8.（2006年浙江衢州14分）在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=，A=45，以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系，将等腰梯形ABCD饶A点按顺时针方向旋转90得到等腰梯形OEFG（OEFG分别是ABCD旋转后的对应点）（图1）（1）写出CF两点的坐标。（2）等腰梯形ABCD沿x轴的负半轴平行移动，设移动后的OA=x（图2），等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为y，当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，求y与x之间的关系式。（3）线段DC上是否存在点P，使

24、EFP为等腰三角形。若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）C点的坐标为（4，2）， F点的坐标为（2，4）。 （2）当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，2x4，如图，重合部分是四边形ONDH，它的面积等于梯形DNOA的面积减去OHA的面积，梯形DNOA上底为x2，下底为x，高为2，OHA的底边为x，高为，。当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，y与x之间的关系式为（2x4）。 （3）存在。 易得F（2，4），E（0，6），EF=BC=，设P（p，2）（2p4）， 根据勾股定理，得， 若EP=FP，则，解得：p=2。 若EP=EF，则，即，方程无解。 若FP=EF，则，

25、解得：p=0或p=-4。都不符合2p4，舍去。 综上所述，线段DC上存在点P，使EFP为等腰三角形，点P坐标为（2，2）。【考点】平移和旋转问题，等腰梯形的性质，由实际问题列函数关系式，等腰三角形的判定，勾股定理，分类思想的应用。【分析】（1）如图，过点C作CMAB于点M， 在等腰梯形ABCD中， AB=6，BC=，A=45， CM=BM=2，OM=4。 C点的坐标为（4，2）。 根据旋转的性质，F点的横坐标是C点纵坐标的相反数，F点的纵坐标等于C点横坐标，EP=EF， F点的坐标为（2，4）。（2）根据重合部分四边形ONDH的面积等于梯形DNOA的面积减去OHA的面积列式即可。（3）分EP=

26、FP，EP=EF，FP=EF讨论即可。9.（2007年浙江湖州10分）在88的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A(2，4)，B(4，2)。C是第一象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形。（1）填空：C点的坐标是 ，ABC的面积是 ；（2）将ABC绕点C旋转180得到A1B1C1，连结AB1、BA1，试判断四边形AB1A1B是何种特殊四边形，请说明理由；（3）请探究：在x轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于ABC面积的2倍。若存在，请直接写出点P的坐标(不必写出解答过程)；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）（1，1），4

27、。（2）四边形AB1A1B是矩形。理由如下：AC=A1C，BC=B1C，四边形AB1A1B平行四边形。又AC=BC，AA1=BB1。四边形AB1A1B是矩形。（3）存在。点P的坐标为（2，0），（1，0）。【考点】网格问题，等腰三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，矩形的判定，分类思想和数形结合思想的应用。【分析】（1）此点应在AB的垂直平分线上，在第一象限，腰长又是无理数，只有是点（1，1）。从A，B向x轴引垂线，把所求的三角形的面积分为一个直角三角形和一个直角梯形的面积减去一个直角三角形的面积。（2）旋转180后可得新四边形的对角线互相平分，那么先判断是平行四边形，然后根据等腰三角形的性质得

28、到对角线相等，那么所求的四边形是矩形。（3）根据平行四边形的性质，结合（1）中的方法解答易得四边形ABOP的面积等于8同（1）中的方法得到三点A，B，O构成的面积为6。当P在O左边时，APO的面积应为2，高为4，那么底边长为1，所以P（1，0）；当P在O右边时，BOP的面积应为2，高为2，所以底边长为2，此时P坐标为（2，0）。故点P的坐标为（2，0），（1，0）。10.（2007年浙江湖州12分）如图，P是射线yx(x0)上的一动点，以P为圆心的圆与y轴相切于C点，与x轴的正半轴交于A、B两点。（1）若P的半径为5，则P点坐标是( ， )；A点坐标是( ， )；以P为顶点，且经过A点的抛物线

29、的解析式是 ；（2）在（1）的条件下，上述抛物线是否经过点C关于原点的对称点D，请说明理由；（3）试问：是否存在这样的直线l，当P在运动过程中，经过A、B、C三点的抛物线的顶点都在直线l上？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）P（5，3）；A（1，0）；。（2）C点关于原点的对称点8的坐标为（0，3），当0时，D点不在抛物线上。（3）存在。设P（m，），m0，过点P作PQAB，垂足为Q，则AQ=BQ，PA=PC=m，PQ=，AQ= 。A（，0)，B（ ，0），C（0，）。设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为，将C（0，） 代入解析式，得：，解得：。经过A，B

30、，C三点的抛物线的解析式为 。，抛物线的顶点坐标为（）。存在直线l：，当P在射线上运动时，过A，B，C三点着抛物线着顶点都在直线上。【考点】一、二次函数综合题，动点问题，直线与圆相切的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。【分析】（1）圆的半径为5，且圆与y轴相切，P点的横坐标为5。P点在射线上，P点的纵坐标为3。P（5，3）。连接PA，过P作PMBA于M，则AP=5，PM=3，根据勾股定理可得：AM=4。OM=5，OA=1。A（1，0）。设以P为顶点，经过A点的抛物线的解析式为，将A（1，0）代入，得，解得：。以P为顶点，经过A点的抛物线的解析式为。 （2）因为以P为圆心的

31、圆与y轴相切于C点，所以C（0，3），从而得D（0，3），代入（1）的抛物线的解析式即可判断出D点是否在抛物线上。（3）仿照（1）的解题过程进行求解可先根据直线OP的解析式设出P点的坐标，然后用P点的横坐标仿照（1）的方法求出A，B两点的坐标，然后用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的解析式，求出其顶点坐标，根据这个顶点坐标即可得出所求的直线解析式。11.（2007年浙江衢州14分）如图，点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），Bn（n，yn）（n是正整数）依次为一次函数的图像上的点，点A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），An（xn，0）（n是正整数）依次

32、是x轴正半轴上的点，已知x1=a（0a1），A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4，AnBnAn+1分别是以B1，B2，B3，Bn为顶点的等腰三角形（1）写出B2，Bn两点的坐标；（2）求x2，x3（用含a的代数式表示）；分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系，写出你认为成立的两个结论；（3）当a（0a1）变化时，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）B2（2，），Bn（n，）。（2）。结论1：顶点为B1，B3，B5，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于22a；结论2：顶点为B2，B4，B6，等偶数位置上的等腰三角形底

33、边长都等于2a；结论3：每相邻的两个等腰三角形底边之和都等于常数2。（3）设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高yn的2倍，由第（2）小题的结论可知：当n为奇数时,有,化简得: ，即n=1或3。 当n为偶数时,有,化简得: 。，即n=2。综上所述,存在直角三角形,且。【考点】探索规律题（图形的变化类），一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定，分类思想的应用。【分析】（1）因为点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），Bn（n，yn）（n是正整数）依次为一次函数的图象上的点，所以分别令x=2，x=n，求出相应的y值即可。（2）因为A

34、1B1A2，A2B2A3，A3B3A4AnBnAn+1分别是以B1，B2，B3，Bn为顶点的等腰三角形，利用等腰三角形底边上的高垂直平分底边，可知，其中x1=a，所以。分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系时，分两种情况，当顶点为B1，B3，B5，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于22a；顶点为B2，B4，B6，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a。（3）可设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高yn的2倍由第（2）小题的结论可知：当n为奇数时，有，化简得到用a表示n的式子，结合a的取值范围，求出n的取值范围，利用n是正整数，即可求出n的值；当n为偶数时，有，同样

35、化简得到用a表示n的式子，结合a的取值范围，求出n的取值范围，利用n是正整数，即可求出n的值。12.（2007年浙江台州14分）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在轴上，点C在轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处已知折叠，且（1）判断与是否相似？请说明理由；（2）求直线CE与轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线，使直线、直线CE与轴所围成的三角形和直线、直线CE与轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由【答案】解：（1）与相似。理由如下：由折叠知，。，。又，。（2），设，则。由勾股定理得。由（1），得，

36、即，解得。在中，解得。OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），点E的坐标为（10，3）。设直线CE的解析式为，解得。直线CE的解析式为，则点P的坐标为（16，0）。（3）满足条件的直线有2条：，。图象如图：【考点】折叠问题，折叠对称的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，分类思想的应用。【分析】（1）证两三角形相似，必须得出两组对应角相等，所求的两个三角形中，已知了一组直角，因此只需找出另一组对应角相等即可得出相似的结论由于CDE为90，那么CDO和EDA互余，而OCD也和CDO互余，因此根据同角的余角相等即可得出OCD=EDA，由此可

37、证得两三角形相似。（2）本题的关键是求出C、E点的坐标，根据EDA的正切值，可设AE=3t，那么DA=4t，DE=5t则OC=AE+BE=AE+DE=8t，进而可根据（1）的相似三角形得出的关于OC、CD、AD、DE的比例关系式，来求出CD的值，然后可在直角三角形CDE中求出t的值，即可得出AE、BC的长，即确定了E点的坐标，然后根据C，E两点的坐标求出直线CE的解析式，即可求得直线CE与x轴交点P的坐标。（3）应该有两条如图，直线BF，根据折叠的性质可知CE必垂直平分BD，那么DGP=CGF=90，而CFG=DPG（都是OCP的余角），由此可得出两三角形相似，那么可根据B、D两点的坐标求出此

38、直线的解析式。直线DN，由于FCP=NDO，那么可根据OCE即BEC的正切值，求出NDO的正切值，然后用OD的长求出ON的值，即可求出N点的坐标，然后根据N、D两点的坐标求出直线DN的解析式。13.（2008年浙江杭州12分）在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：顶点为Q；与x轴相交于B，C两点（OBOC），连结A，B。（1）是否存在这样的抛物线F，使得？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQBC，且tanABO=，求抛物线F对应的二次函数的解析式。【答案】解：（1）存在这样的抛物线F，使得。理由是：平移的图象得到的抛物线F的

39、顶点为Q（t，b），抛物线F对应的解析式为：，即。抛物线与x轴有两个交点，。令y=0，得。，即。，当b=2t3时，存在抛物线F使得。（2）AQBC，t=b，得：，令y=0，解得。在RtAOB中，当t0时，由|OB|OC|，得B（t1，0），当t10时，由tanABO=，解得t=3。此时，二次函数解析式为。当t10时，由tanABO=，解得t=。此时，二次函数解析式为。当t0时，由|OB|OC|，同法可得：t=或t=3，同法求出或。综上所述，抛物线F对应的二次函数的解析式是或。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，平移的性质，平行的性质，锐角三角函数定义，分类思想的应用。【分析】（1）平移二次

40、函数的图象，得到的抛物线F，则抛物线的二次项系数不变，顶点为Q，则函数的解析式就可以直接写出为|OB|OC|就是一元二次方程的两根的积得绝对值，因而可以用根据韦达定理，利用t表示出来而OA=t，根据|OA|2=|OB|OC|就可以得到一个关于t的方程，从而把问题转化为判断方程的解得问题。 （2）AQBC即Q得纵坐标是b=t，得到抛物线F是：就可以求出B，C的坐标已知tanABO= ，就是已知OA与OB得比值，即t的关系，就可以转化为方程问题解决。14.（2008年浙江温州14分）如图，在RtABC中，A90，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作

41、PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx，QRy（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）在RtABC中，A90，AB6，AC8，BC=10。点D为AB中点，BD=AB=3。，。（2）QRBA，。，。，即。 y关于x的函数关系式为：。（3）存在。分三种情况：当时，过点P作于M，则QM=RM。，。，解得。 当PQ=RQ时，解得。当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，点R为EC的中点。，解

42、得。综上所述，当为或6或时，PQR为等腰三角形。【考点】动点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的判定，分类思想的应用。【分析】（1）证明，即可由相似比求得点D到BC的距离DH的长。（2）由即可由相似比求得y关于x的函数关系式。（3）分，PQ=RQ，PR=QR三种情况讨论即可。15.（2008年浙江绍兴14分）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动当其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点P的运动时间为t（秒）（1）用含t的代数式表示OP，OQ；（2）当t=1时，如图1，将沿OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；（3）连接AC，将OPQ沿PQ翻折，得到EPQ，如图2问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由【答案】解：（1）。（2）当t=1时，DQ=QO= ，C（0，3），QC=。 在RtCDQ中，根据勾股定理，得。D（1，3）。（3）PQ能与AC平行。理由如下：若PQAC，如图，则，即。 。，当时， PQAC。PE不能与AC垂直。理